山师附中2012级高三第一次模拟数学试题理科

山师附中2012级高三第一次模拟考试试题

数 学（理工农医类） 2014.9

本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

1、设全集U???1,?2,?3,?4,0?，集合A???1,?2,0?，B???3,?4,0?，则(CUA)?B?（ ）

A．?0? B．??3,?4? C．??1,?2? D．? 2、已知f(x)?x,i是虚数单位，则在复平面中复数

2f(1?i)对应的点在（ ） 3?i D．第四象限

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

3、设随机变量?服从正态分布N(0,1)，若P(?>1)= p，则P(-1

π

4、设0＜x＜ ，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的（ ）

2A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

1?p B．1?p C．1?2p 2 D．

1?p 2C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5、已知两个不同的平面?、?和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题： ①若m//n,m??,则n??； ②若m??,m??,则?//?； ③若m??,m//n,n??,则???； ④若m//?,????n,则m//n.

其中正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 6、要得到函数f(x)?cos(2x?只需将函数g(x)?sin(2x?)的图象（ ） )的图象，

33??A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

22??C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

44

1

??

x2y2??1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交7、已知双曲线

124点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）

?33?,A．??? 33??B．?3,3

???33???C．??3,3? D．?3,3 ????8、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为 （ ） A．360 B．520 C．600 D．720

?x2?bx?c,x?0,9、设函数f(x)??若f(?4)?f(0)，f(?2)??2，则关于x的方程

?2,x?0.f(x)?x的解的个数为 （ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

10、已知向量OA与OB的夹角为?，OA=2，OB=1，OP?tOA，OQ??1?t?OB，

1PQ在t0时取得最小值.当0?t0?时，夹角?的取值范围为（ ）

5A．?0,???? ?3?B．?????,? ?32?C．??2????2??,? ? D．?0,?3??23?

第Ⅱ卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11、若x?1?x?3?k对任意的x?R恒成立，则实数k的取值范围为___________． 12、如图给出的是计算

开始 i =2, S=0 i =i +2 1111???????的值的程序框图， 2462014否 输出S S=S+1/i 是 其中判断框内应填入的是_ _．

13. 已知圆C过点(?1,0)，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：

y?x?1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程

为 .

14、定义：min?a,b????a,a?b?0?x?2，在区域?内任取一点

b,a?b0?y?6??2

结束

P?x,y?，则x、y满足min?x2?x?2y,x?y?4??x2?x?2y的概率为___________．

15、已知x?0,y?0，若

2y8x??m2?2m恒成立，则实数m的取值范围是 . xy

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

22216、（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且a?c?b?1ac. 2（Ⅰ）求sin2A?C?cos2B的值； 2（Ⅱ）若b = 2，求△ABC面积的最大值．

17、（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD?平面ABCD，NB?平面ABCD，且 MD =2，NB=1，MB与ND交于P点．

（Ⅰ）在棱AB上找一点Q，使QP // 平面AMD ，并给出证明； （Ⅱ）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．

18、（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为

432、、,且各轮问题能否正确回答互不影响. 555（Ⅰ）求该同学被淘汰的概率；

（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为?，求随机变量?的分布列与数学期望.

219、（本小题满分12分）设数列?an?的各项都是正数，且对任意n?N，都有an?2Sn?an，

*其中Sn为数列?an?的前n项和． (Ⅰ)求数列?an?的通项公式； (Ⅱ）设bn?3n?(?1)n?1.?.2an(?为非零整数，n?N*)，试确定?的值，使得对任意

n?N*，都有b?b成立.

n?1n

3

x2y2320、（本小题满分13分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(1,)，且长轴长等于

ab24.

（I）求椭圆C的方程；

（II）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线l:y?kx?m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若OA?OB??,求k的值.

21、（本小题满分14分）已知函数f(x)?32ax?b在点(?1,f(?1))的切线方程为2x?1x?y?3?0.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）设g(x)?lnx，求证：g(x)?f(x)在x?[1,??)上恒成立； （Ⅲ）已知0?a?b，求证：

4

lnb?lna2a. ?22b?aa?b

2012级高三一模数学（理）参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共50分）

1、B 2、A 3、D 4、B 5、D 6、C 7、A 8、C 9、B 10、C 二、填空题（每小题5分，共25分）

11、???,4? 12、i?2014 13、?x?3??y2?4 14、

24 15、?4?m?2 9三、解答题：本大题共六小题，共75分。

16、（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知，a?c?b?2accosB，由题意知

222a2?c2?b2?11ac，∴cosB?；??????2分

42又在△ABC中A?B?C??，∴

sin2A?C??BB1?cosB?cos2B?sin2?cos2B?cos2?cos2B??2cos2B?1 2222cosB11A?C1?，又cosB?，∴sin2?cos2B??.??????6分

4222411ac可知，a2?c2?4?ac， 22?2cos2B?222（Ⅱ）∵b=2 ，∴由a?c?b?即

18ac?2ac?4，∴ac?，????????8分 23∵cosB?∴S?ABC?115，∴sinB???????10分 441181515. ac?sinB????2234315．??????????12分 3∴△ABC面积的最大值为17、（Ⅰ）当BQ?1AB时，有QP//平面AMD. 3证明：∵MD?平面ABCD，NB?平面ABCD，∴MD//NB，????2分 ∴

BPNB1QB1QBNB??，又?，∴?，????4分 PMMD2QA2QAMD∴在MAB中，QP//AM，

又QP?面AMD，AM?面AMD，∴QP// 面AMD.????６分

（Ⅱ）解：以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），M（0,0,2）N（2,2,1），∴CM=（0,-2,2），CN=（2,0,1），

DC=（0,2,0），??????7分

???2y?2x?0?n1?CM?0设平面CMN的法向量为n1=（x,y,z）则?，∴?，

2x?z?0???n1?CN?0 5

∴n1=（1,-2,-2）.??????9分

又NB?平面ABCD，∴NB?DC，BC?DC，∴DC?平面BNC，∴平面BNC的法向量为n2=DC=（0,2,0），??????11分 设所求锐二面角为?，则cos??n1?n2n1?n2?42?.??????12分 3?2318、解：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i?1，2，3)， 则P(A1)?4，P(A2)?3，P(A3)?2，??????3分

555∴该同学被淘汰的概率P?P(A1?A1A2?A2A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)

?142433101．????????６分 ??????555555125（Ⅱ）?的可能值为1,2,3，P(??1)?P(A1)?1，P(??2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?4?2?8，

552554312．??????8分

P(??3)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)???5525∴?的分布列为

? P 1 2 3 1 5158 2512 25 ????????１０分 ∴E??1??2?81257?3??????????１２分 252525*219、解：（Ⅰ）∵n?N时，an?2Sn?an，?????① 2当n?2时，an?1?2Sn?1?an?1，??????②??????2分

22由①－②得，an?an?1?(2Sn?an)?(2Sn?1?an?1)

22即an?an?1?an?an?1，∵an?an?1?0 ∴an?an?1?1(n?2)，??????4分 2由已知得，当n?1时，a1?2S1?a1，∴a1?1.??????５分

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列.∴an?n(n?N). ????６分 （Ⅱ）∵an?n(n?N)，∴bn?3?(?1)∴bn?1?bn?3n?1**nn?1??2n,????7分

?3n?(?1)n??2n?1?(?1)n?1??2n?2?3n?3??(?1)n?1?2n.

6

3???()n?1. ????８分

23n?13(1)当n为奇数时,即??()恒成立.又()n?1的最小值为1,∴??1. ??9分

223n?1333(2)当n为偶数时,即???()恒成立.又?()n?1的最大值为?,∴????１０分

22223∴由(1),(2)得????1,又??0且?为整数,????????１１分

2要使得bn?1?bn恒成立,只须(?1)n?1*∴???1对所有的n?N,都有bn?1?bn成立. ??????１２分

20、解：（Ⅰ）由题意，椭圆的长轴长2a?4，得a?2，????2分 ∵点?1,19?3?2?在椭圆上，∴?2?1得b?3，????４分

44b?2?x2y2??1.??????6分 ∴椭圆的方程为43（Ⅱ）由直线l与圆O相切，得

m1?k2?1，即m2?1?k2，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由

?x2y2?1,??222消去y，整理得3?4kx?8kmx?4m?12?0,??????8分 3?4?y?kx?m,???由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，∴

8km4m2?12x1?x2??,x1?x2?3?4k23?4k2.

y1?y2??kx1?m??kx2?m??k2x1?x2?km?x1?x2??m24m2?123m2?12k2?8km?2?k??km???m?.22?23?4k3?4k?3?4k?2????10分

4m2?123m2?12k27m2?12k2?12??,??????11分 ∴x1?x2?y1y2?2223?4k3?4k3?4k?5?5k2∵m?1?k，∴x1?x2?y1y2?.??????１2分

3?4k22232?5?5k2312???∵OA?OB??，∴，，得k的值为.????13分 k?2223?4k2221、解：（Ⅰ）将x??1代入切线方程得y??2， ∴f(?1)?b?a??2，????２分 1?1 7

a(x2?1)?(ax?b)?2x化简得b?a??4. f?(x)?，?????４分22(1?x)2a?2(b?a)2bb????1，

4422x?2解得：a?2,b??2.∴f(x)?2. ????６分

x?12x?2（Ⅱ）由已知得lnx?2在[1,??)上恒成立，

x?1f?(?1)?化简(x2?1)lnx?2x?2，即xlnx?lnx?2x?2?0在[1,??)上恒成立.????７分 设h(x)?x2lnx?lnx?2x?2，h?(x)?2xlnx?x?∵x?1 ∴2xlnx?0,21?2， ????８分 xx?1?2，即h?(x)?0，????９分 x∴h(x)在[1,??)上单调递增，h(x)?h(1)?0，∴g(x)?f(x)在x?[1,??)上恒成立 .????１０分

b2?2bb（Ⅲ）∵0?a?b， ∴?1，由（Ⅱ）知有ln?a， ??12分

a(b)2?1aalnb?lna2alnb?lna2a0?a?b整理得，∴当时，. ????14分 ?2?222b?ab?aa?ba?b

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