2014届高考数学（山东专用理科）一轮复习教学案第八章立体几何8.7空间向量的应用

8.7 空间向量的应用

考纲要求

1．理解直线的方向向量与平面的法向量．

2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．

4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

1．直线的方向向量及其应用

(1)直线的方向向量：直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量____(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量有____个．

(2)直线方向向量的应用：

利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．

????①对于直线l，点A是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l上取AB＝a，

则对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得______________．这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点．

②空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线确定，若设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别是a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序

????实数对(x，y)，使得OP＝________，这样，点O与方向向量a，b不仅可以确定平面α的

位置，还可以具体表示出α内的任意一点．

2．平面的法向量

(1)若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量，显然一个平面的法向量也有____个，它们是____向量．

(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么，过点A，以向量a为法向量的平面是____确定的．

3．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线、平面位置关系中的应用

直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．(注：下面的λ，k∈R)．

如果l1∥l2，那么u1∥u2?u1＝λu2?____________； 如果l1⊥l2，那么u1⊥u2?u1·u2＝0?____________.

直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)． 若l∥α，则u⊥n?u·n＝0?____________； 若l⊥α，则u∥n?u＝kn?________________.

平面α1的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面α2的法向量为u2＝(a2，b2，c2)． 若α1∥α2，则u1∥u2?u1＝ku2?______________； 若α1⊥α2，则u1⊥u2?u1·u2＝0?______________. 4．利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角：

①范围：两异面直线所成的角θ的取值范围是______．

②向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有______________． (2)直线与平面所成的角：

①范围：直线和平面所成角θ的取值范围是________．

②向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝______或cos θ＝sin φ.

(3)二面角：

①二面角的取值范围是__________． ②二面角的向量求法：

若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的平面

[来源学科网]

????????角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图甲)．

设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图乙、丙)．

5．利用空间向量求空间距离

????2????????AB可以求空间中有向线段的长度． (1)利用|AB|＝AB·

????已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO|????????＝|AB||cos〈AB，n〉|＝______.

1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )． A．l∥α B．l⊥α

C．l?α D．l与α斜交

2．若平面π1，π2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是( )． A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)

D．n＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)

A1B13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成的角

4

的余弦值为( )．

(2)点面距离的求法．

115A． B．

21721C． D．

173

14．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，

2

则l与α所成的角为( )．

A．30° B．60° C．120° D．150°

5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．

(1)证明：PC⊥平面BEF；

(2)求平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小．

一、利用空间向量证明平行和垂直

π

【例1－1】如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，4

OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD．

【例1－2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)AE⊥CD；

(2)PD⊥平面ABE. 方法提炼

1．利用向量处理平行问题的常用方法：

(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．

(2)用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示．

(3)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．

2．利用向量处理垂直问题的常用方法：

(1)证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即a⊥b?a·b＝0.

(2)用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．

(3)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．

请做演练巩固提升1

二、利用空间向量求角

1

【例2】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD．

2

[来源学+科+网Z+X+X+K](1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q－BP－C的余弦值． 方法提炼

如何利用空间向量解决求角的问题：

在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于

a·b

角的计算，均可归结为两个向量的夹角．对于空间向量a，b，有cos〈a，b〉＝，利用

|a||b|

这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题．

(1)线线角：要求两条异面直线所成的角，可先求两条异面直线的方向向量的数量积，要求两向量的数量积，可以求得两向量的坐标，也可以把所求向量用一组已知模和夹角的基向量表示出来进行求解．

(2)线面角：直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹

ππ|l·n|

角为β，则θ＝－β(或θ＝β－)，故有sin θ＝|cos β|＝. 22|l||n|

(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的面α，β的法向量，则〈n1，n2〉与所求二面角的平面角相等或互补．

请做演练巩固提升2

三、利用空间向量求距离

【例3】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23.

(1)求点A到平面MBC的距离；

(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值． 方法提炼

空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离、点到线的距离和点到面的距离．其中点到点的距离、点到线的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离可借助于平面的法向量求解．

请做演练巩固提升3

空间向量在立体几何问题中的合理应用

【典例】(12分)(2012安徽高考)平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝2，A1B1＝A1C1＝5，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．

(1)证明：AA1⊥BC； (2)求AA1的长；

(3)求二面角A－BC－A1的余弦值．

规范解答：(1)取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD． 由四边形BB1C1C为矩形知，DD1⊥B1C1. 因为平面BB1C1C⊥平面A1B1C1， 所以DD1⊥平面A1B1C1.

又由A1B1＝A1C1知，A1D1⊥B1C1.

故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz.(2分)

由题设，可得A1D1＝2，AD＝1.

由以上可知AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，于是AD∥A1D1. 所以A(0，－1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(－1,0,4)，D(0,0,4)．

????????????????BC＝0. 故AA1＝(0,3，－4)，BC＝(－2,0,0),AA1·

????????因此AA1⊥BC，即AA1⊥BC．(5分)

????(2)因为AA1＝(0,3，－4)，

????所以|AA1|＝5，即AA1＝5.(7分)

(3)连接A1D．

由BC⊥AD，BC⊥AA1，可知BC⊥平面A1AD，BC⊥A1D， 所以∠ADA1为二面角A－BC－A1的平面角．

?????????因为DA＝(0，－1,0)，DA1＝(0,2，－4)，(9分)

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