工程制图

绪 论

（看到了红色的部分）

画法几何是研究用投影法在二维平面上图示空间形体，在平面上图解空间几何问题的理论和方法。它将建立三维形体与二维图形的关系，培养同学们的空间想象能力和空间构思能力。这门课与同学们以往所学的平面几何、立体几何、解析几何等的内容构成和培养目标都是不同的。它主要是以几何学为基础，利用投影知识和相关方法解决在平面上表示三维立体和空间几何问题等。因此，要求同学们在学习过程中，要逐渐提高自己的三维立体感、空间想像能力和分析能力。

绪论这一章，我们主要了解、学习两个内容：一是课程情况，包括其地位、性质、课程构成、任务及学习方法等；二是投影的基本知识、投影特性等。

第一节 课程简介及发展概述

一、 本课程的地位和性质

在工程建设中，任何工程及其构配件的形状、大小和做法，都不是能用简单的文字和语言所能表达清楚的，都必须先画出他们的图样，然后根据图样进行建模、施工，才能达到预期的目的。图形和文字、声音等一样，是承载信息进行交流的重要媒体。而以图形为主的工程设计图样则是工程设计、制造和施工过程中用来表达设计思想、进行技术交流的主要工具；同时也是生产管理部门和施工单位进行管理和施工的技术文件和依据。因此，图样被称为“工程界的语言”。从一张工程设计图样上，可以反映出一个工程技术人员的聪明才智、创新能力、科学作风和工作风格。毫无疑问，能否用图形来全面表达自己的设计思想，能否阅读工程设计图样，是任何一名工程技术人员必须具备的最基本的素质和能力。

为使图样在工程技术界作为一种共同性的语言，在绘制图样时就必须遵守统一的规则。这些规则，一是投影理论，二是国家标准。

“画法几何及土木工程制图”是土木建筑类各专业学生必须学习的一门技术基础课，是学习后续专业基础科和参加专业实践的必不可少的基础课程，它是解决课件几何问题以及绘制、阅读土木建筑工程工程图样的理论和方法。同学们在学习专业课之前，必须掌握本课程的基本内容，为以后专业课程的学习打下基础，并随着专业课程的进一步学习，逐步提高，完善绘图、阅图能力。

二、本课程的基本内容和任务

本课程名称是“土木工程制图”，采用的教材是高等教育出版社出版、朱育万主编《画法几何及土木工程制图》（含习题集）。

主要内容：是由画法几何、土木工程制图和计算机制图（CAD）三部分组成。

画法几何：第一学期讲授，共10章45学时。是通过学习投影法，掌握

在二维平面上图示空间图形、在平面图上图解空间几何问题的理

论和方法。

工程制图 制图基础、土木建筑专业图：第二学期讲授，共7章51学时（其

中实践14课时）。是投影理论的运用，主要培养绘图和阅读土木建筑工程图样的能力。熟悉制图基本知识和有关制图标准的规定，正确运用绘图工具、掌握绘图技巧、阅读图样等。

CAD制图：共2章，另课再讲。

主要任务：

画法几何是几何学的一个分支。

在工程和科学技术方面，经常要在平面上表示空间的形体。如：我们需要在图纸上画出房屋或建筑物的图样，以便根据这些图样进行施工建造。但是平面是二维的，而空间形体是三维的。为了使三维的形体能够在二维平面上得到正确的反映，就必须规定和采用一些画法。这些方法就是画法几何学所要研究的。

工程实践中，不仅要在平面上表示空间形体，而且还需要应用这些表达在平面上的图形来解决空间的几何问题。例如，我们往往需要根据有测量结果而绘制的地形图来设计道理或运河的线路，决定什么地方需要开挖或填筑，以及计算土方等。这些根据形体在平面上的图形来图解空间几何问题，也是画法几何学所要研究的。

因此画法几何及土木工程制图的任务是：

1、学习投影法，主要是正投影法的基本理论及其应用。

2、研究在二维平面上表达三维空间形体（图示法）及在平面上利用图形来解决空间几何问题（图解法）。

3、培养和发展空间想象能力、构思能力和创造能力。由于画法几何所研究的是空间形体与它在平面上的图形之间的关系，因而在培养和发展学生对三维形状和相关位置的空间逻辑思维和形象思维能力方面起着及其重要的作用。

4、培养学生绘制和阅读建筑工程图样的基本能力。学会使用各种绘图工具，并熟悉制图规定等；熟悉并能适当运用各种表达物体形状和大学的方法。

三、学习方法

画法几何的特点是理论性强、实践性强。因此，同学们在学习过程中要注意几点方法：

1、要循序渐进。本课程是按点、线、面、体，由浅入深、由简到繁、由易到难的顺序编排的，前后联系十分紧密。学习时，必须对前面的基本内容真正理解，基本作图方法熟练掌握后，才能往下作进一步的学习。

2、要下工夫培养空间思维能力。由于画法几何学研究的是图示法和图解法，涉及的是空间形体和平面图形之间的对应关系。所以，学习时必须经常注意空间几何关系的分析，以及空间几何元素与平面图形的联系。对于每一个概念、每一个原理、每一条规律和每一种方法，都要弄清它们的空间意义和空间关系，遇到

一时不懂的地方，要多问几个为什么，这样才能逐渐掌握相关知识、掌握读图和作图的规律；掌握课程的基本内容并善于运用它们。

无论是学习或做作业，都要画图和读图相结合。通过认真学习，进一步掌握读图和作图规律：

读图

平面图形←＝→空间形体

（二维） 作图 （三维）

3、必须勤动手、多做题，不断提高解题能力。复习时不能单纯阅读课文，做题的过程也是学生利用所学的知识解决问题的过程，这一方面可以巩固知识、加深理解，另一方面也可提高学生的空间想像能力和逻辑思维能力，提高做题的速度和准确率。

解题时，首先要弄清哪些是已知条件，哪些是需要求作的。然后利用已学过的内容进行空间分析，研究怎样从已知条件获得所要求作的结果，要通过怎样的步骤才能达到最后的结果。初学时，可以把这些步骤记录下来，最后利用基本作图方法按照所确定的解题步骤一步步的进行作图，作图时要力求准确。最后还应作一次全面的检查，看作图过程中是否有错误，作图是否精确等。

4、养成良好的学习习惯，提高自学能力。这门课程的基本理论多、空间几何关系抽象。因此，要求学生一定要注意处理好课前、课中和课后的关系，即：课前认真做好预习，带着问题听课；上课时思想要集中，并要认真思考；课后要及时复习，并完成作业，及时消化、巩固所学的内容；同时，做题要按照步骤逐步完成，力求准确。

因此，我们在进行课堂教学的同时，也要布置作业和预习下节课的内容，以加强学生的学习、分析和理解问题能力的培养。

总之，在这门课的学习过程中，一定要多思考、多做题，认真听、认真记，及时复习、及时消化。可能有一部分同学刚开始时也这样做了，但学习的效果不太好，可能是因为你的三维立体感（空间想像能力）尚不太强。我相信，只要大家多练习，循序渐进，不断努力，一定能够轻松学习好这门课程。

四、工程上常用的几种图示法

土木建筑工程中常用的投影法有多面正投影法、轴测投影法、透视投影法和标高投影法。

多面正投影法：由物体在两个互相垂直的投影面上的正投影，或在两个以上（其中相邻的两投影面互相垂直）的投影面上的正投影所组成。例如右图是由三级踏步和左、右各一块巨型栏板阶的三面正投影图，由这个台阶分的、水平的和侧面的三个互相垂直

所构成的台别向正立的投影面所

作的正投影组成图中被遮的不可见投形画成虚线。多面正投影图是土木建筑工程中最主要的图样，本书主要讲述多面正投形法。

轴测投影法：是将物体连同其直角坐标体系，沿不平行于任一坐标平面的

方向，用平行投影法将其投影在单一投影面上所得的图形，可以是正投影，也可以是斜投影，通常省略不画坐标轴的投形。具体将在本课程第九章讲解。轴测投影有较强的立体感，在土木建筑工程中常用来绘制给排水、采暖通风和空气调节等方面的管道系统图。

透视投影法：是用中心投影法将物体投射在单一投影面上所得的图形透视投影图，有较强的立体感，形象逼真，如拍摄的照片和人的视觉形象那样，图中通常也不画出不可见的投影。当投射中心、投影面和物体的相对位置配置得不同时，可以获得不同的透视图，正如照相机在不同的地点、以不同的方向拍摄，会得到不同的照片，以及在不同的地点、以不同的方向视物，会得到不同的视觉形象。在建筑设计中，常用透视图作为表现房屋、道路和桥梁等的外貌、室内装修与布置的视觉形象的效果图。

标高投影法：是在物体的水平投影上加注某些特征面、线以及控制点的高程数值和比例的单面正投形。它常用来表达地形和工程建筑物。本书将在第十章阐述标高投影的作图原理和画法，在土木建筑专业图中还将应用到一些与地形有关的用等高线表示的土建图样。

五、画法几何学发展概述

在古代，由于丈量田地、兴修水利和航海等的需要，产生了度量几何。在绘画、雕刻、建筑防御工事、水利工程和房屋等方面，都需要精确和富有表达性的表达方法。但应用文字和语言都不可能十分完整和清楚地描述所要表达的对象，因而提出了许多有关必须在平面上表达表达空间物体的新的几何问题。由于人们的长期努力，逐渐的规定出一些解决问题的方法，据此可以在一定条件下和一定程度上满足所提出的要求。

画法几何学正是由于人们生产实践的需要而产生和发展的科学理论。然而，在其形成为一个科学体系的很久以前，画法几何学的各种方法和规则早已由于世间的需要而应用于技术和艺术的各个领域中。例如，根据我国古代文献的记载，从传说中的禹开始就进行了大规模的治水工程，以便从事农业生产。在治水工程中，必先探测地形、水路，因此绘制地形图就发展起来了。

营造技术在我国也是最早的科学之一。自周代以来，就有很多关于建筑的记载。其中完整无遗、保存至今的是宋代李诫所著的《营造法式》，该书著于1103年，这部书完整的总结了两千多年间的我国建筑的伟大成就。全书共36卷，其中6卷为图册，所列图样大都是正确地按正投影规则绘制的，也有很多图样已完

全脱离了艺术画的范畴，而用轴测画法来表达。

此外在其他技术书籍中也可看到很多图样。例如明代宋应星所著的《天工开物》中就有大量插图，其中的很多图样就和现代的轴测投影相差不多，有的还适当运用了阴影。

画法几何学完整而系统的著述，直到公元1795年才有法国的工程师和数学家加斯帕·蒙日所发表，蒙日所说明的画法是以互相垂直的两个平面作为投影面的正投影法。该方法保证了物体在平面上的图像明显、正确，且便于度量。蒙日著作发表后对世界各国科学技术是第一生产力的发展产生了巨大的影响。在以后的一个多世纪内画法几何学得到了广泛的应用和发展。

画法几何这一中文名称是由我国著名物理学家萨本栋和著名教育家蔡元培大约在1920年翻译定名的。

在我国社会主义现代化建设中，画法几何学在国民经济建设和智力资源开发等方面都起着重要的作用。

最近20多年来，随着计算机绘图系统在我国的研制、引进和开发，计算机绘图和图形显示技术在实际实用中得到了迅速的发展。为了适应科学技术的需要，在画法几何学方面把解析几何的数解法和画法几何的图解法有机地结合起来，使空间几何问题的解决得以从手工绘图转变为计算机绘图和图形显示，并实现对本课程的计算机辅助教学。这将对画法几何学的教学及其应用产生及其深远的影响。

六、推荐参考书

1、何铭新主编《画法几何及土木工程制图（第二版）》，武汉理工大学出版社；

2、汪颖、龚伟主编《画法几何与建筑工程制图》，科学出版社； 3、何斌、陈锦昌、陈炽坤主编《建筑制图》，高等教育出版社； 4、陈文耀、陈启粱主编《建筑工程制图》，同济大学出版社。 同时，同学们还可以利用网上资源进行学习。

第二节 投影的基本知识

一、投影的概念

投影法是从日常生活中光照物体的呈影现象中进行几何抽象、概括出来的。 投影面：承受影子的平面H。△abc为物体ABC在投影面上的投影。 从几何意义上解释，点A、线段AB、空间平面△ABC的投影。

投影法的概念：投射线通过物体，向选定的面投射得到物体投影的方法称为投影法。画法几何的基础是投影法。

构成投影体系的五项要素： 投影中心：发出投射线的投射源

投射线：从投射中心经过物体到达投影面的连线 空间物体：被表达的物体 投影面：用于承影的平面

投影：物体在投影面上得到的投影图 二、投影的分类

按照投影中心与投影面的距离，投影分为： 1、中心投影

投影中心距离投影面有限远，投射线相交于该点时，所得到物体的投影。如图1。中心投影的大小由投影面、空间物体和投射中心三者的相对位置来确定。

投影中心：投射中心为一点。 投射线：由一点发出，呈放射状。 应用举例：透视投影法。 2、平行投影

投影中心距离投影面无限远，投射线互相平行时，所得到物体的投影。如太阳光产生的投影。

只要给出投影面和投影方向，空间物体与投影面距离远近不影响投影的大小。

投影中心：投射中心为无穷远处 投射线：投射线相互平行

应用举例：正投影法、轴测投影法、标高投影法 根据光线与投影面的相对关系，平行投影又分两种： ①斜投影：投射线与投影面倾斜时所得到的平行投影。 ②正投影：投射线与投影面垂直时所得到的平行投影。如图2。

图1 图2

三、正投影的特性

正投影法是工程制图中

绘制图样的主要方法。以后提到的投影均为正投影，它有7个特性。

1、同素性：点、直线、平面的正投影仍分别为点、直线、平面。如：A、BC、DEF。

2、从属性：若点在直线上，则该点的正投影在直线的正投影上。如G。 3、定比性：若点在直线上，则点分线段所成的比例等于该点的正投影分线段的正投影所成的比例。如：BG:GC=bg:gc。

4、真实性：若线段或平面图线平行于投影面，则它们的正投影反映线段实长或平面图形的实形。如：BC＝bc, △DEF≌△def。

5、积聚性：若直线或平面垂直于投影面，则直线的正投影为一点，平面的正投影为一线。

6、平行性：若两直线段平行，则它们的正投影也平行，且两线段的长度之比等于其正投影的长度之比。

7、类似性：若平面图形倾斜于投影面，则它的正投影不反映实形，而是原平面图形的类似性。

四、立体的三面投影

仅凭物体的单面正投影是不足以确定空间形体的形状。通常，我们多是选用三面正投影来完整地表达并确定空间形体的形状。

1、立体三面投影的形成 （1）、建立三面投影体系： V⊥H、H⊥W、W⊥V OX⊥OY⊥OZ，投影轴

（2）、立体的三面投影及展开投影线

V面不动，H面绕OX轴向下旋转90度，W面绕OZ轴向后旋转90度，从而使V、H、W三个面处于同一平面上。

由三个投影可知：立体的每个投影反映立体两个方向的尺寸。即： 水平：长、宽；正面：长、高；侧面：高、宽。

2、立体三面投影的性质（H水平，V正，W侧） 正面投影和水平投影“长对正”； 正面投影和侧面投影“高平齐”； 水平投影和侧面投影“宽相等”。 正面投影：上、下、左、右； 水平投影：前、后、左、右； 侧面投影：上、下、前、后。

小结：

这节课，我们主要讲了两部分内容。对于第一部分，大家了解就可以了，但一定要注意本课程的学习方法，并不断总结、完善，尤其要注意提前预习、做好练习、课后复习。第二部分，同学们要掌握正投影的特性（7个）和三面投影的“三等关系”，这是以后的学习和工作都要经常用到的。

作业题：预习点的投影。

第一节 点的两面投影

点在单一投影面上的投影能否唯一确定空间点的位置？ 一、点的两面投影及表示法

根据正投影的同素性，影面上的投影仍是点。但是个投影是不能确定点的空于空间点来说，在互相垂直系中，只有作出点的两面投其空间位置。

将空间点A放在水平正立投影面V上所形成的

系中，分别向H及V面作垂直投射线，形成：

a：A的水平投影；a’：A的正面投影 注意：A、a、a’各自表示的含义。 二、点的两面投影特性

为使点的两面投影画在同一平面中，规定：V面不动，H面连同水平投影a绕OX轴向下旋转90°，使其与V面重合，就得到点A的两面投影，如下图：

通常在投影图中不画投影面的边界，如上图右。点A的两面投影a、a’可确

定该A点的空间位置。

由此可推出点的两面投影特性： 1、点的水平投影与正面投影的连线垂直于

OX轴，即a’a⊥OX。

2、点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离，aax=Aa。

投影面H及两面投影体空间点在投只有点的一间位置的。对的投影面体影，才可确定

点的两面投影规律(V/H两面投影体系中) 1、点的投影连线垂直于投影轴。

2、点的投影到投影轴的距离,等于该点到相邻投影面的距离。 三、两投影面的扩展

在两面投影体系中，若把H面向V面之后扩展，把V面向H面之下扩展，就可把投影平面分为4个部分，即4个分角，逆时针命名：

第一分角：H面之上，V面之前； 第二分角：H面之上，V面之后； 第三分角：H面之下，V面之后； 第四分角：H面之下，V面之前。

若在四个分角内，分别有四个空间点A、B、C、D位于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ角内，当将投影面展开，即V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°（V面后的H面向上旋转）至于V面重合。则四个点在各自分角內的两面投影特点如下图：

Ⅰ分角中：A点正面投影a’位于OX轴之上，a位于OX轴之下； Ⅱ分角中：B点正面投影b’位于OX轴之上，b位于OX轴之上； Ⅲ分角中：C点正面投影c’位于OX轴之下，c位于OX轴之上； Ⅳ分角中：D点正面投影d’位于OX轴之下，d位于OX轴之下。

第二节 点的三面投影

一、三面投影体系的建立

在两面投影体系基础上，包含OY和OZ轴做出第三个投影面――侧立投影面，即W面。

三面投影体系的展开同两面投影体系相似。 二、点的三面投影形成及其特性

假设三面投影体系中有一点A，过点A分别向三个投影面作投射线，投射线与投影面的交点分别记为a、a’、a’’。

为便于作图，保持V面不动，将H面连同水平投影a绕OX轴向下旋转90°，W面连同a”绕OZ轴向后旋转90°，都与V面重合，就得到点的三面投影（如上图）。

由图可知，三面投影有以下特性（点的三面投影规律）： 1、点的投影连线垂直于投影轴。

2、点的投影到投影轴的距离,等于点的坐标，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。

如果将三投影面体系看成直角坐标系，则：投影轴看成坐标轴，投影面看成坐标面，点O看成坐标原点。根据解析几何，空间点的位置可由其三维坐标决定，点到投影面的距离也可用坐标值表示，即X、Y、Z分别表示空间点到W、V、H面的距离。

从而点的投影与坐标关系如下：

1、点的投影与空间坐标有惟一对应关系。

2、点的投影到投影轴的距离,等于点的坐标。点的正面投影到OZ轴的距离，等于X坐标值；点的水平投影到OX轴的距离，等于Y坐标值；点的正面投影到OX轴的距离，等于Z坐标值。

即a(x，y)；a’(x，z)；a”(y，z)。

所以，在点的三面投影中，任何两个投影都能反映出点到三个投影面的距离。 因此，若已知点的两面投影，便能确定该点的坐标值，进而确定其空间位置。反之，已知点的坐标，可以画出三面投影。

例1：已知a、a’，求a”。 解：略

例2：已知点B的坐标为（2，3，4），作点的三面投影。 解：略

二、两直线相交

相交两直线的同面投影都分别相交；并且，同面投影的交点是同一点的投影。反之，亦然。

一般情况下，两直线在空间是否相交，根据两面投影就可以直接判断，如下图所示。但如果两直线中有一条直线平行于某一投影面，则要加以判断。

例8 已知两直线AB、CD相交，试补全投影。

分析：从图(a)可知，a'b' 与c'd' 相交于k'，利用相交两直线的投影规律就可求得cd 。即过k' 作c' c 的平行线交ab 于k，连ck 并延长求得d 。

三、两直线交叉 在空间既不平行，也不相交的两直线称为交叉两直线。交叉两直线的投影不具备平行或相交两直线的投影特性。

交叉两直线的同面投影有的相交，有的平行；或者同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影，不符合点的投影规律。此时，两直线投影的交点实际上是两直线对投影面的重影点，按照重影点检定它们的可见性。

交叉两直线有一个投影或两个投影平行：交叉两直线可能有一个或两个投影平行，如图所示，但不会有三个同面投影平行。

两直线在三个投影面上的同面投影有四种模式： ① 各组同面投影都分别互相平行。（平行） ② 有的同面投影相交，有的同面投影平行。（交叉） ③ 各组同面投影都分别相交，且同面投影的交点是同一点的投影。（相交） ④ 各组同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影。（交叉） 交叉两直线中重影点的分析：如图中水平投影ab 和cd 的交点1(2)，其实是AB 直线上的I 点与CD 直线上的II 点对水平投影的重影点。同理，3'(4')是CD 直线上的III 点与AB 直线上IV 点对正面投影的重影点。根据重影点可见性的判别方法可知，水平投影中，位于AB 线上的I 点可见，而位于CD 线上的II 点不可见，即投影为1(2)。正面投影中，位于CD 线上的III 点可见，而位于AB 线上的IV 点不可见，即投影为3'(4')。

§2－6 一边平行于投影面的直角的投影

投影特性共有三点：

1、当直角的两边都与投影面不平行时，在该投影面上的投影不是直角。 2、当直线的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。 3、当直角的一边平行于投影面，另一边倾斜与投影面时，在该投影面上的投影仍是直角（直角投影法则或定理）；而另一边垂直于投影时，在该投影面上的投影称为一条直线。

直角投影法则或定理的三个条件：①空间两直线垂直，②一边平行于投影面，③投影仍互相垂直。由任意两个条件，即可推出第三条成立。

因此，得出逆定理：若两直线在某投影面的投影互相垂直，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线必定互相垂直。

另外：若两直线互相垂直，它们在某投影面上的投影也互相垂直，则此两直线中至少有一条直线平行于该投影面。

讲教材例2－6、例2－7。

§2－7 直线的投影变换 直线由两点确定，求直线的投影变换，只需求出直线上两个点的投影变换，连接起来就得到该直线的投影变换后的投影。

前面已经讲过，设置新投影轴必须遵循的原则是：新投影面一定要垂直于原有两面体系中的一个投影面。故在投影图上，新投影面的设置，就表现为新投影轴的设置。下面看该问题的几种情况。 1．把一般位置直线变为投影面平行线

其方法就是使建立的新投影轴平行于空间直线，利用正平线或水平线的投影特性，从而得到线段的实长及其与投影面的夹角。

如图所示，直线AB在H／V体系中是一般位置直线。如何变换投影面使AB变成平行线呢?

变换V面为V1面，并使 V1∥AB。那么，直线AB在H／V1体系中就成为平行线（正平线）。AB的新投影a1? b1?必反映实长；a1? b1?与O1 X1轴的夹角必等于AB本身对H面的倾角?。

作图步骤：

（1）引新轴O1 X1∥ab；

（2）作出两端点A和B的新投影，得到a1? b1?。 AB在V1面上的投影反映实长和?角。 b′b′BOO1a1βb11Ob′1a′XVHαbOO1H1X1Vb′a′ba′Xbαa′1XVHaHXVa′111OAaXαb′11a（a） (b) (c) 图 把一般位置直线变为投影面平行线

如果变换H为H1，并使H1∥AB ，那么AB在H1／V体系中也成为平行线（水平线）。

作图步骤如图所示（略），AB在H1面上的投影反映实长和?角。因此,若求?，则应变换V面，若求?，则应变换H面。

注：O1X1只需与ab平行，它们间的距离对于求AB的实长是没有影响的。 把一般位置直线变为投影面平行线的作图方法小结：

（1）将一般位置直线变换成新投影面的平行线只需进行一次变换。 （2）新投影轴应平行于直线的某一投影（X1//ab或X1//ab）。 2.将投影面平行线变换为投影面的垂直线

只需要建立一个新的投影面与该平行线垂直。

若为正平线，新投影面应垂直于V面，变为铅垂线；若为水平线，新投影面应垂直于H面，变为正垂线。 3．把一般位置直线变为投影面垂直线

如果让某一新投影面与一般位置直线垂直，那么，该投影面与原有的两个投影面都不垂直，不符合建立新投影面的基本条件。

故将一般位置直线变换成新投影面的垂直线经一次换面是不能实现的！ 投影面平行线能否经一次变换成为新投影面的垂直线呢？显然是可以做到的。

图中新投影面H1⊥AB，此时必定H1⊥V。在新投影面体系H1- V 中，AB成为H1的垂直线。 根据投影面垂直线的投影特性，新投影轴X1⊥ab，AB在H1内的投影a1b1积聚成一点，见图。 H1X1VVb′a′BXAa1( )b1OababXa′VHb′1O 图 把投影面平行线变为投影面垂直线 因此，将一般位置直线变换成投影面垂直线的作图步骤为： （1） 将一般位置直线变换成投影面平行线； （2） 将投影面平行线变换成投影面垂直线。 作图步骤：

（1）将AB变换成V1面的平行线；

作新投影轴X1//ab；求出AB在 V1内的投影a1?b1?。 （2）将AB变换成H2面的垂直线。

作新投影轴X2⊥a1?b1?；求出AB在H2面内的投影a2b2，a2b2积聚成一点。

X1O1a1( )b1Oa′a′b′b′a′1XVHa a( )b22ABO1OXabX1X1HV1b′1a′1X2V1H2O2 a2b2( )b′1b（a） (b) 图 把一般位置直线变为投影面垂直线

§3－1 平面的表示法

平面的投影表示有两种方法：一种是用平面上的点、线和图形的投影来表示，称为平面的几何元素表示法；另一种是用平面与投影面的交线来表示，称为平面的迹线表示法。

一、平面的几何元素表示法

平面的空间位置可由下图所示的任何一组元素来确定。 1）不在一直线上的三点，如图(a)所示的点A、B、C； 2）一直线与直线外一点，如图(b)所示的点C 和直线AB； 3）相交两直线，如图(c)所示的直线AB 和AC； 4）平行两直线，如图(d)所示的直线AB 和直线CD；

5) 任意平面图形，如三角形、四边形等，如图(e)所示的ΔABC。 上述五种表示平面的形式可以互相转换，即从一种形式转换为另一种形式。

二、平面的迹线表示法

空间平面与投影面的交线（共有的线）即为迹线。 用迹线表示的面即为迹线平面。

平面与H、V、W投影面的交线分别称为平面的水平迹线、正面迹线和侧面迹线，其符号为PH、PV、PW。PX为PH、PV两迹线交于OX轴的同一点，称为迹线共点。

迹线是平面和投影面的交线，在投影面上的投影位于迹线原处，在其它面上

的投影则位于相应的投影轴上（在投影图中不需表示）。

一般位置平面的迹线和特殊位置平面的迹线图如下：

PV

PH

QV

综上所述，两种平面的表示法，本质是一致的，可以互相转化。

例1：试将下图所表示的两相交直线AB、CD表示的平面P，改用迹线表示。 解：平面的迹线无非是该面上直线的迹点的集合。故只需求出面上两直线的同面迹点即可。

QH

§3－2 各种位置平面的投影

在三面投影体系中，根据平面对投影面的相对位置，可将平面分为：

一般位置平面：倾斜于三个投影面的平面。 投影面平行面：平行于某一个投影面的平面。

投影面垂直面：垂直于某一个投影面，同时倾斜于另外两个投影面

的平面。

空间平面与投影面之间的夹角（两个平面间的两面角）称为平面与投影面的倾角。平面与H、V、W投影面的夹角，称为该平面对投影面H、V、W的倾角。约定：平面对H面的倾角用a 表示，平面对V面的倾角用b 表示，平面对W

面的倾角用g 表示。

在讲述平面图形的类似性、积聚性、真实性后，归纳出平面图形的投影特性：当平面图形倾斜于投影面时，投影为面积缩小的类似性；垂直于投影面时，投影积聚为直线；平行于投影面时，投影反应真形。 一、一般位置平面

凡与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图所示。它的三个投影既没有积聚性，也不反映实形，而是小于实形的类似形。

1、一般位置平面图形的投影特性：它的三个投影都是面积缩小的类似形。 2、一般位置的迹线平面投影特性：在三个投影面上都有迹线，每条迹线都倾斜于投影轴，并且每两条迹线分别相交于投影轴上的同一点。 二、投影面垂直面

1. 铅垂面

垂直于水平面的平面称为铅垂面。铅垂面的投影特性：

1)、铅垂面的水平投影积聚成一直线段，且与该投影面上的OX 轴的夹角等于该平面对V面的倾角b，与OYH 轴的夹角等于该平面对W面的倾角g ；

2) 铅垂面的另外两个投影为小于实形的类似形。

2. 正垂面

垂直于正面的平面称为正垂面。正垂面的投影特性：

1)正垂面的正面投影积聚成一直线段，且与该投影面上的OX 轴的夹角等于该平面对H面的倾角a，与OZ 轴的夹角等于该平面对W面的倾角g ；

2) 正垂面的另外两个投影为小于实形的类似形。

3. 侧垂面

垂直于侧面的平面称为侧垂面。侧垂面的投影特性：

1)侧垂面的侧面投影积聚成一直线段，且与该投影面上的OZ 轴的夹角等于该平面对V面的倾角b，与OYW 轴的夹角等于该平面对H面的倾角a ；

2) 侧垂面的另外两个投影为小于实形的类似形。

由此可归纳出投影面的垂直面平面图形的投影特性：

①在垂直的投影面上的投影积聚成直线，并反映与另两投影面的倾角。 ②在另两投影面的投影，为面积缩小的类似形。 投影面的垂直面迹线平面的投影特性：

①在垂直的投影面上的迹线有积聚性，并反映与另两投影面的倾角。 ②在另两投影面的迹线，分别垂直于相应的投影轴。 三、投影面平行面

1、水平面

平行于水平投影面的平面称为水平面。水平面的投影特性： 1) 水平面的水平投影反映平面图形的实形；

2) 水平面的另外两个投影积聚为直线段，且分别平行于OX 轴和OYW 轴。

2. 正平面

平行于正面的平面称为正平面。正平面的投影特性： 1) 正平面的正面投影反映平面图形的实形；

2) 正平面的另外两个投影积聚为直线段，且分别平行于OX 轴和OZ 轴。

3. 侧平面

平行于侧面的平面称为侧平面。侧平面的投影特性： 1) 侧平面的侧面投影反映平面图形的实形；

2) 侧平面的另外两个投影积聚为直线段，且分别平行于OYH 轴和OZ 轴。

由此可归纳出投影面的平行面平面图形的投影特性： ①在平行的投影面上的投影反映平面图形的真形；

②在另外两个投影面上的投影，分别积聚为直线，且平行于相应的投影轴。 投影面的平行面迹线平面的投影特性： ①在平行的投影面上无迹线。

②在另两投影面的迹线有积聚性，且平行于相应的投影轴。

§3－3 平面上的点和直线

一、平面上的点和直线

1、平面上的点

由立体几何知道，点在平面内的条件是：点在平面内的一条直线上。 在平面内取点，可以直接在平面内的已知直线上选取，或先在平面内取一直线(辅助线)，然后在该直线上选取符合要求的点（定点先定线）。

例2 两相交直线AB、BC 组成平面，K 点属于该平面，已知k，求k'。

分析：因为K 属于AB、BC 组成的平面，所以k 属于平面的水平投影，k' 属于平面的正面投影。

例3 已知ΔABC 的两个投影，如图(a),试在ΔABC 平面内取一点K，使K 点的坐标为：X =25mm ,Z =10mm 。

分析：给出点K 的Z 坐标，表示它位于该平面上的一条距H 面为10mm 的水平线上。平面内的水平线是该平面内与H 面等距离的点的轨迹：点的X 坐标，表示它与W 面的距离，平面内的侧平线是该平面与W 面等距离的点的轨迹。则此两轨迹的交点，即平面内的水平线与平面内的侧平线的交点，必同时满足与H 和W 面为定距离的要求。

2、平面上的直线

由立体几何中知道，直线在平面内的条件是下列两条件之一：1.通过平面内的两点；2.通过平面内的一点并平行于平面内的另一直线。在平面内取直线，必须先在平面内的已知直线上取点（作线先找点）。

例4 如图(a)(b)所示，平面P 由相交两直线AB 和BC 所决定。在AB 和BC 线上各取一点D 和E，则D、E 两点必在平面P 内，因此，D、E 连线也必在平面P 内。

例5 已知直线段AB 在ΔDEF 内，正面投影如图所示，求水平投影。 分析：已知AB 在ΔDEF 内，所以a'b' 属于Δd'e'f'，ab 属于Δdef。

二、平面上的投影面平行线

平面上的投影面平行线，应符合直线在平面上的几何条件，又符合投影面平行线的投影特性。

例 6 一般位置平面内的投影面平行线（见表3-2）

三、平面的最大斜度线

平面上与某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对该投影面的最大斜度线。在平面上对某一投影面的最大斜度线有无数条，它们是平面上的一组互相平行的直线。

平面上对某一投影面的最大斜度线，是与平面上的该投影面的平行线和迹线相垂直的直线；它与该投影面的倾角，也就是平面对该投影面的倾角。

§3－4 平面的辅助投影

1．把一般位置平面变为投影面垂直面

根据两平面垂直的几何条件可知，要把一个一般位置平面变为新投影面的垂直面，只需使属于该平面的任一条直线垂直于新投影面。依前面所讲，把投影面平行线变为垂直线只需依次换面。

因此，我们可将已知平面内的一条投影面平行线（水平线或正平线）作为辅助线，变换为新投影面的垂直线则可。

如图所示，平面ABC在H／V体系中是一般位置平面,如何变换投影面使ABC变成垂直面呢? 1HX1Vb1βa 1( ) 1 c1b′1′垂直 a′Xb1O c′YcOYca1

（a） (b)图 把一般位置平面变为投影面垂直面

为了把一般位置平面变为投影面垂直面，只需使该平面内的任意一条直线垂直于新投影面，并且新投影面还要满足与旧投影面垂直的关系，因此，若变换H面，则要在平面内取一条正平线，作与该正平线垂直的新投影面，该新投影面与V面满足垂直关系，则平面ABC成为新投影体系V/H1中的垂直面（铅垂面），且反映该平面与V面的真实夹角β。

作图步骤：

（1）在?ABC内，任意作一条正平线AⅠ， （2）选新轴O1X1⊥a? 1? （3）作出三角形端点A、B和C的新投影，得到a1b1c1。

ABC在H1面上的投影具有积聚性且反映三角形与V面的真实夹角β。 思考：若变平面为正垂面，且求角?，作图过程如何? 把一般位置直线变为投影面垂直面的作图方法小结：

（1）将一般位置平面变换成新投影面的垂直面只需进行一次变换。 （2）新投影轴应垂直于平面内的平行线的某一投影。 （3）若求?，则应变换V面，若求?，则应变换H面。 2.将投影面垂直面变换为投影面的平行面

新投影面要平行于已知垂直面。

若已知为铅垂面，则新面V1⊥H面；若已知为正垂面，则新面V1⊥V面。

c3．把一般位置平面变为投影面平行面

如果要把一般位置平面变为投影面平行面，只更换一次投影面也是不行的。因为若取新投影面平行于一般位置平面，则这个新投影面也一定是一般位置平面，它和原体系的哪一个投影面都不能构成两面直角体系。

要解决这个问题，必须更换两次投影面。第一次把一般位置平面变为投影面垂直面，第二次再把投影面垂直面变为投影面平行面。 作图步骤：

（1） 将一般位置平面变换成垂直面 （2） 将垂直面变换成平行面

取OX2∥b1a1c1作出三顶点在V2面上的新投影a2?b2?c2?，则?ABC 变换成正平面，?a2?b2?c2?便反映三角形ABC的实形。

a′b′XVHbac′ l ( )cHXVb′l′Oa′VXHabιc′Oa′a′k′g′b′Oba1O

图 把一般位置平面变为投影面平行面

思考：若变一般位置平面为水平面，作图过程如何?

把一般位置直线变为投影面平行面的作图方法小结：

（1）将一般位置平面变换成新投影面的平行面需进行二次变换。

（2）求平面的实形，既可先变换V面，将平面变换成水平面，又可先变换H面，将平面变换成正平面。 4、综合举例

【例题1】过G点作直线与直线AB垂直相交（如图所示）。

cg′XVHb′OXggkbO1aHXV1b′1g′1k′1

图 过G点作直线与直线AB垂直相交

分析：根据直角投影定理可知，若互相垂直的两条直线，其中有一条直线平行于某一投影面时，则此两条直线在该投影面上的投影仍互相垂直。由此可知，由G点向直线AB作垂直相交的直线，必须先把AB直线变为投影面平行线才便于作图。

(a)(b)a′1 作图步骤：

(1) 作O1X1∥ab,求出a1?b1?、g1?。 (2) 过g1? 作g1?k1?⊥a1?b1?。

(3) 根据变换规律返回旧体系得gk、g? k? ，即为所求直线GK。

【例题2】求?ABC与?ACD两平面的夹角。

c′XVHb′d′dcAQDO1ObX2HVH21X1V1ab′1a′1d′1c′1PCa( ) cBbφdb2d2φc2( ) a 2(b)

图 求?ABC与?ACD两平面的夹角

分析：如图（a）所示，当两相交平面P和Q同时垂直于S面时，P、Q在S面上的投影即积聚为两直线段ba(c)和da(c)。而它们的夹角?bad即等于P、Q两平面的夹角?。可见在投影图上直接反映垂直两平面的夹角真实大小的条件是：两平面同时垂直某一投影面。为此，可将两平面的交线变换成投影面垂直线。对于一般位置直线来说，需两次换面。 作图步骤：（如图（b）所示）

（1）作O1X1∥两平面的交线ac，求出?a1?b1?c1?和?a1?c1?d1?。 （2）作O2X2⊥a1?c1?，求出?a2b2c2和?a2c2d2。

(3) 由于AC⊥H2，两个三角形在H2面上都变换为投影面垂直面，故a2b2c2和a2c2d2积聚成为相交两直线，此时? b2c2d2 即等于两平面的夹角?。

§4－1 直线与平面以及两平面平行

一、直线与平面平行

(a)从立体几何中知道，若已知一直线和某平面上的任一直线平行，则此直线平行于该平面。如图所示，直线DE 平行于ΔABC 平面内的直线FG，则直线DE 平行于ΔABC 平面。

O2

直线与平面平行的几何条件：直线平行于平面上的一条直线。

例 5-1 已知平面ΔABC 及其平面外一点M 的投影，如图所示，试过点M 作一正平线MN (长度任取)平行于ΔABC 平面。

分析：先在ΔABC 内作一条正平线，再经过点M 作一直线平行于这条直线，则过点M 所作的直线便是平行于ΔABC 平面的正平线。又因为ΔABC 内所有的正平线都是相互平行的，所以过点M 只能作一条正平线平行于ΔABC 。

例5-2：下图，求平面平行于直线CD，（平面过点A） 解：1）过点A，作AM//CD 2）过点A，作AL//CD 讨论：本题有无数解。

二、两平面平行

两平面平行的几何条件是：一平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线。

从立体几何中知道：如果一个平面内相交的两直线，对应地平行于另一平面内相交的两直线，则这两个平面相应平行。如图所示，P 平面内两相交直线AB、BC，对应地平行于Q 平面内两相交直线A1B1、B1C1，则P 平面平行于Q 平面。

例5－3 过点K 作平面平行于已知平面ΔABC 。

分析：过点K作平面平行于ΔABC 平面时，只要过已知点作两相交直线分

别平行于ΔABC 的任意两条边即可。

§4－2 直线与平面以及两平面相交

一、相交元素中有积聚投影的情况

（一）、特殊位置直线与特殊位置平面相交 1、一般位置直线与特殊位置平面相交

直线与平面不平行，则必相交。直线与平面相交，只有一个交点，它既在直线上，又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。

（1）求交点

由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出，如图(a)所示，直线AB 与铅垂面CDEF 相交，交点K 即是直线AB 与平面CDEF 的共有点。如图(b)所示，因铅垂面CDEF 的水平投影积聚成直线d(c)e(f),所以，交点K 的水平投影为ab 与d(c)e(f) 的交点k，由k 可求出其正面投影k',即求出了直线AB 与铅垂面CDEF 的交点K(k,k')。

（2）判别可见性

正面投影中a'b' 有一段和铅垂面CDEF 相重合，这段直线存在可见性问题。可见部分与不可见部分的分界点为交点K 。从水平投影可知，ak 位于d(c)e(f) 的

左前方，所以正面投影中a'k' 与c'd'e'f' 重叠部分k'g' 一段为不可见，应画成虚线。

2.投影面垂直线与一般位置平面相交 （1）求交点

如图(a)所示，直线AB 为铅垂线，其水平投影有积聚性。因为直线AB 与平面ΔCDE 的交点在直线AB 上，故交点K 的水平投影k 必在直线AB 的水平投影a(b)上。因此，交点的水平投影是已知的。交点K 又在平面ΔCDE 内，故由K 的水平投影k 利用面内取点的方法，即可求得交点K 的正面投影k'，如图(b)所示。

可见，求某一投影面垂直线与一般位置平面相交的交点，可归结为在面上取点。

（2）判别可见性

从水平投影可知dc 在a(b)(k) 的前方，所以d'c' 遮住a'k',a'k' 与Δc'd'e' 的重叠部分不可见（用虚线表示），b'k'可见。

（二）、平面与特殊位置平面相交 1、相交的形式

（1）一般位置平面与铅垂面相交 其交线投影与铅垂面的积聚投影重合。 （2）、两平面均为同一投影面的垂直面相交

其交线定是该投影面的垂直线，两平面积聚性投影的交点即是两平面交线的积聚投影。

如下图，求平面P 与平面Q 的交线。

分析：平面P 和Q 都是铅垂面，其交线必为铅垂线，并且积聚在它们水平投影的交点处。

2、可见性判断

可见性判断可利用投影积聚性直接判定。 3、交线的形式

全交：交线的两个端点在其中一个平面的两条轮廓线上。 互交：交线的两个端点在两个平面的两条轮廓线上。 二、相交元素中无积聚投影的情况

（一）、一般位置直线与一般位置平面相交 采用辅助平面法，又叫线面交点法。其步骤为： 1、含线作面； 2、面面交线； 3、线线交点。

然后利用交叉直线重影点的可见性判断方法进行可见性判断。 如教材中图4－14所示。 （二）、两一般位置平面相交

仍是先确定交线上两个点的位置，然后连接他们即得到交线。 其求解方法有：线面交点法和辅助平面法（三面共点法）。 1、线面交点法

如教材中图4－15所示。 2、辅助平面法（三面共点法） 如教材中图4－16所示。

§4－3 直线与平面、两平面垂直

一、直线与平面垂直

直线与平面垂直的几何条件是：该直线垂直于平面上的任意两条橡胶直线。 根据初等几何学可知，如果一直线垂直于一平面，则此直线一定垂直于该平面内的一切直线。

图中的直线AK是垂直于平面P的，那么它一定也垂直于该平面内过垂足的水平线CD。因此，可得依据直角投影定理可知ak⊥cd。由于同一平面内的一切水平线(包括水平迹线)都互相平行，例如CD//EF//PH，故得ak⊥ef、ak⊥PH。因此可得下列结论：如果一直线垂直于一平面，即该直线的水平投影一定垂直于

该平面内水平线的水平投影。同理，可得结论：如果一直线垂直于一平面，则该直线的正面投影一定垂直于该平面内正平线的正面投影。

根据上述结论，我们可以在投影图上解决有关直线与平面垂直的作图问题。 例4-4 求点D到△ABC的距离(图4-12a)。

分析：距离问题是垂直问题。先过D作ABC的垂线，再求出垂足K。可利用直角三角形法求出DK的实长。

作图：

（1）在△ABC内引一条正平线AF和一条水平线AL； （2）作DE⊥△ABC（图4－12b）； （3）求出垂足K＝DE∩△ABC；

（4）利用直角三角形法求得DK的实长D0k′。

例4-5 通过已知点A作一直线，垂直于一般位置直线BC。

分析：空间两互相垂直的一般位置直线，其投影并不反映垂直关系。因此，不可能在投影图上直接画出。

为解决这问题，我们先把过A点且与直线BC垂直的所有直线都作出来。即过A作平面Q与BC垂直，再求出交点K。∵AK∈Q ∴AK⊥BC，故AK为所求。

作图：

（1）作AD⊥BC，AE⊥BC（图4－13b）; （2）求交点K＝BC∩△ADE,Ak即为所求。 二、两平面垂直

平面与平面垂直的几何条件是：一平面上有一条直线垂直于另一平面。 平面与平面垂直：两平面垂直相交是两平面相交的一种特殊情形。如果一直线垂直于一平面，则包含此直线的所有平面都垂直于该平面。

例4-6 包含点M作平面与△ABC垂直。

分析： 过点M作MF⊥△ABC，包含MF的平面即为所求。 作图：

（1）在△ABC内引一条正平线CD（先作cd，再作c＇d＇）和一条水平线CE（先作c＇e＇，再作ce）；

（2）作MF⊥△ABC(,m＇f＇⊥c＇d＇, mf⊥ce); （3）作MG，则GMF为所求。

§4－4 点、线、面的综合作图

一、要点简述

空间几何问题总的可分为两部分。即：

（l）点、线、面间的从属、平行、相交、垂直等关系的定位问题。 （2）求距离、角度、线段实长及平面形实形等度量问题。

按此思路，我们可将已学过的前述内容作一简要的归纳。 1、定位问题 （1）从属问题

1）点在线上的投影规律，中点的投影仍是直线投影的中点，分线段成为定比；

2）点在面上和线在面上的几何条件及其投影图画法，平面上的直线可以是一般位置也可以是特殊位置，最常用的有投影面平行线，如水平线、正平线，还有平面内对相应投影面的最大斜度线，当要求解平面与投影面所成的角时，就要运用最大斜度线来解题。

（2）平行问题

l）两直线相互平行的投影规律；

2）一直线和一平面平行的几何条件及其投影作图，特殊情况为直线平行于投影面，亦即投影面平行线的投影规律及其画法；

3）两平面相互平行的几何条件及其投影作图，特殊情况下，其中一平面为平行面就成为投影面平行面。

（3）相交问题

（1）两相交直线的投影规律以及与两交叉线的区别，当两相交线之一为投影面平行线时，则可适用直角投影定理；

2）直线与平面的相交，当线面之一有积聚性时，交点可由积聚性的投影直接求得，如二者均无积聚性，则需用到求线面交点的三个作图步骤，这也是在画图中使用最多的基本作图方法之一，当平面为有限的平面形时，则在求出交点后还应利用重影点来判别可见性；

3）两平面相交求交线，当两相交平面之一有积聚性时，则可由积聚性的投影直接求得交线的投影。如两平面均无积聚性，则可用线面交点法或三面共点法求交线。求交线也是画法几何中使用极多的一种作图。特别是三面共点法不仅适用于两相交平面，还适用于今后的截交与相贯等问题，故必须牢固掌握。和上述线面交点一样，当平面以有限的平面形形式出现而交线又在它们相交的轮廓内时，则求出交线后还应判别两平面形的可见性。

（4）垂直问题

可以看作是相交的特殊情况即互为直角的相交。

1）两直线的相互垂直，可以是垂直相交即正交，也可以是交叉垂直，应注意其几何条件及投影作图；

2）一直线和一平面的垂直，在投影图上反映为直线的各投影应分别垂直于平面的同名迹线，或代表迹线方向的正平线或水平线，这也是解题时常用的一种

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