工程流体力学总复习

第11章 流体力学

第十一章 流体力学

11.1 流体的基本性质 1)压缩性

流体是液体与气体的总称。从宏观上看，流体也可看成一种连续媒质。与弹性 体相似，流体也可发生形状的改变，所不同的是静止流体内部不存在剪切应力，这是因为如果流体内部有剪应力的话流体必定会流动，而对静止的流体来说流动是不存在的。如前所述，作用在静止流体表面的压应力的变化会引起流体的体积应变，其大小可由胡克定律

?p??k

?vv

描述。大量的实验表明，无论气体还是液体都是可以压缩的，但液体的可压缩量通常很小。例如在500个大气压下，每增加一个大气压，水的体积减少量不到原体积的两万分之一。同样的条件下，水银的体积减少量不到原体积的百万分之四。因为液体的压缩量很小，通常可以不计液体的压缩性。气体的可压缩性表现的十分明显，例如用不大的力推动活塞就可使气缸内的气体明显压缩。但在可流动的情况下，有时也把气体视为不可压缩的，这是因为气体密度小在受压时体积还未来得及改变就已快速地流动并迅速达到密度均匀。物理上常用 马赫数M来判定可流动气体的压缩性，其定义为M=流速/声速，若M2<<1，可视气体为不可压缩的。由此看出，当气流速度比声速小许多时可将空气视为不可压缩的，而当气流速度接近或超过声速时气体应视为可压缩的。总之在实际问题中若不考虑流体的可压缩性时，可将流体抽象成不可压缩流体这一理想模型。

2)粘滞性

为了解流动时流体内部的力学性质，设想如图10.1.1所示的实验。在两个靠得很近的大平板之间放入流体，下板固定，在上板面施加一个沿流体表面切向的力F。此时上板面下的流体将受到一个平均剪应力F/A的作用，式中A是上板的面积。

实验表明，无论力F多么小都能引起两板间的流体以某个速度流动，这正是流体的特征，当受到剪应力时会发生连续形变并开始流动。通过观察可以发现，在流体与板面直接接触处的

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第11章 流体力学

流体与板有相同的速度。若图10.1.1中的上板以速度u沿x方向运动下板静止，那么中间各层流体的速度是从0（下板）到u（上板）的一种分布，流体内各层之间形成流速差或速度梯度。实验结果表明，作用在流体上的切向力F正比与板的面积和流体上表面的速度u反比与板间流体的厚度l，所以F可写成

AuF??l，

因而流体上表面的剪应力可以写成

u????l。

u 式中

l是线段ab绕a点的角速度或者说是单位时间内流体的角形变。若用微分形式表示更

具有普遍性，这时上式可以改写成

du????dl，

dudF???dAdl 或 。

上式就是剪应力所引起的一维流体角形变关系式，比例系数?称为流体的粘滞系数，上式叫做牛顿粘滞性定律。?为常数的流体称为牛顿流体，它反映了切应力与角形变是线性关系，?不是常数的流体称为非牛顿流体。

流体的粘滞系数?是反映流体粘滞性的大小的物理量，在国际单位制中，粘滞系数的单位是牛顿?秒/米2。所谓粘滞性是指当流体流动时，由于流体内各流动层之间的流速不同，引起各流动层之间有障碍相对运动的内“摩擦”，而这个内摩擦力就是上式中的切向力，物理学中把它称为粘滞阻力。因此上式实际上是流体内部各流动层之间的粘滞阻力。 实验表明，任何流体流动时其内部或多或少的存在粘滞阻力。例如河流中心的 水流动的较快，而靠近岸边的水却几乎不动就是水的粘滞性造成的。在实际处 理流体的流动问题时，若流动性是主要的粘滞性作用影响不大，则可认为流体 是完全没有粘滞性的，这种理想的模型叫做非粘滞性流体。

3）压力与压强

从前面的讨论知道静止流体表面上没有剪应力，所以容器壁作用在静止流体 表面上的力是与液体表面正交的，按牛顿第三定律流体作用在容器壁上的力也与

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第11章 流体力学

容器壁表面正交，这一点对静止液体内部也成立。在静止液体内过某一点作一假 想平面，平面一方流体作用该平面的力也总是垂直于该假想平面。流体表面与流 体内各点的压力一般是不一样的，在流体表面压力的方向只能是垂直于液体表面 ，而流体内部某点的压力沿各个方向都有，因为过流体内部一点我们可以取任意 方向的平面。在流体力学中为了描述流体内部的作用力，引入一个叫做压强的物 理量，规定压强是作用于流体内单位面积上垂直力的数值，它是一标量。为了计 算流体内某一点的压强，我们应该设想通过该点的假想平面?s是无限小的，若该 面上的正压力为?F，则定义该点的压强

?Fp?lim?s?0?s 。

在国际单位制中压强的单位是牛顿/米2，也称为帕用Pa表示。在实际应用中压强也有用等价的流体柱高表示的，如医用测量血压的仪器就是用水银柱高作为压强的单位。流体力学中压强是标量但力是矢量，面元的法向也是矢量。既然流体内部的力总是垂直于假想平面，因此可定义流体内某点力的方向与它所作用平面的内法线方向一致，这样作用流体内任一面元上的力?F可写成 dF= ?pds 。由于流体内部每一点都有压强所以说流体内每一点都存在压力，至于压力的方向由所考虑平面的法线决定，可以是任何的方向，当流体流动时压强与压力的关系不变。

4）流体的密度和比重

在流体力学中常用密度来描述流体的动力学规律，其定义和固体定义一样为单位体积流体的质量，即流体内某点的密度为

?mdm??lim??v?0?vdv。

对均匀不可压缩的流体密度是常数，一般情况下流体内部各点的密度是不相同的。单位体积流体的重量称为流体的比重。设想在流体内部取一小体积?v，?v中包含流体的质量为?m，因而?v内流体的重量为?mg，由定义该流体的比重

??lim

?mg??g?v?0?v 。

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第11章 流体力学

11.2 流体静力学方程 1）静止流体内任一点的压强

静止流体内过一点可以沿许多不同的方向取面元，现在来研究这些不同取向的面元上压强有什么关系。在静止的流体内部取一个很小的四面体ABC包围该点，如图10.2.1所示。设面元ABC法线的方向余弦为?、?、?，周围流体对该点作用力（压力）可以用压强P1、P2、P3和P表示，当流体静止时所受到的合外力为零，即

?P1?SCOB?P?SABC???0??P2?SOAC?P?SABC???0?P?S?3OAB?P?SABC???0 因为

由上式得到

??SABC????SCOB???SABC????SOAC??S?ABC????SOAB

P = P1= P2 = P3 。

由于四面体是任意选取的，于是我们可以得出结论：静止流体内部任一点上沿各个方向的压强都相等，与过这点所取面元法线的方向无关。正因为如此，流体力学中压强只与流体内的点对应而不必强调压强是对哪一个面的。 2）流体静力学方程

处理流体静力学问题时，常常取流体内部一个小流体元作为研究对象。作用在小流体元上的力大致可分为两类。一类是作用在小流体元外表面上的压力，我们称之为面力，如液体表面的正压力Pds。另一类是作用在整个小流体元上与流体元的体积成正比的力，如重力?gdv、惯性力等，我们称为体力。下面从牛顿定律出发推导流体静力学满足的普遍方程。当流体处于静止状态时，流体内任一小流体元受到的面力与体力之和必定为零，即平衡条件为

?F面??F体?0。

与压强类似，我们引入一个体力密度

f?dF体dv ，它

表示作用在单位体积流体上的 体力。例如在只有重力作用下，体力密度f的大小就是比重?g，方向沿重力方向，而在惯性力的作用下，体力密度就是f = －?a。为

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第11章 流体力学

了建立流体静力学方程，我们在静止流体内部取如图10.2.2所示的立方体流体元，根据平衡条件有

整理后得

?px?syz?(px??px)?syz??fx?v?0??py?szx?(py??py)?szx??fy?v?0?p?s?(p??p)?s?f?v?0?zzzxy?zxy???px??syz??fx?v?0????py?szx??fy?v?0???p?s?f?v?0?zzxy?

利用

?px?px?px??syz???syz??x???v,?x?x?py?py?py??szx???szx?y???v,?y?y?pz?pz?pz??sxy???sxy??z???v,?z?z

可将前式简化成

??px?(??x??fx)??v?0???py??fy)??v?0?(???y??pz??fz)??v?0?(??z ?

显然体积?v≠0，所以只能是

?px???fx?0,?x??py?y??fy?0,?pz???fz?0?z。

在上面的式子中取极限?x?0,?y?0,?z?0，就可得静止流体内任一点都 必须满足的方程

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第11章 流体力学

11.3流体运动学描述 1）流体运动分类

流体流动的分类有许多种，这里介绍经常遇到的几种。

理想流体；流体流动过程中不计流体的内摩擦力，不计流体的体积压缩，把流体看成是无粘滞性、不可压缩的理想模型，因此理想流体的流动过程是无能耗 的可逆过程。稳定流动；流体内任何一点的物理量不随时间变化的流动称为稳定流动，这意味着稳定流动过程中，流体内任一点的流速、密度、温度等物理量不随时间变化。

例如在稳定流动时，如果流体内某点的速度是沿x轴方向，其量值为3cm/s，则在流体以后的流动中该点的流速永远保持这个方向与量值。若用v、?、T分别表示流体内部速度、密度以

?v???T???0?t?t及温度的分布，则稳定流动时满足?t。反之若流体内任一点的速度不满足

?v?0?t就说流动不是稳定的，例如变速水泵喷出的水流就是如此。

均匀流动：流体流动过程中如果任意时刻流体内空间各点速度矢量完全相同，不随空间

?v?0位置的变化就称流动是均匀的。用公式表示可写成?l，其中 l表示沿任意方向求导数。

反之，若某一时刻流体内部各点的速度不全相同的流动称为非均匀流动。例如流体以恒定速率通过一均匀长管的流动是稳定的均匀流动，而流体以恒定速率通过一喇叭形长管的流动是稳定的非均匀流动，流体加速通过一喇叭形长管的流动是不稳定的非均匀流动。

层流与湍流；在流体流动过程中如果流体内的所有微粒均在各自的层面上作定向运动就叫做层流。由于各流动层之间的速度不一样，所以各流动层之间存在阻碍相对运动的内摩擦，这个内摩擦力就是粘滞力它满足牛顿粘滞性定律。层流在低粘滞性，高速度及大流量的情况下是不稳定的，它会使各流动层之间的微粒发生大量的交换从而完全破坏流动层，使流体内的微粒运动变得不规则，这种现象叫做湍流，湍流发生时流体内有很大的纵向力（垂直流动层的力），引起更多的能量损耗。

有旋流动：在流体的某一区域内，如果所有微粒都绕着某一转轴作旋转就称流体是作有旋流动。最直观的有旋流动是涡流，但不是仅仅只有涡流才是有旋流动，物理上判断流体是否作有旋流动是用所谓的环量来刻画的。设想在流体内

取一任意的闭合回路C，将流速v沿此回路的线积分定义为环量?，用公式表示就是

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第11章 流体力学

?c??v?dl??vcos?dlcc。

流体内部环量不为零的流动叫做有旋流动，环量处处为零的流动称为无旋流动。按照上面的定义，层流也是有旋流动，参见图10.3.0。 2)流线与流管

研究流体的运动，可以观察流体内微粒经过空间各点时的流速。一般情况下，流体内各点的速度是随时间和空间位置变化的，因此流体内各点的速度分布是时间与空间的函数，即

v = v ( x, y, z, t )。

物理学中常把某个物理量的时空分布叫做场，所以流体内各点流速分布就可以看成速度场。描述场的几何方法是引入所谓的场线，就像静电场中引入电力线，磁场中引入磁力线一样，在流速场中可以引入流线。流线是这样规定的，流线为流体内的一条连续的有向曲线，流线上每一点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向，图10.3.1（a）给出了几种常见的流线。

一般情况下空间各点的流速随时间t变化，因此流线也是随时间变化的。由于流线分布与一定的瞬时相对应

（参见图10.3.1（c）），所以在一般情况下，流线并不代表流体中微粒运动的轨道，只有在稳定流动中，流线不随时间变化，此时流线才表示流体中微粒实际经过的行迹。另外，由于流线的切线表示流体内微粒运动的方向，所以流线永远不会相交，因为如果流线在空间某处相交就表示流体中的微粒

经过该点时同时具有两个不同的速度，这当然是不可能的。

如果在流体内部取一微小的封闭曲线，通过曲线上各点的流线所围成的细管 就称为流管，如图10.3.1（b）所示。由于流线不会相交，因此流管内、外的流体都不具有穿过流管的速度，也就是说流管内部的流体不能流到流管外面，流管外的流体也不能流入流管内。 3)流量

流体力学中用流量来描述流体流动的快慢，工业上也称流量为排泄量。设想在流体内部截取

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第11章 流体力学

一个面A，定义单位时间内通过截面A流体的体积为通过截面A的（体积）流量。如图10.3.2.所示，在流体内部取一小面元dA通过它的边界作一流管，在流管上截取长度为流速v的一段体积，由于单位时间内该体积内的流体会全部通过面元dA，所以通过面元dA的流量就是dQ = vcos? dA。如果把面元定义为矢量，取其外法线方向为面元的正方向即dA=dAn, 那么通过面元dA的流量可以表示成dQ=v﹒dA，而通过整个截面A的流量就可以表示成更简洁的形式

Q??dQ??vcos?dA??v?dAAAA。

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第11章 流体力学

11.4 流体力学基本方程 1）一般方程

在流体内沿流管截取一小流体元，设在t时刻小流体元占有体积为V，边界为S。 按照它的体形在速度场中选取一假想体积，使得在t时刻假想体积与截取流体元 的体积完全一致如图10.4.1（a）所示。图中虚线表示实际的流体元，实线表示 假想的体积。流体会流动，其体积与假想体积之间会发生相对运动变成图 10.4.1.(b)所示的情况。流体元的一部分会穿出假想体积元的边界，而周围的流 体会流入假想的体积元，使假想体积内有流体流入也有流体流出。

设N是流体元所携带的某种物理量的总量，它可以是质量、动量，或者是能量。?是单位体积流体中这种物理量的含量或者说是N的密度。我们

来考查流体流动时，物理量N随时间的变化规律。注意到在t+?t时刻流体元占据的体积是II+Ⅳ，而在t时刻占据的体积是I或Ⅱ+Ⅲ，因此在t到t+?t时间内流体元所携带物理量N的变化量

Nt??t?Nt?[??dV???dV]t?dt?[??dV]tIIIVI。

在上式右侧加上零因子

重新组合，然后除以dt得

[??dV]t??t?[??dV]t??tIIIIII

??dN???????????????dV?????dV??/dt?????dV?????dV??/dtdt??I?t?dt?I?t??t??t??t??t?III??IV 。

上式的第一部分

???????????dV?????dV??/dt???dV?tI?t?dt?I?t? ??I，

是单位时间内假想体积内流体所携带N量的变化率。第二部分的第一、二项分 别为

[??dV]t?dtIV

dt??流出边界?vdA,?[??dV]t?dtIIIdt???流入边界??vdA，

表示单位时间内流入流出假象边界的物理量N，它们可以用密度?对流量的 积分给出。

选择假想体积边界面的外法线为正方向，如图10.4.2，上两式合起来就是

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第11章 流体力学

?假象边界?v?dA。 将上面的结果代回方程得到

dN???假想体积?dv??假想边界??v?dAdt?t。

上式说明流体元的某个物理量N随时间的变化可以化为假想体积内流体的物理

量N随时间的变化，即等于假想体积内N对时间的变化率（偏导数）加上从该体 积边界流入N量的净增加值。这是流体动力学的一个普遍规律，由此可以推出流 体动力学的几个重要方程。

2）连续性方程

若考查流体流动过程中质量变化规律，取N=m，这时

???。由于流体流动过程中质量

dm?0不变dt，一般方程式化为

??假想体积?dV??假想边界?v?dA?0 ?t。

这就是流体力学的连续性方程（积分形式），它是以质量守恒出发得到的，其意义为在一个假想体积中，流体的质量随时间的变化等于单位时间从其边界流入该体积的净质量。利用体积分化为面积分的公式

V 连续性方程可化为

??(?v)dV???v?dAS，

????dV???(?v)dV?0V V?t，

???[??(?v)]dV?0V?t。

????(?v)?0?t

即

由于dV ? 0，所以只能

3）能量方程

上式就是连续性方程的微分形式，它对流体内任一点都成立。

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第11章 流体力学

如果我们讨论流体的能量变化，可取N=E，此时???e，式中e为单位质量流体 的能量。由一般方程式得

dE???假想体积?edV??假想边界?ev?dAdt?t

，

上式就是流体内部能量满足的方程。它表示流体能量随时间的变化可由假想体积内流体能量随时间的变化与单位时间从边界流入假想体积内的净能量确定。 4）动量方程

如果我们讨论的是流体动量如何随时间变化，可取N=P，此时???v。将此关 系代入一般方程可得流体力学的动量方程

dp???假想体积?v?dV??假想边界?v(v?dA)?t dt。

其意义为流体的动量随时间的变化率等于假想体积内流体的动量随时间的变化加上从假想体积边界流入该体积中的净动量。 5）方程的应用

i)作为连续性方程的应用，考虑在流管中稳定流动的流体。由于流动是稳定的，流线的位置不随时间变化，沿流管截取一假想体积如图10.4.3所示，该体积由流管的边界与上、下两

???0个面1和2包围。对稳定流动?t，这时连续性方程退化成

?v?dA?0?假想边界 。

这表明单位时间内通过假想体积边界流入流出的净质量为零，由于管内外的流体均不能穿过管壁，所以流体只能通过下截面1流入，上截面2流出。这意味着从截面1流入的流体质量必定等于通过截面2流出假想体积的质量，

即

S1??1v1dA1???2v2dA2S2 。

如果用??1及??2分别表示截面1与截面2处的平均密

度，用Q1、Q2表示通过截面1与截面2的流量，上式可以表示成更方便的形式

?Q1???2Q2， ?1180

第11章 流体力学

对于不可压缩的流体

?1??2，

上式退化为 Q1=Q2 。

结果表明，不可压缩的流体在流动时，沿流管的任意截面上流量均相同，它是质量守恒的必然结果。

ii)作为动量方程的应用，考虑在一弯管中稳定流动的流体，如图10.4.4所示。沿载流管截取一假想体积，该体积由载流管内边界与1、2两个截面包围，

???0同样地，对稳定流动有?t且任意一点流速v=常量，因此

动

量

方

程

退

化

成

dp??假想边界?v(v?dA)dt。

由于在载流管的边界处流速v垂直于载流管的内表面，所以上式中对假象体积的外表面积分实际上退化为对1、2两个截面的面积分

S1dp???1v1(v1?dA)???2v2(v2?dA)dtS1S2 ??1v1?v1?dA??2v2?v2?dAS2

???1v1Q1??2v2Q2

这里的?1、?2、v1、v2是1、2两个截面上的平均密度与平均速度。如果流体是不 可压缩的且流动过程中质量守恒，这时?1=?2=?，Q1=Q2= Q，结果简化成

dp??Q(v2?v1)dt。

从图10.4.4看出，流体在载流管内动量的改变是由于管壁施加给流体作用力的缘故，其大小与方向由上式决定，因此由牛顿第三定律可以得到结论：流体对载流管的作用力也由上式决定，但作用力的方向相反。

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第11章 流体力学

11.5 理想流体的流动 1）沿一条流线的欧拉方程

先来介绍流体力学中一个十分重要的方程??欧拉方程，它是流体动力学的基本程之一。当无粘滞性的流体稳定流动时，取流体内一根流线S，如图10.5.1所示。沿流线截取一横截面为dA，长为ds的一小流体元。该流体元受到来自沿流线前、后两个截面上的正压力（以流线的方向为参照方向）

??

?(p2?p1)dA???p?p?dAds??dv?s?s，

力的方向沿着流线的切向。这段流体元还受到重力的作用，其大小为?mg = ?gdv ,方向竖直向下。设重力与流线之间的夹角为?，则重力沿着流线切线方向的投影为（见图10.5.1）

?z?gcos?dv???gdv?s。

对所取的流体元，按牛顿第二定律写出沿流线切向的动力学方程就是

?p?z?dv??gdv??adv?s ?s ，

式中a为流体元沿流线切向的加速度。将?g用比重?表示，并消除上式中dv得到

?p?z?????a?s?s。(1)

式中的切向加速度a可改写成

dv?v?s?v?v?va?????v?dt?s?t?t?s?t，

把上面的式子代回前面的式子(1)就可以得到

1?p?z?v?v?g?v??0??s?s?s?t，

?v?0 这就是沿一条流线的欧拉方程。 对于稳定流动?t ，欧拉方程退化成

1?p?z?v?g?v?0??s?s?s 。

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第11章 流体力学

由于此时只有一个变量（空间变量s），上式中的偏微分可用全微分代替，去掉微分公因子ds后得

dp?gdz?vdv?0 ?。

2）柏努利方程

无粘滞性的流体稳定流动时，沿任何一条流线必定满足上式。对理想流体，由于不可压缩上式中的密度?是常数。将上式沿流线积分，注意此时密度?为常量就可以得到理想流体沿任何一条流线流动时必须满足的方程

p12?gz?v?常数2 ?。

上式就是著名的柏努利方程，式中的积分常数也称柏努利数，它是随着不同流线 而变化的。式中每一项的量纲都是单位质量的能量[M2S-2]。若将上式除以g，每项就成为单位重量的能量，即

pv2?z??常数2g ?。

对液体来说，用上式比较方便。若用?g乘上式就得到

12p??gz??v?常数2 ，

该式用于气体显得方便一些，因为对气体来说高度z的变化往往是不很重要的，在精度要求不很高的情况可将其略去，这样方程显得简单。

现在来说明一下柏努利方程中各项的物理意义。第一项P/?是单位质量流体流动时对外做的功或者流功，也就是单位质量流体对周围环境所做的功。为了弄清这一点可参见图10.5.2装置，一个由叶片构成的涡轮放置在水槽下端的出水口处，当水流动时液体会对涡轮施加一个力矩使涡轮旋转。作用在叶片上的力可近似地认为是压强乘以叶片的表面积dA，若再乘以压力作用中心到涡轮转轴的距离r，就是作用在涡轮转轴上的力矩。假定叶片在dt时间内转过d?角度，则力矩对涡轮做功

dw?Nd??PdAr?d?PdAd。s

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式中ds是压力中心位移的大小，将上式除以d t时间内流出液体的总质量?dAds，就是单位质

第11章 流体力学

量的液体对涡轮所作的功

pdA?dsp??dA?ds? 。

第二项gz是单位质量流体的势能。因为质量为?m的流体在重力场中提高z高 度时重

力所做的功是??mgz，这时流体的势能增加了?mgz，所以单位质量流体的势能就是gz。 v2/2项是单位质量流体的动能。因为质量为?m的流体以速度v运动时它具有动能是?mv2/2，故单位质量流体的动能为v2/2。从上面的分析可以知道，柏努利方程实际上是理想流体沿着流线运动时的能量方程。

关于柏努利方程的应用应注意下面几点，a)当所有的流线都源于同一流体库，且能量处处相同，这时柏努利方程中的常数不会因流线不同而有所不同。这时对所有的流线来说柏努力数都相同，此时柏努力方程不限于对一条流线的应用。b）在通风系统中的气流，若压强变化相对无气流时变化不大，这时气体可以看成不可压缩的，柏努利方程仍可适用，不过气流的密度应取平均密度。c)对渐变条件下的非稳定流动，也可用柏努利方程求解，这时引起的误差不会很大。d)对于实际流体的稳定流动，可先忽略流体的粘滞性，用柏努利方程得到一个理想的结果，然后再用实验作一些修正，也就是说要加入能量损耗项。

例题，水正沿着如附图所示的管内流动，管上端的直径为2米，管内流速为3米/秒。管下端的直径为1米，管内流速为10米/秒。假定流体可视为理想流体，沿着流线压强不变，求管的上端相对地面的落差。

解：沿管的中心取一条流线，按柏努利方程在流线的两端1、2处

2v1p1v2p??z1?2?2?z22g?2g? ，

由已知P1=P2所以

(z1?z2)?122(v2?v1)2g。

设管上端与地面的落差为y，显然 y=z1?z2?0.5，由此得到

y?

122(v2?v1)?0.52g。

将v1=3米/秒，v2=10米/秒代入上式，解得y=3.64米。

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第11章 流体力学

11.6 实际流体的流动 1）斜面上稳定的层流

在实际流体的流动过程中必须考虑流体的粘滞性。各流动层之间的内摩擦力使实际流体的流动变成不可逆过程，也造成流动过程中能量的损耗。现在考虑平行斜面的稳定层流，如图10.6.1所示。设上平面的流速为v，它的流动平行于斜面，下平面与斜面接触流速为零，整个流动层的厚度为a，各流动层之间存在速度梯度。为了分析方便，在流体内沿流动层隔离出一个高度为dy、长度为dl、

单位宽度的薄片状流体元，如图中央的长方块所示。在稳定流动条件下此薄片以恒定速度u沿斜面向下流动。在流动过程中，该薄片状流体元一共受到三个力的作用。a)平行于斜面方向的压力，其大小为（以流速方向为正方向）

dpdppdy?(pdy?dy?dl)??dydldldl 。

b)粘滞力，薄片流体元上、下两面的剪应力，由牛顿粘滞力定律知其大小为

d?d???dl?(?dl?dydl)?dydldydy 。

c)薄片状流体元受到的重力，其大小为rgdldy方向竖直向下，设重力与斜面法线 的夹角为q，则重力在沿斜面方向分量就是

dh?gsin?dldy???g()dldydl 。

式中dl是流体元沿斜面的长度，dh是流体元两端距地面的高度差。由于讨论的是稳定流动，此薄片状流体元沿斜面方向运动的加速度为零，其动力学方程就是

dpd?dh?dydl?dydl??g()dldy?0dydl dl，

将上式除以dydl，整理后得

d?d?(p??h)dl dy。

另一方面，利用牛顿粘滞性定律

185

第11章 流体力学

du???dy，

d?d2ud??2?(p??h)dydl 可得 dy。

式中(p+gh)与y无关只是沿斜面l的函数，这是因为流体元沿着y方向无运动。将上式对y积分一次后

dud??y(p??h)?Adl dy，

再积分一次就得到速度分布

12dAu?y(p??h)?y?B2?dl? 。

?B?0,??v1d?A??(p??h)a???a2dl

将其代回到解式最后得到流体内部速度分布

式中A与B都是积分常数，利用边界条件y=0时 u=0 及 y=a时u=v。可得

v1du?y?(p??h)(ay?y2)a2?dl 。

如果层流的宽度不是一个单位而是任意宽度上式仍然成立，这是因为流动层的速度与宽度无关可从方程中消除。从平面层流的速度分布函数可以看出，流体沿斜面稳定流动时其内部的速度分布是抛物线形的，这意味着流速最大的流动层并不在上表面而是在流体内部的某一层。将上式对y积分可以求出流体沿斜面流动的平均速度

1av1du??udy??(p??h)a2a0212?dl ，

所以沿斜面稳定流动过程中每米宽度的流量

va1dQ?u?a??(p??h)a3212?dl 。

186

第11章 流体力学

2）圆管内稳定层流。

当流体在圆管内稳定流动时，由于流体的流动具有圆柱形对称性，故取一轴对称圆柱壳形的流体元作为研究对象，如图10.6.2所示。圆柱薄壳的半径为r，

壳的厚度为dr, 柱高为dl 。作用在流体元前后两个面上的压力差为（以流速方向为正方向）

dpdp2?rdrp?(2?rdrp?2?rdr?dl)??2?rdrdldldl。

流体元内外两边界上受到的粘滞力为

d2?r?dl??[2?r?dl??(2?rdl?)?dr]drd??2?(r?)?dl?dr。dr

而流体元受到的重力大小为2πrdrdlg，它在沿圆柱管轴线方向的分量为

dh?2?rdrdlsin????2?rdrdl?dl。

dpdhd?2?rdrdl??2?drdl?2?(?r)dldr?0dldldr 。

用2πrdrdl除上式并整理得

对稳定流动来说流体元的加速度为零，按牛顿第二定律流体元的动力学方程是

d1d(p??h)?(r?)?0rdr dl。

同样(p+gh)不是r的函数，故可直接将上式对r积分，得到

r2d(p??h)?(r?)?A?0 2dl。

du????dr， 式中A是积分常数，而粘滞阻力（因为随r增加速度u减小，所以这里有一负

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第11章 流体力学

号）将其代入上式整理后

durdA?(p??h)?2?dl?r， dr 把上式对r再积分一次就得到圆管内稳定层流的速度分布

r2dAu?(p??h)?lnr?B4?dl? 。

特别地，若流体在内半径为b，外半径为a的圆柱形套筒之间流动，则必定满足下列边界条件

r=a时u=0及r=b时u=0 由此可定出式中的积分常数A与B满足

a2?b2da?1A??()(p??h)(ln）4?dlb，

221da?bB??(p??h)[a2?lna]a4?dllnb 。

所以圆柱套筒内流体速度分布

221da?bau?(p??h)(a2?r2?ln)4udlln(ab)r。

相应地圆柱套筒内流体的流量是

222?d(a?b)44Q??b2?rudr??(p??h)[a?b?]8?dlln(ab)。

a [例题] 附图表示沿斜面下滑的层流，假如流体的粘滞系数m=0.08N s/m2，流体的密度r=850kg/m3，利用图中所给的数据求流体内的速度分布、平均流速、每米宽度的流量，以及作用上平面的平均剪应力。

188

第11章 流体力学

PA??h?1400?850?9.8?3解，A点处； ? B点处；（h=0）

PB + gh = 800Pa

因此

26400Pa

d800?26400(p??h)???6035N3m 32 dl 又因为a=0.006m，上表面流速v= 1m/s. 由层流的速度分布公式

u?

1?6035y?(0.006y?y2)0.0062?0.08。

du?0 最大速度由dy求出，是在y=0.0052m处，该处的速度为u

量

max

=1.02m/s。每米宽度的流

Q??o 平均流速

0.006udy?[196y2?12577y3]00.0063?0.00434m/s?

Q0.00434u???0.72(m)s。 a0.006

为求得上平面的剪应力，先求速度梯度

du dy 所以上平面处的剪应力

y?0.006?392?75462yy?0.006??61s?1

du????0.08?(?61)??4.9N/m2dy

负号表示剪应力是阻碍流体上表面流动的。

3）稳定层流的能量损耗

189

第11章 流体力学

由于流体内部存在粘滞性，在流动过程中受到粘滞阻力的作用流体的能量会减少。为了计算一维稳定层流过程中能量的损耗，在流体内沿流动层取长为dx,高为dy单位宽度的薄片状流体元作为研究对象，如图10.6.3所示。假定流体元沿着x方向流动其速度为u ，距地面高度为h。如前所述，该流体元受到沿x轴前后两个面的压力，重力，以及上下两面的粘滞

阻力，我们可用功能原理分析流体元稳定流动过程中的能量损耗。按照前面的讨论作用在流体元上前后两个面上压力差是

dp?dxdydx，

该压力差对流体元输入的功率为

dp?u?dxdydx，

因此压力差对单位体积的流体做的功率为

dw1dp??udx 。 dt 流体元的势能变化（重力做功负值）也容易求得，若流体元相对于零势能面的 高度变化为dh，那么重力对流体元做功-gdv.dh。而重力对单位体积流体做功的功率

dw2dhdhdxdh??????????udtdxdtdx 。 dt 粘滞力对流体元做功情况稍稍复杂一点，因为流体元上下两个面的相对流速不一样，因此上下两面的相对位移不同必须分开讨论。可以证明，粘滞力对单位体积的流体元做功的功率为

dw3dud????udydy， dt 上式证明留给读者自行完成。

由于流动是稳定的流速不变因而动能不变，按照功能原理，上述三种力做功 之和就是流体的能量损耗。结合上面三式就可得到

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第11章 流体力学

损耗功率

dud?dhdp???u??u?u单位体积dydydxdx 。

dudu2????()单位体积dydy。

利用稳定层流的动力学方程化简上式最后三项就是

耗散功率

容易看出，层流过程中流体内部能量损失与各流动层之间的速度梯度有很大关系。上式就是稳定层流过程中沿着任意流动层所取流体元的功率密度损失计算式，只要对各流动层积分就可以得到总的损失功率。例如在平面稳定层流条件下，假定流线的长度为L，层流平面的高度为a(见图10.6.1)，则单位宽度层流所损耗的功率是

adu21dL??()dy??L?[?(p??h)(2y?a)]2dydy002?dLa

4）泊肃叶方程

a3Ld?[(p??h)]212?dL?

将半径为a 的圆管水平放置使流体在管内作稳定层流，这时管内流体的速度分布由下式确定

r2dAu?(p??h)?lnr?B4?dl? 。

对水平放置的管h=0, A也必定为零，因为在管中央处（r=0）流速要有限。此时的边界条件为r=a（管的半径）时u=0, 由边界条件容易定出上面表达式中的

a2dpB??4?dl，

故水平管内的流体的速度分布

a2?r2dpu??4?dl 。

结果表明管内流体的速度分布是一旋转抛物线，如图10.6.6所示。管中心处 （r=0）层流的速度最大，其大小为

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第11章 流体力学

a2dpumax??4?dl。

由于速度分布是旋转抛物线型的，因此圆

管内流体的平均速度为最大值的一半

a2dpu??8?dl ，

管内的流量

?a4dpQ?u??a??8?dl。

2 若用管的长度L与直径D表示上式，就可写成容易用实验测量的形式

?p?D4Q?128?L ，

?pD2u?32?L 。

上面的第一个式子就是著名的泊肃叶粘滞性方程，由海根和泊肃叶分别独立地用实验进行了验证。泊肃叶公式与柏努利方程最明显的差别在于前者考虑了流体的粘滞性，认为流体在水平管内连续流动时，必须在该流体两端存在压力差，而按照柏努利方程，流体在水平管内稳定流动时(Dh=0)没有压力差流体照样能连续流动，相比较之下泊肃叶公式更接近实际流体。

5）雷诺数

当流体作稳定层流时，流体内大多数分子的定向运动基本上是在某个薄层状的平面内，流动层与相邻流动层之间只有少量的分子交换。各流动层之间的纵向力是导致层流不稳定的根本因素，它会引起相邻流动层之间的分子进行动量交换。当纵向力大到一定的程度时，各流动层之间的分子发生激烈交换，完全破坏层流发展成一种无规则的流体运动??湍流。如何判定流体内部出现的是层流还是湍流呢？雷诺在18世纪提出了在什么情况下，两种不同然而类似的流体有相似的动力学方程，通过研究两种几何形状完全相同的不同流体的流动，雷诺指出要使描述这些流体流动的动力学方程完全相同，其条件是这两种流体的一个无量纲的参数(ulr)/m必须相同。这里 u是流体的特征速度、l是流动的特征长度、

?是流体的密度、?192

第11章 流体力学

是粘滞系数、这个数被称为雷诺数R

ul?R??。

雷诺数给出了各种流体之间出现相似动力学规律的判据，它是相似性原理在流体力学中的体现。当一种流体的流动在某种条件会发生湍流，如果另一种流体在相同的条件下与这种流体的雷诺数相同，则另一种流体流动时也会发生湍流。为了确定无量纲数的大小，雷诺设计了一个所图10.6.7所示

的实验。将一长为L的玻璃管水平放置其一端与一个大水桶相连，另一端接上一开关。玻璃管的入口处呈喇叭状，它与一个装满染料的喷嘴相连，可以看到玻璃管内任何一点流体的流动情况。雷诺取染料的平均速率为特征速度，玻璃管的直径为特征长度，于是

VD?R??。

当开关开的很小时流体的流动很慢，可以看到染料的流动呈直线状，这表明流体的流动是稳定的层流。随着开关的逐渐开大，染料的流动出现上下摆动，这时染料的流动已变为非稳定的了。将开关进一步开大，染料速度V及D增大到一定的程度时，染料扩散到整个玻璃管中，湍流出现了。这就是从层流变成湍流的图像，雷诺测得在出现湍流之前雷诺数R=2000。后来的研究工作进行了更仔细的测定，他们将水先放上几天让它完全静止，同时造一个相对水完全静止的环境再进行测量，得到的结果是R=4000。这个数叫做管流雷诺数的上临界数，对实际情况来说上临界值没有什么实际意义，因为管内流体在雷诺数>2000时就出现湍流了。

雷诺在实验中还发现，载流管内一旦出现湍流欲使它重新回到层流，则只有当R小于2000时流体才能完全恢复到层流，这个数就叫管流雷诺数的下临界数。这个数非常重要，它对不规则装置有重要意义，实验测得在各种不规则管内流动从层流过渡到湍流前的雷诺数在2000-4000这一范围内。层流的能耗正比与流体的平均速度，而湍流的能耗正比平均速度的1.7到2.0次方。

雷诺数的重要意义是它提供了一个用一种流体的实验结果来预言另一种流体在同样条件下可能会发生结果的科学方法。另外，由于湍流出现是依赖系统的参数，它同时也是一种无规则运动，所以近来有人认为湍流也是一种混沌现象，不过湍流问题在流体力学中还没有得到圆满的解决。

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第11章 流体力学

11.7 流体对固体的作用力 1)粘滞阻力、斯托克斯公式

当物体在流体中以速度v运动时，通常把物体本身为参照系，这时流体以速度 ?v相对物体流动，如果流体的速度不大可将其视为稳定流动。物体表面的流动层叫做附面层，它粘附在物体的外表面相对物体静止，该层外侧的流动层相对物体的流速不为零，这样物体周围流动层之间存在速度差使得这些流动层之间有湿摩擦，这个摩擦力就是前面讲的粘滞力。当物体在流体中运动时，附面层上的粘滞力会阻碍物体相对流体的运动，这个阻力就叫做粘滞阻力。一般而言，物体在流体中运动时所受到的粘滞力大小与物体的形状有关而且理论推导非常复杂，这里我们直接给出英国数学家、物理学家斯托克斯在1851年研究球形物体在流体中运动时所受到的粘滞阻力的计算公式

F?6?rv?，式r中为球体的半径，v为球体的运动速

度，?是流体的粘滞系数。应当注意，计算球形物体在流体中受到的阻力时仅在雷诺数很小时（小于1）的情况下上式才是主要的，也就是说斯托克斯公式适用于小物体在粘滞性大的流体 内缓慢运动的情况，例如水滴在空气中下落过程中受到空气的阻力、血细胞在血浆中下沉过程中受到血浆的阻力等等都可用斯托克斯公式计算。 2）压差阻力

随着了雷诺数的增加，斯托克斯公式已不能正确地描述物体受到的阻力，为什么？我们以圆柱形物体相对流体运动为例加以说明，如图10.7.1所示，当雷诺数小于1时，圆柱体正前方A点及后侧B点流速为零，这些点为驻点，

物体周围的流线始终贴着圆柱体的表面不与之分离，这时圆柱体前后两端的压强相同，受到的阻力仅仅只有粘滞阻力。当雷诺数增加到10?30，圆柱体前端还是驻点，此处的流速仍

为零。由于靠近圆柱体表面的流体受附面层的影响较大流动缓慢，而远离附面层的流体受附面层的影响较小流动快，这样靠近附面层的流体还没有到达圆柱体的后侧，外层的流体已抢先到达并且回旋过来补充由于内层流体未到达所留下的空间，从而形成一对对称的涡流，如图10.7.2所示，这时圆柱体后侧不再是驻点。雷诺数大约在40左右，涡流开始摆脱圆柱体漂向下流，圆柱体后又不断的有新的涡流产生，于是在圆柱体后面出现交替逝去的涡流，形成所谓的“卡门涡街”（参见图10.7.3），这时流体的流动已经从稳定流动变为非定流动，水流过桥墩后留下的尾迹就是一个直观的“卡门涡街”

例子．当雷诺数达数百时会出现湍流，此时的流动已经是三维的了。 例丑．

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第11章 流体力学

涡流的出现使得圆柱体前端的压强大于后侧的压强，两端的压强差构成了对物体运动的阻力，这个阻力被称为压差阻力。从上面的分析可以看出，压差阻力也是由流体的粘滞性引起的，但与斯托克斯公式所描述的那一类粘滞阻力有不同的机制。这两种阻力是同时存在的，

当物体运动速度小时（准确说是雷诺数很小时）斯托克斯公式所描述的那一类粘滞阻力占主导地位，一旦流体中出现涡流，斯托克斯公式所描述的粘滞阻力退居到次要地位。理论分析表明，压差阻力的大小与单位质量流体的动能有关，用公式表示就是

1F?Cd?v2S2，

这里Cd是阻力系数，它的大小与雷诺数有关，1/2?v2是单位流体的动能，S是垂直与流速方向上物体的横截面积。

从能量转化的角度看，涡流的动能是靠消耗物体的动能得到的，即物体克服压差阻力所作的功转化成涡流的动能。因此为减少压差阻力，通常是将物体的形状做成流线型的（其尾端尖细），目的是将物体尾部的涡流范围与宽度减小到一定的程度，从而减小压差阻力。 3）流体的升力

物体在流体中运动时除了受到与速度方向相反的阻力以外，有时还会受到垂直与速度方向的横向力，不管这个横向力是向上还是向下

都把它称为升力。升力是怎样产生的？为了弄清这个问题，先来考察无旋转球在空气中的运动。以球为参照系，空气流动相对球有对称性，球上、下两边1、2点处的流速相同（参见图10.7.4），由伯努利方程知道球上、下两边的压强相等，整个球没有受到向上或向下的力。如果让球顺时针旋转起来，它会带动周围空气与它一起旋转（由于空气有粘滞性），此时球的周围会出现顺时针的空气环流（参见图10.7.5）。当球在前进过程中作顺时针转动时，它周围的流线分布就是图10.7.4与图10.7.5中的两种流线的叠加，结果如图10.7.6所示，此时球上方的流线密集（流速大），球下方的流线稀疏（流速小），球的上、下两边出现压强差，使得整个球受到向上的升力，这就是通常所说的上旋球。同样的分析可知，当球在前进的过程中逆时针旋转时，它将会受到周围流体向下的作用力，从而改变球在空中运动的方向，通常把它称为

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第11章 流体力学

下旋球。在乒乓球、网球比赛中常常能看到高速旋转球在空中改变方向，走出不同的弧线的情况。

从上面的分析看出，对流体中运动的物体来说如果出现绕物体的

环流，那么就会对物体产生升力。当然使物体周围产生环流的方法有许多，飞机的机翼就是其中的一种，它是靠机翼的特殊形状来产生环流的。图10.7.7表示机翼的横截面，图中的?称为冲角，是可以调节的。空气相对机翼流动时，由于机翼的上下两边不对称，气流经过机翼上方时气流的路程长，受到粘滞力的影响大一些因而流动较慢。而气流从机翼的下方流过时所经过的路程短，受到粘滞力影响较小故其流速大。当机翼上、下两方的气流在机翼尾部会合时，在机翼尾部形成如图10.7.8所示的涡流。在飞机运动开始前，机翼与周围气体的角动量皆为零。由于角动量守恒，当机翼尾部出现涡流后，周围流体另一部分必定沿反方向流动，形成绕机翼的环流。如图10.7.9所示，机翼上方的环流与气流的方向一致，叠加后使机翼上方的流速增大，机翼下方的环流与气流速度相反，两者叠加后使机翼下方的流速减小，这样在机翼的上、下两边出现压力差，形成对机翼的升力。俄国科学家茹可夫斯基在1906年提出物体受到的升力与流速场绕物体的环流量成正比，用公式表示就是

F升??v?v环?dlc

式中?为流体的速度，v为物体相对流体的速度。由此可见，飞机的升力与气体 的密度、飞机的速度成正比，正就是为什么飞机起飞前要在地面加速到一定的 速度的缘故。当飞机在高空飞行时气体的密度下降，必须提高飞机的速度、或 者改变机翼的冲角（改变环流量）以保证飞机获得足够的升力。

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