第三章、矩阵的初等变换

第三章，矩阵的初等变换3.1 矩阵的初等变换 3.2 矩阵的秩

§1 矩阵的初等变换 2 x1 x2 x3 x4 2 x x 2x x 4 1 2 3 4 引例 解线性方程组： 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9 利用消元法，可将上述方程组化为同解方程组

x1 x2 2 x3 x4 4 x2 x3 x4 0 x4 3 0 0

x1 x3 4 x2 x3 3 x 3 4

在上述消元过程中，对方程组所进行的变换 有以下三种： 互换两个方程的位置； 用一个非零的数乘某个方程；

把一个方程的k倍加到另一个方程；称之为线性方程组的初等变换。 易见方程组与对应的增广矩阵是一一对应的。

定义 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的 初 等行变换(1) 互换两行 ( 记作 ri rj ); (2) 以数 k 0 乘以某一行 ( 记作 k × ri ); (3) 将第 j 行各元素乘以数k后加到第 i 行的对应元 素上去 (记作 ri + k rj )。 相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需 将 r 换成 c。 如果矩阵A经过一系列初等变换变成矩阵B,则 称B和A等价，记作 B ~ A

矩阵的等价关系所满足的性质：(1) 自反性： A (2) 对称性：若 (3) 传递性：若 则

~A

B~ A

则

A~ B

A ~ B, B ~ C

A~C

2 1 1 1 1 1 2 1 B A, b 4 6 2 2 3 6 9 7

2 4 4 9

1 1 2 1 r1 r2 2 1 1 1 ~1 2 3 1 1 r3 2 3 6 9 7

4 1 1 2 1 4 r r32 23r1 r 2 0 2 2 2 0 r4~r1 0 5 5 3 6 2 3 9 0 3 3 4 3

1 1 2 1 4 1 1 r2 r3 5 r2 2 0 1 1 1 0 0 ~ 0 5 5 3 6 r4~r2 0 3 0 3 3 4 3 0 1 1 2 1 4 1 1 r4 2 r3 r3 r4 0 1 1 1 0 0 1 ~ 0 0 0 1 3 ~ 0 0 0 0 0 2 6 0 0

1 2 1 4 1 1 1 0 0 0 2 6 0 0 1 3 行阶梯形矩 2 1 阵 4 1 1 0 B1 0 1 3 0 0 0

行最简 形矩阵 1 r2 r3 0 B1 ~ r1 r3 0 0 1 2 0 7 1 1 1 0 3 r1 r2 0 0 0 1 3 ~ 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 4 0 3 B2 1 3 0 0

矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，

应用广泛.

定理2: 任意一个m n矩阵可以经过若干次初等变换 称为A的 化为如下形式的矩阵： 初等标准 形 Or ( n r ) Er

O ( m r ) r

O( m r ) ( n r )

定理3: 设A是一个n阶方阵，则一定存在n阶可逆矩 阵P,Q,使得： Er O PAQ O O Er 定理4: 设n

阶方阵 M O 可逆。 O ,如果r<n,则M不 O

定理5: n阶方阵A可逆的充要条件是A的初等标准形 为En。 推论 设A为n阶可逆方阵，则A经有限次初等(行、 列)变换可化为单位矩阵。

利用初等变换求逆矩阵行变换 构造矩阵： A E E A 1

即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A 1 .

0 1 2 例2 设 A 1 1 4 2 1 0

求A-1。

解 对(A¦ E)作初等行变换

0 1 2 1 0 ( A E) 1 1 4 0 1 2 1 0 0 0 1 1 4 0 1 r3 2r1 0 1 2 1 0 0 3 8 0 2

0 1 1 4 r1 r2 0 1 2 0 2 1 0 1 0 r 3r 1 1 4 0 1 2 0 0 0 2 1

2

3

0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 2 1

1 r3 2

1 1 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 1 3 1 2 2

r2 2r3

r1 4r3

1 1 0 6 3 2 0 1 0 4 2 1 1 0 0 1 3 1 2 2 0 1 0 0 0 1 2 4 3 2 1 2 1 1 1 1 2

r1 r2 1 0 0

2 1 A 4 3 2

1 1 2 1 1 1 2

A 列变换 构造矩阵： E

E 1 A

A 即对2 n n 矩阵 施行初等列变换， E 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A 1 .

A 解 对 作初等列变换 E 1 0 1 2 1 1 1 4 2 1 0 c1 c2 1 A E 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

0 1 2 例2 设 A 1 1 4 2 1 0

求A-1。

0 2 1 4 2 0 1 0 0 0 0 1

1 1 c3 2c1 1 0 1 0

0 1 2 1 0 0

0 2 2 0 2 1

1 1 c3 2c2 1 0 1 0

0 1 2 1 0 0

0 1 0 1 c 1 2 1 2 0 2 1 2 0 1 3

0 0 1 0 2 1 1 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 c2 2c3 0 0 1 1 1 c1 c3 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2

0 0 1 1 0 0 c1 c2 0 0 1 1 1 2 4 2 1 3 1 1 2 2

2 1 A 4 3 2

逆矩阵的应用1. 解线性方程组 对于n元线性

方程组 AX = B 则 X=A-1B 若 A-1存在

2 解矩阵方程AX=B或XA=B ( A 可逆)

X A 1B方法1: 先求 再求 方法2:

AX B

AB

1

行

XA B

X BA

1

(初等变换法)

A

A B

1

或(

E

BA

1

)

A B

1

A B

列

E 1 BA

解矩阵方程

1 2 0 1 4 4 2 1 X 2 5 3 1 2 1 3

1 2 0 1 4 A B 4 2 1 2 5 3 1 2 1 3 行

1 0 0 15 6 17 17 0 1 0 16 37 E 17 17 0 0 1 6 35 17 17

A 1B

§2 矩阵的秩定义1 在矩阵A=(aij) m n中任选k行和k列，位于这些选定的 行和列的交叉点上的k2个元素按原来的顺序构成的k 阶的 行列式，称为A的一个k阶子式。 显然，k ≤ min{m , n}。k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m C n 个. 定义2 如果非零矩阵A有一个r阶子式dr≠0,而所有r+1阶子

式(如果存在)全为零, 则称dr 是A的一个最高阶非零子式，

数 r称为矩阵A的秩，记作R(A)=r特别的，零矩阵的秩为0。

Er 显然 O 1 0 A= 0 0 2 1 0 0

O 的秩为 O 3 2 0 0 4 3 1 0 5 4 , 2 0

r则R(A)=3。

3 3 A 2 1

2 2 0 6

0 3 1 4

5 6 5 1

0 1 3 4

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