高中数学人教A版必修四第一章 9三角函数的简单应用 Word练习题含答案

§9 三角函数的简单应用

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1．问题导航

(1)如图为电流强度I与时间t的函数关系的图像，根据图像探求下面的问题：

由图知电流强度I与时间t的函数关系式是哪种类型的函数？ (2)结合三角函数的周期性，思考下列物理方面的知识，哪些可以用三角函数模型解决？ ①单摆；②简谐振动；③机械波；④电磁学；⑤力学． (3)应用三角函数模型需注意什么？ 2．例题导读

P58例．通过本例学习，学会从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型，进而解决实际问题．

试一试：教材P59练习你会吗？

1．三角函数模型

周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型． 2．建立三角函数模型的步骤

1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间

π

2πt＋?，那么单摆来回摆动一次所需的时间为t s的函数关系式为：s＝6sin?6??

( )

A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s

2π

解析：选D.T＝＝1.

2π

2．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )

A．60 B．70 C．80 D．90

2π11

解析：选C.因为T＝＝，所以f＝＝80.

T160π80

3．用作调频无线电信号的载波以y＝asin(1.83×108 πt)为模型，其中t的单位是秒，

则此载波的周期为________，频率为________．

2π2π－

解析：T＝＝≈1.09×108(s)． 8ω1.83×10π

1

f＝＝9.15×107(Hz)． T

－

答案：1.09×108 s 9.15×107 Hz

4．如图是一弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的函数解析式是________．

2π

解析：不妨设所求解析式为y＝Asin(ωt＋φ)，(A＞0，ω＞0)，则A＝2，＝0.8，ω

ω5π＝， 2

由于图像过点(0，2)， 所以2sin φ＝2，

π

结合图像可取φ＝，

4

5ππ?故y＝2sin??2t＋4?.

5ππ

答案：y＝2sin?t＋?

4??2

解答三角函数应用题的基本步骤

解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、回归实际问题． (1)审题

审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．

(2)建模

在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题．

(3)解模

运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决． (4)回归实际问题

应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判．

应用函数模型解题

2πk

估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的解析式是D(t)＝sin?（t－79）?＋12，

2?365?

其中t表示某天的序号，t＝0表示1月1日，依此类推，常数k与某地所处的纬度有关．

(1)若在波士顿，k＝6，试作出函数D(t)在0≤t≤365时的图像； (2)在波士顿，哪一天的白昼时间最长？哪一天最短？ (3)估计在波士顿一年中白昼超过10.5小时的天数． (链接教材P60习题1－9A组T1、T2、T3)

2π

[解] (1)当k＝6时，D(t)＝3sin?（t－79）?＋12.

?365?

2π

设f(t)＝3sin?（t－79）?，利用“五点法”，列出下表：

?365?t 79 170 262 353 444 f(t) 0 3 0 0 －3

描点并连线，作出f(t)＝3sin?f(0)＝3sin?

2π

（t－79）?的简图，如虚线图．若t＝0， ?365?

2π

（－79）? ?365?

≈3sin(－1.36)≈－2.9.

因为f(t)的周期为365，所以f(365)≈－2.9.

将y＝f(t)，t∈[0，365]的图像向上平移12个单位长度，得到y＝D(t)的图像，如实线图．

2π

(2)因为k＝6，所以D(t)＝3sin?（t－79）?＋12.白昼时间最长的一天，即D(t)取得最

?365?

大值的一天，此时t＝170，对应的是6月20日(闰年除外)．类似地，t＝353时，D(t)取得最小值，即12月20日白昼时间最短．

2π

(3)由D(t)>10.5，即3sin?（t－79）?＋12>10.5，

?365?

2π1

得sin?（t－79）?>－，t∈[0，365]，

?365?2

所以49

即约有242天的白昼时间超过10.5小时．

方法归纳

(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)，最大值为A＋b，最小值为b－A.

(2)解答有关实际问题时，一定要明确各个变量所代表的实际意义，同时自变量的取值范围要符合实际意义．

π5π

1．(1)已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin?x－?＋

4??8

20，x∈[4，16]．

①求该地区这一段时间内温度的最大温差；

②若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？

(2)

如图所示是一个半径为10个单位长度的水轮，水轮的圆心离水面7个单位长度．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面的距离d与时间t满足的函数关系是正弦曲线，其

d－kt－h

表达式为＝sin . ba

①求正弦曲线的振幅； ②正弦曲线的周期是多少？

③如果从P点在水中浮现时开始计算时间，写出有关d与t的关系式； ④P点第一次到达最高点大约要多少秒？

π5ππ5ππ3π3π

解：(1)①x∈[4，16]，则x－∈?－，?.由函数图像易知，当x－＝，

84?48424?π5ππ

即x＝14时，函数取最大值即最高温度为30 ℃，当x－＝－，即x＝6时，函数取

842

最小值即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.

π5ππ5π126

②令10sin?x－?＋20＝15，可得sin?x－?＝－，而x∈[4，16]，所以x＝.

234?4??8?8

π5ππ5π134

令10sin?x－?＋20＝25，可得sin?x－?＝，而x∈[4，16]，所以x＝.

34?4?2?8?8

34268

故该细菌的存活时间为－＝(小时)．

333

(2)①A＝r＝10；

60

②T＝＝15(s)；

4d－kt－ht－h③由＝sin，得d＝bsin＋k.

baa

2π15

又b＝A＝10，T＝＝2πa＝15，所以a＝.

12πa

因为圆心距水面7个单位长度， 所以k＝7.

2π（t－h）

所以d＝10sin＋7.

15

2π

将t＝0，d＝0代入上式，得sin?h?＝0.7，

?15?

2π

由计算器计算得h≈0.775，所以h≈1.85.

15

2π（t－1.85）

所以d＝10sin＋7.

15

2π（t－1.85）

④P点第一次到达最高点时，d＝17，代入③中的解析式得17＝10sin＋

157.

即sin

2π（t－1.85）2π（t－1.85）π

＝1，所以＝，解得t＝5.6 s.

15152

构建函数模型解题

游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O距地面40.5 m，半径40 m．若从最低点

处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化，5 min后到达最高点．从你登上摩天轮时开始计时，请解答下列问题．

(1)能求出你与地面的距离y与时间t的函数解析式吗？ (2)当你登上摩天轮8 min后，你与地面的距离是多少？ (3)当你第一次距地面30.5 m时，用了多长时间？ (4)当你第四次距地面30.5 m时，用了多长时间？ (链接教材P58例)

[解] (1)如图所示，O是摩天轮中心，作ON垂直地面于N，交轮于P，ON＝40.5 m，OP＝40 m．由题意可知，t＝0时，你在摩天轮的P点，经过t min，旋转到P1处，P1到地面的距离为P1M＝y.作P1Q垂直OP于Q.因为人从最低点旋转到最高点需5 min，所以摩天

πππ

轮的旋转速度为 rad/min，经过t min时间摩天轮旋转的角度是t rad，即∠P1ON＝t rad.

555

由图不难看出： y＝P1M＝ON－OQ

＝40.5－OP1cos∠P1OQ

π

＝40.5－40cos?t?

?5?ππ

＝40.5＋40sin?t－?.

2??5

即所求函数的解析式为

ππ

y＝40sin?t－?＋40.5.

2??5

ππ

(2)令t＝8，得y＝40sin?×8－?＋40.5≈28.14，即登上摩天轮8 min后与地面的距

2??5

离约为28.14 m.

πππ

(3)令y＝30.5，得40sin?t－?＝－10，即cos t＝0.25，得t≈2.1，即当第一次距

52??5

地面30.5 m时，用了约2.1 min.

(4)当第二次距地面30.5 m时，用了约10－2.1＝7.9 min.当第四次距地面30.5 m时，用了10＋7.9＝17.9 min.

当你登上摩天轮100 s后，你的朋友也在摩天轮的最低处登上摩天

轮．问你的朋友登上摩天轮多少时间后，第一次出现你和你的朋友与地面的距离之差最大？求出这个最大值．

πππ

解：当你的朋友离地面高度为y2＝40sin?t－?＋40.5＝－40cost＋40.5时，

52??5

5

由于100 s＝min，这时你自己离地面的高度为

3π5

t＋?＋40.5. y1＝－40cos?5?3?ππ5

t＋??. 所以y1－y2＝40?cost－cos?5?3???5

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