圆锥曲线解题技巧经典实用

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1 1 圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．

421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）

； （2

）

方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左

支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4

2

x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{

cos sin x a y b ??==（参数方程，

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2 2 其中?为参数），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

如（1）已知方程1232

2=-++k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22

---）； （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____

，2

2y x +的最小值是

___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b

x a y -＝1（0,0a b >>）。方程22

Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14

922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2

214

x y -=）； （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=

e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x 2,y 2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

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3 3 如已知方程1212

2=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2

3,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的

位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222

a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。

4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），

四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2

a x c =±； ⑤离心率：c e a

=，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆1522=+m

y x 的离心率510=e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长

轴的最小值为__（答：22） （2）双曲线（以22221x y a b

-=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），

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4 4 两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，

称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c

=±； ⑤离心率：c e a

=

，双曲线?1e >，等轴双曲线

?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 如 （1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______（

）； （2）双曲线221ax by -

=:a b = （答：4或14

）； （3）设双曲线122

22=-b

y a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[

,]32ππ）； （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点

(,0)2

p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a

=，抛物线?1e =。

如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a

）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b

y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆

v1.0 可编辑可修改 5 5 内?2200221x y a b

+< 6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______（答：(-3

15,-1)）； （2）直线y ―kx ―1=0与椭圆22

15x y m

+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））； （3）过双曲线12

12

2=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；

（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切；

（3）相离：0?<?直线与椭圆相离；0?<?直线与双曲线相离；0?<?直线与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果

直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线22

22b y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切

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6 6 线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82

=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）； （2）过点(0,2)与双曲线116

92

2=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______

（答：4,33??±±????

?）； （3）过双曲线12

2

2=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条（答：3）；

（4）对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______（答：相离）；

（5）过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+q

p 11_______（答：1）； （6）设双曲线19

162

2=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；

（7）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x

的最短距离（答：13

）；

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7 7 （8）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上②当a 为何值时，以

AB

为直径的圆过坐标原点（答：①(；②1a =±）；

7、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二

定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r ed =，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。 如（1）已知椭圆116

252

2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：353

）； （2）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物

线的焦点的距离等于____；

（3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：

7,(2,4)±）

； （4）点P 在椭圆19

252

2=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______（答：

2512）； （5）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的

距离为______（答：2）； （6）椭圆13

42

2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3

62(-）； 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第

一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离

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8 8 分别为12,r r ，焦点12F PF ?的面积为S ，则在椭圆122

22=+b

y a x 中， ①θ＝)12arccos(2

12

-r r b ，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大为θm ax ＝222arccos a c b -；②20tan ||2S b c y θ

==，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；对于双曲

线22

221x y a b -=的焦点三角形有：①???? ??-=2

1221arccos r r b θ；②2cot sin 21221θθb r r S ==。 如 （1）短轴长为5，离心率3

2=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为________（答：6）；

（2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若

0212=?F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答：224x y -=）

； （3）椭圆22194

x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→ <0时，点P 的横坐标的取值范围是

（答：(）； （4）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝2

6，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝

__________（答：；

（5）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，31221=?F PF S ．求该双曲线的标准方程（答：221412

x y -=）； 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB

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9 9 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（4）若

AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C

点，则A ，O ，C 三点共线。

10、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B

的横坐标，则AB

＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝

21211y y k

-+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB

12y y -。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将

焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

如（1）过抛物线y 2

=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，

那么|AB|等于_______（答：8）；

（2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标

原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______（答：3）；

11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆122

22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0

202y a x b ；在双曲线22

221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

p y 。 如（1）如果椭圆22

1369

x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；

（2）已知直线y=－x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两点，且线段

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10 10 AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______

）； （3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13

42

2=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4

对称（答：? ??

）

； 特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！

12．你了解下列结论吗

（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02

222=-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(22

22=-b

y a x 为参数，λ≠0）。 如与双曲线116

92

2=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______（答：22

4194

x y -=） （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22

1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22b a

，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2

b c

，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线2

2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②2

21212,4

p x x y y p ==-

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11 11 （7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p

13．动点轨迹方程：

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

（2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；

如已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为

（答：22y x =）；

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

如(1)由动点P 向圆22

1x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为 （答：22

4x y +=）； （2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：2

16y x =）；

(3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；

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12 12 ④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；

如动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分?→?PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3

162-=x y ）； ⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

如（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。（答：22||x y a y +=）；

（2）若点),(11y x P 在圆122=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（答：2121(||)2y x x =+≤）；

（3）过抛物线y x 42

=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________（答：222x y =-）； 注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的

代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 如已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P

是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF （1）设x 为点P 的横坐标，证明x a

c a P F +=||1；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若

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13 13 不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）222

x y a +=；（3）当2b a c >时不存在；当2

b a

c ≤时存在，此时∠F 1MF 2＝2）

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注

意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线

的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”

为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=

； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+PM ,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实

数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λ

λ++=1OP ，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即λ=

（7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出

0<=?m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角,

（8

）

给出MP =?? ?+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/

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14 14 （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;

（11）在ABC ?中，给出222==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在ABC ?中，给出+=OA OP ()||||

AB AC AB AC λ+)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ?的内心；

（15）在ABC ?中，给出0=?+?+?c b a 等于已知O 是ABC ?的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16） 在ABC ?中，给出()

12AD AB AC =

+,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线;

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