第8章 假设检验习题

第8章 假设检验

8.1 内容提要

8.1.1 假设检验的基本概念

1.实际推断原理(小概率原理)

概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的. 2.原假设和备择假设

待检验的假设称为原假设,记为H0;当原假设被否定时立即就成立的假设,称为备择假设或对立假设,记为H1.

3.假设检验的思想方法

先对检验的对象提出原假设,然后根据抽样结果,利用小概率原理做出拒绝或接受原假设的判断.

4.拒绝域（否定域）

使检验问题作出否定原假设推断的样本值的全体所构成的区域. 5.两类错误

若原假设H0为真,但检验结果却否定了H0,因而犯了错误,这类错误称为第一类错误,又称为“弃真”错误.显著性水平α就是用来控制犯第一类错误的概率,即

P{H0H0}=α.

若原假设H0为不真,但检验结果却接受了H0,这类错误称为第二类错误,又称为“纳伪”错误.犯第二类错误的概率记为β,即

P{H0H0}=β.

在样本容量一定时,α，β不能同时减小.

6.假设检验的基本步骤

（1）提出原假设H0和备择假设H1;

（2）选择统计量,求出在H0成立的前提下,该统计量的概率分布; （3）由给定的显著性水平α,确定检验的拒绝域W;

（4）根据样本值,计算统计量的观测值,若它落入拒绝域W,则拒绝H0,否则接受H0.

8.1.2 单个正态总体参数的假设检验

有关单个正态分布参数假设检验的一般方法及常用统计量列表如下:

150

1n1n2

X=∑Xi,S=(Xi X)2, ∑ni=1n 1i=1

其中n是样本容量.

8.1.3 两个正态总体参数的假设检验

有关两个正态分布参数假设检验的一般方法及常用统计量列表如下:

151

差:

=

1n21n122

(Yi Y)2, (Xi X),S2=Yi,S=∑∑∑n2 1i=1=n1 1i=1i=1=

2

1

2

(n1 1)S12+(n2 1)S2

, S=

n1+n2 22wn2

11n1

X=∑Xi,Y=

n1i=1n2

222

是当σ1=σ2时,X,Y的联合样本方差: Sw

其中n1，n2分别是X，Y的样本容量.

8.1.4 分布拟合检验-皮尔逊χ2拟合检验法

设总体X的分布函数F(X,θ),θ为r维未知参数向量,(X1,X2, ,Xn)是总体X的一个样本,根据样本观测值的范围,把( ∞,+∞)分为m个小区间: [ai 1,ai),i=1,2, m,其中 ∞=a0<a1< <am=+∞,落入区间[ai 1,ai)中样本的个数为νi,显然

注 一般要求νi≥5,5≤m≤15.

m

∑ν

i=1

i

=n.

代替θ,得p i=F(ai;θ) F(ai 1;θ),由νi和p i建立统计量 用θ的极大似然估计值θ

(vi npi)2

χ=∑npi=1i

2

m

当n充分大时, 统计量χ2的极限分布服从自由度为m r 1的χ2分布.于是,对于给

定的显著性水平α,有

P{χ2≥χ12 α(m r 1)}=α,

得到拒绝域为C={χ≥χ1 α(m r 1)}.

2

2

8.2 习题详解

习题八

1.设某产品的指标服从正态分布,它的标准差σ=150,今抽了一个容量为26的样本,计算得平均值为1637.问在显著性水平5%下能否认为这批产品的指标的期望值µ为1600?

解 此题是在显著性水平α=0.05下检验假设检验假设

H0:µµ01600,H1:µ≠µ0=1600. 在原假设H0为真时,检验统计量

U=

此时拒绝域为C

152

~N(0,1),

{|u|>uα/2}.

已知x=1637,

σ=

,α=0.05,且查表得uα/2u0.0251.96,于是

|u|

1.2578<1.96,

故应接受原假设H0,即认为这批产品的指标的期望值µ为1600.

2.按规定,100g罐头番茄汁中的平均维生素C含量不得少于21mg/g.先从工厂的产品中抽取17个罐头,其100g番茄汁中,测得维生素C含量(mg/g)记录如下：

16,25,21,20,23,21,19,15,13,23,17,20,29,18,22,16,22 设维生素含量服从正态分布N(µ,σ2),µ,σ2均未知,问这批罐头是否符合要求（α=0.05）.

解 据题意,需作如下形式的左侧假设检验

H0:µ

µ

021,H1:µ<µ0=21. 由于总体的方差未知,故在原假设H0

T

此时的拒绝域为C

=

~t(n 1), .

={t< tα(n 1)}

由题设算出x=20,s=3.9843,且α=0.05,n=17,查表得t0.05(16)=1.7459,于是

t=

== 1.0348> 1.7459,

故应接受H0,即认为这批罐头符合要求.

3.要求一种元件使用寿命不得低于1000小时,今从一批这种元件中随机抽取25件,测得

寿命的平均值为950小时.已知该种元件的寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布,试在显著性水平α=0.05下确定这批元件是否合格?设总体均值为µ,即需检验假设.

H0:µ=1000,H1=:µ<1000=

=

=

解 此题是关于如下形式的单侧假设检验问题 由于σ=100,故在原假设H0 U=检验的拒绝域为C

=H0:µ=1000

,H1:µ<1000.

~N(0,1),

{u< uα}.

由题设可知=950,又当n=25,α=0.05时,查表得u0.05=1.645,于是

== 2.5< 1.645 检验统计量的观察值落在拒绝域内,故拒绝H0,即认为这批元件不合格.

u=

4.测定某种溶液中的水分,它的10个测定值给出样本均值为0.452%,样本标准差为0.037%,设测定值总体服从正态分布N(µ,σ2)试在显著性水平α=0.05下,分别检验假

153

设:(1)H0:µ=0.5%;(2)H0:σ=0.04%.

解 (1) 据题意是在总体方差未知情况下,对均值的假设检验,即

H0:µµ00.5%,H1:µ≠µ0=0.5%. 在原假设H0为真时,统计量

=

T

~t(n 1). 此时拒绝域为C={|t|≥tα(n 1)}.

已知x=0.425%,s=0.037%,当α=0.05,n=10时,查表得t0.025(9)=2.2622,故

= |t|

故应拒绝H0.

6.41>2.2622,

(2) 此问是当总体均值未知时,对方差的假设检验,即 =

H0:σ=0.04%,H1:σ≠0.04%. 在原假设H0为真时,检验统计量

~χ2(n 1).

==σ=

2

.当α=0.05,n=10时,查表可此时拒绝域为C={χ2≤χ12 α2(n 1)} {χ2≥χα2(n 1)}

χ

2

(n 1)S2

2

22

得χ0.025(9)=2.7,从而C(9)=19.023,χ0.975

(0,2.7) (19.203,+∞).由题设可计算

=(n 1)s22

χ

故应接受H0.

=

σ

2

=

9×(0.037%)2

(0.04%)2

7.7006 C,

5.随机地挑选8个人,分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高(cm),得到以下的数据

设各对数据的差di

22

是来自正态总体N(µ,σ)的样本,µ,σ均未知.xi yi（i=1,2, ,8）

问是否可以认为早晨的身高比晚上的身高要高(α=0.05)?

解 因为di~N(µ,σ2)(i=1,2, ,8),所以该题即为方差未知情况下,单个正态总体均

值的单侧假设检验问题. 即检验假设

H0:di=0,H1:di>0.

在原假设H0为真时,统计量

154

T

~t(n 1).

(1.8946,+∞).

此时拒绝域为{t≥tα(n 1)}.当α=0.05时,查表得t0.05(7)=1.8946,即C

又因为di

xi yi,所以0,1,3,2,1,2, 1,2.计算得=1.25,s=1.2817,则

t2.7585∈C,

故应拒绝H0,即能认为早晨的身高比晚上的身高要高.

6.为了比较两种枪弹的速度(m/s),在相同的条件下进行速度测试.算得样本均值和样本标准差如下: = 枪弹甲:n1=110,=2805,s1=120.41 枪弹乙: n2=100,=2680,s2=105.00

在显著性水平α=0.05下,这两种枪弹在速度方面及均匀性方面有无显著差异?

分析 这是关于两个正态总体的均值和方差的检验问题,但是由于两总体的方差是未知的,所以对两总体均值差异的检验应该用t-检验法.注意到此处的t-检验法必须有“两总体的方差相等”这一前提,因此我们需要先用F-检验对两总体的方差是否相等加以验证,然后对两总体的均值是否存在差异进行检验.

2

解 设枪弹甲、乙的速度分别为X,Y,并且X~N(µ1,σ12),Y~N(µ2,σ2).

首先需在显著性水平α=0.05时,检验两种枪弹在均匀性方面有无显著差异,即

222

,H1:σ1≠σ2 H0:σ12=σ2

= 在原假设H0为真时,检验统计量

=

F

=S12

~F(n1 1,n2 1), 2S2

=

此时拒绝域为C=F≤F1 α(n1 1,n2 1)或F≥Fα(n1 1,n2 1).

由n1=110,n2=100,s1=120.41,s2=105.00,F0.025(109,99)>F0.025(120,120)=1.43,

{

=

}

F0.975(109,99)=

111

<==0.6993,可以算得

F0.025(99,109)F0.005(120,120)1.43

F

s122s2

120.412105.002

1.315 C,

故接受H0,即认为两种枪弹在均匀性方面无显著差异.

其次需检验当α=0.05时两种枪弹在速度方面有无显著差异,即需检验

H0:µ1 µ2=0,H1:µ1 µ2≠0.

由于可以认为两者的方差相等,故可取检验统计量为

155

2

(n1 1)S12+(n2 1)S22

,(其中Sw=). T=

n1+n2 2(n1+n2 2)}.

==

由于n1,n2很大,故有t0.025

.又计算可得

|t|12.4292>1.96, ==

此时的拒绝域为C=

α{|t|≥t

故拒绝H0,认为两种枪弹在速度方面有显著差异.

7.下表分别给出两个文学家马克.吐温的8篇小品文以及思诺特格拉斯的10篇小品文中由3个字母组成的词的比例：

设两组数据分别来自两个方差相等而且相互独立的正态总体,问两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例是否有显著的差异（取α=0.05）?

解 设两总体分别为X,Y,并设X~N(µ1,σ1),Y~N(µ2,σ2),由题设知,需检验假设

2

2

H0:µ1 µ2=0,H1:µ1

µ2≠0.

在原假设H0

=

T

2

(n1 1)S12+(n2 1)S22

). ~t(n1+n2 2),(其中Sw=

n1+n2

2=0.2097,s1=0.0146,s2=0.0097,又n1=8,n2=10,故

sw

0.012.

又查表得t0.025(16)=2.1199,因此拒绝域为C

{|t|≥2.1199}.因观测值

|t|

3.900>2.1199,

故拒绝H0,认为两个作家所写的小品文中包含由3个字母组成的词的比例有显著的差异.

8.某机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中,分别抽若干个样品测量零件尺寸,得

设零件尺寸服从正态分布,问第二台机器的加工精度是否比第一台机器的高(α=0.05)?

156

2

解 设两台机器加工零件的尺寸分别为X,Y,且X~N(µ1,σ12),Y~N(µ2,σ2).检验假设

==2=222

,H1:σ1>σ2. H0:σ1=σ2

当原假设H0为真时,检验统计量

==S12

F=2～F(n1 1,n2 1),

S2

于是拒绝域为C

{FF≥Fα(n1 1,n2 1)}.又因为n1=8,n2=9,当α=0.05时,查表得

F0.05(7,8)=3.5,即C

{FF≥3.50}.由题设可计算

s120.30912

3.6586>F0.05(7,8)=3.5, F2=2

s20.1616

所以接受H1,即可以认为第二台机器的加工精度比第一台机器的高.

9.为了考察感觉剥夺对脑电波的影响,加拿大某监狱随机地将囚犯分成两组,每组10人,其中一组中每人被单独地关禁闭,另一组的人不关禁闭,几天后,测得这两组人脑电波中的α波的频率如下

设这两组数据分别来自两个相互独立的正态总体,问在显著性水平α=0.05下,能否认为这两个总体的均值与方差有显著的差别?

分析 先用=F-检验对两总体的方差是否相等加以验证,然后用t-检验法对两总体的均值是否存在差异进行检验.

解 设关禁闭和不关禁的人脑电波中的α波的频率分别为X,Y,并且X~N(µ1,σ12),

2Y~N(µ2,σ2).首先需在显著性水平α=0.05时,检验两总体的方差是否有差异,即

222

,H1:σ1≠σ2 H0:σ12=σ2

在原假设H0成立时,检验统计量

S12

F=2～F(n1 1,n2 1).

S2

此时拒绝域为C=F≤F1 α2(n1 1,n2 1)或F≥Fα(n1 1,n2 1).又已知n1=n2=10,当

{}

α=0.05时,查表得F0.025(9,9)=4.03,F0.975(9,9)

即C

1F0.025(9,9)

0.2481,

(0,0.2481) (4.03,+∞).由题设计算得到s1=0.4590,s2=0.5978,于是

F

s122s2

0.21070.3574

0.5895 C,

故接受H0,认为两个总体的方差相等.

157

然后,检验当α=0.05时两个总体的均值是否存在差异,即检验

H0:µ1 µ2=0,H1:µ1 µ2≠0.

,故原假设H0成立时,可取检验统计量为

=

T

2

(n1 1)S12+(n2 1)S22

). ~t(n1+n2 2),(其中Sw=

n1+n2 2拒绝域为C

{|t|≥t

sw

α2

(n1+n2 2)},又查表得t0.025(18)=2.1009,即C{t|t|

≥

2.1109}.

由题设算得=10.58,=9.78,s1=0.4590,s2=0.5978,且n1=n2=10,于是

0.5330.

进而得到

3.3562∈C,

==|t|

故拒绝H0,即可以认为两个总体的均值有显著差异.

===10.两台车床生产同一型号的滚珠,根据经验可以认为两车床生产的滚珠的直径均服从正

态分布,先从两台车床的产品中分别抽出8个和9个,测得滚珠直径的有关数据如下：

甲车床： 乙车床：

=

∑x

i=19i=1

8

i

=120.8, ∑(xi =0.672

2

i=19

8

=

∑y

i

=134.91,∑(yi )2=0.208

i=1

设两个总体的方差相等,问是否可以认为两车床生产的滚珠直径的均值相等(α=0.05)?

解 设两车床生产的滚珠直径分别为X和Y,且X~N(µ1,σ),Y~N(µ2,σ).于是本题就可以归结为如下形式的双侧假设检验问题:

2

2

H0:µ1 µ2

=0,H1:µ1 µ2≠0.

由于X和,所以在H0为真时,统计量

2

(n1 1)S12+(n2 1)S22

). ~t(n1+n2 2),(其中Sw=

n1+n2 2T

此时的拒绝域为C=|t|≥tα2(n1+n2 2),又查表得t0.025(15)=2.1315,即C

由题设算得

{}

{|t|≥2.1315}.

8

182

=∑xi=15.1, (n1-1)s1=∑(xi 2=0.672,

8i=1i=1

158

19

=∑yi=14.99,

=9i=1

于是

(n2-1)s=∑(yi )2=0.208.

2

2

i=1

9

sw

由此便可得

0.24.

|t|

=0.17<2.1315,

故接受原假设H0,即认为两车床生产的滚珠直径的均值相等.

11.某种零件的椭圆度服从正态分布,改变工艺前抽取16件,测得数据并算得=

=0.081,sx=0.025;改变工艺后抽取20件,测得数据并计算得=0.07,sy=0.02,问:（1）改变工艺前后,方差有无明显差异;（2）改变工艺前后,均值有无明显差异?（α取为0.05）

分析 该题的第一部分是在均值未知的情况下,对两正态总体方差比的检验问题,可以采用F-检验法.第二问则是基于第一问的结论,即在两个方差未知但是相等的条件下,对两个正态总体的均值差的假设检验问题,此时应该采用t-检验法.

解 设改变工艺前后的椭圆度分别为X,Y,并且X~N(µ1,σ1), Y~N(µ2,σ2). 首先在显著性水平下α=0.05下,检验假设

2

2

=

H0:σ12=

222

σ=2,H1:σ1≠σ2.

在原假设H0成立时,检验统计量

=

==Sx2

F=2～F(n1 1,n2 1).

Sy

此时拒绝域为C=F≤F1 α2(n1 1,n2 1)或F≥Fα(n1 1,n2 1).又表可得

{}

F0.025(15,19)=2.6171, F0975(15,19)

即C={F≤0.3629或F≥2.671}.

根据题设计算

2

sx2sy

1F0025(19,15)

0.3629,

F

0.02520.022

1.5625 C,

故接受原假设H0,即可以认为改变工艺前后椭圆度的方差没有显著差异.

然后在显著性水平α=0.05下检验假设

H0:µ1 µ2

0,H1:µ1 µ2≠0.

由于X和Y的方差相等,所以在H0为真时,统计量

159

T

22

+ (n1)S(n1)S21122

). +n2= 2),(其中=~t(n1=Sw=

n1+n2 2此时的拒绝域为C=|t|≥tα2(n1+n2 2),又查表得t0.025(34)=2.0322,即C

由题设,可算得

{}{t|t|≥2.0322}.

|t|

所以接受原假设H0,即可以认为改变工艺前后椭圆度的均值没有显著差异.

0.8988<2.0322,

=

=2

n1=60 ,n2=40样本,测得部件重量的样本方差分别为s12=15.46,s2=9.66.设两样本相

=互独立.问在显著性水平(α=0.05)下能否认为第一台机器生产的部件重量的方差显著地大

于第二台机器生产的部件重量的方差?

解 由题意,这是关于两个正态总体方差比的单边假设检验问题,即

222,H1:σ1>σ2. H0:σ12=σ2

12.有两台机器生产金属部件,分别在两台机器所生产的部件中各取一容量

当H0为真时,检验统计量

F

此时拒绝域为C

2

S

12

～F(n1-1,n2-1). 2S2

2

=FF≥Fα(n 1,n 1)}. {12

由题设s1=15.46,s2=9.66,可以算得

=

F

s12

2s2

15.46

1.6004,

9.66

查表得F0.05(60,40)=1.64,则F0.05(59,39)>F0.05(60,40)=1.64.故F<F0.05(60,40)<F0.05(59,39),即F没有落入拒绝域内,因此接受H0,即不能认为第一台机器生产的部件重量的方差显著地大于第二台机器生产的部件重量的方差.

13.下表是上海1875年到1955年的81年间,根据其中63年观察到的一年中(5月到9月)下暴雨次数的整理资料

试检验一年中暴雨次数是否服从泊松分布(α=0.05)?

解 记一年中暴雨次数为X,依题意需在α=0.05下检验假设

H0: X的分布律为P{X

k}

λke λk!

,k

0,1,2, .

由于参数λ未知,所以首先在假设H0为真的条件下,根据样本求得λ的极大似然估计

160

==λ

根据泊松分布,得到

1

(0×4+1×8+ 9×0)=2.8571. 63

ip

计算结果列表如下:

P{Xi}(2.8571)ie 2.8571

,(i

i!

0,1,2, ).

2

2

i>5的组适当合并,并组后的组数为m=10 5=5.对于给定的显著表中对于不满足np

性水平α=0.05,未知参数r=1,查表可得χ1 α(m r 1)=χ0.975(3)=7.815>χ,所以接受H0,即认为一年的暴雨次数服从泊松分布.

2

====

14.某工厂近5年来发生了63次事故,按星期几分类如下：

(注:该厂的休息日是星期天,星期一至星期六是工作日)

问:事故的发生是否与星期几有关?(α=0.05)

解 用X表示这样的随机变量:若事故发生在星期i,则X=i.由于该厂的休息日是星期天,于是X的可能值是1,2, 6.由此我们要检验的假设是:

H0: P{X=i}=

检验统计量

m

1

(i=1,2, ,6). 6

6

(vi npi)2(vi n)2

χ=∑=∑~χ2(m 1)=χ2(5),

npii=1i=12

其中vi是发生在星期i的事故次数.

161

计算结果列表如下:

==

查χ2分布表可得P{χ2(5)>11.07}=0.05,于是χ2=1.67<11.07,故不能拒绝原假设

H0,即不能认为事故发生与星期几有关.

15.1996年某高校工科研究生有60名以数理统计作为学位课,考试成绩如下:

93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 89 90 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55

试用χ2检验法检验考试成绩是否服从正态分布(α=0.05)?

解 考虑检验H0:X~N(µ,σ),因µ,σ

未知,故利用极大似然估计得

2

2

2= ==80.1,σµ

由于X是连续变量,故先离散如下表：

n 12

s=92.72. n

表中区间的划分是按照每个区间[ai 1,ai)至少要包含5个样本的原则确立的,其中

ai µa µ) Φ(i 1),i=1,2, 6. σσ

2

因为m=6,故m r 1=3.查表有χ12 α(m r 1)χ0.05(3)7.815.而检验统计量

i=Φ(p

162

(vi npi)2

χ=∑=2.077<7.815

npii=1

2

m

故接受原假设H0,即认为成绩服从正态分布.

16.有甲乙两个试验员,对同样的试样进行分析,各人试验分析结果如下(分析结果服从正

态分布):

试问甲、乙两试验员试验分析结果之间有无显著差异(=0.05)?

==

分析 这是对方差未知且不相等的两个正态总体均值的假设检验,由于取自两个总体的样本容量相同,因此可以采用配对t检验法.

=

解 设X,Y分别为甲、乙两个试验员检验试验分析的结果,并假设=X和Y分别服从正态分布N(µ1,σ1)与N(µ2,=σ2).令ZX Y,则Z~N(d,σ1+σ2).现检验假设：

2

2

2

2

H0:

d=0,H1:d≠0.

在原假设H0为真时,统计量

~t(n 1),

此时拒绝域为C={|t|≥tα2(n 1)}.又查表得t0.025(7)=2.3646,即C{|t|≥2.3646}. xi yi,所以zi依次为0.6, 0.9,0, 0.3, 1.1,0.9,0.5,

0.5.因而计算得到= 0.1,s=0.7270,于是

|t|0.3891 C,

故应接受H0,即认为甲、乙两试验员试验分析结果之间无显著差异.

17.有一种新安眠药,据说在一定剂量下,能比某种旧安眠药平均增加睡眠时间3小时,根据资料用某种旧安眠药时,平均睡眠时间为20.8小时,根方差为1.6小时,为了检验这个说法是否正确,收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为

26.7 22.0 24.1 21.0 27.2 25.0 23.4 试问:从这组数据能否说明新安眠药已达到新的疗效(假定睡眠时间服从正态分布,

因为zi

=T

α=0.05).

解 设睡眠时间为X,并且X~N(µ,σ2),据题意知需在显著性水平α=0.05下检验假设考虑假设H0:µ≤µ0+3,H0:µ>µ0+3,这等价于检验

H0:µ=µ0+3,H0:µ>µ0+3.

当原假设H0成立时,检验统计量

U=

(µ0+3)

σn

~N(0,1).

163

此时的拒绝域为C{|u|>uα/2}.当α=0.05时,查表得u0.025=1.96,即C{|u|>1.96}. 又由题设,可计算=24.2,且µ0=20.8,σ=1.6,于是

u=

(µ0+3)

σn

=

24.2 (20.8+3)

=0.6614 C,

1.7

因此接受原假设H0,即不能认为这组数据说明了新安眠药已达到新的疗效.

18.设总体X的概率密度为

θxθ 1,0<x<1

f(x,θ)=

其他. 0,

θ=1,2.作假设H0:θ=1,H1:θ=2.现从总体X中抽出容量为2的样本(x1,x2),拒绝域

3

为C={(x1,x2)|≤x2},试求犯第一类错误的概率α和犯第二类错误的概率β.

4x1

解 犯第一类错误的概率为

α=P{(x1,x2)∈C|H0为真}=P当θ=1时, x1,x2的联合概率密度为

3

≤x2|θ=1}. 4x1

1,0<x1,x2<1

, fH0(x1,x2)=

0,其他

令D= (x1,x2)|0<x1,x2<1,

3

≤x2 ,所以 4x1

1

1

D

4

4x1

α=∫

+∞+∞

∞ ∞

∫fH0(x1,x2)dx1dx2=∫∫dx1dx2=3dx13dx2=

133

+ln. 444

犯第二类错误的概率为 =

β=P{(x1,x2) C|H0为假}=P{

当θ=2时, x1,x2的联合概率密度为

3

>x2|θ=2}. 4x1

=

4xx,0<x1,x2<1

, fH1(x1,x2)= 12

其他 0,

3

令D1={(x1,x2)|0<x1,x2<1,>x2},所以

4x1

β=∫∫fH(x,θ)dx1dx2=∫dx1∫4x1x2dx2 3dx134x1x2dx2=

1

1111

D1

00

4

4x1

993 ln. 1684

19.一药厂生产一种新的止痛片,厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半,因此厂方提出需检验假设

H0:µ1=2µ2,H1:µ1>2µ2

164

此处µ1,µ2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至起作用的时间间隔的总体的均值.设

2

.现分别在两总体中取一样本x1,x2, ,xn1和两总体均为正态且方差分别为已知值σ12,σ2

y1,y2, ,yn2,设两个样本独立.试给出上述假设H0的拒绝域,取显著性水平为α.

解 本题是在显著性水平α下,检验假设

H0:µ1=2µ2,H1:µ1>2µ2.

已知xi~N(µ1,σ1),i=1,2, ,n1;yi~N(µ2,σ2),i=1,2, ,n2,且样本x1,x2, ,xn1

和y1,y2, ,yn2相互独立.若记=

以下确定k.

2

2

∑x

i=1

n1

i

,=

∑y

i=1

n2

i

,则拒绝域的形式为{ 2≥k}.

P{

H0H0

}=PH0{ 2≥k}

≥Pµ1-2µ2=0

. =

Pµ-2µ=0≥12要控制P{H0H0

}≤α,只需令上式右边=α.由于

~N(0,1),

=µα,

因而kµα

. 因此在给定的显著性水平α下,

检验的拒绝域为 2≥µα

20.设有A种药随机地给8个病人服用,经过一个固定时间后,测得病人身体细胞内药的

浓度,其结果如下; 又有B种药给6个病人服用,并在同样固定时间后,测得病人身体细胞内药的浓度,得数据如下. 并设两种药在病人身体细胞内的浓度都服从正态分布.

165

试问A种药在病人身体内的浓度的方差是否为B种药在病人身体细胞内浓度方差的(α=0.10).

2? 3

2

解 设两种药在身体细胞内的浓度分别为X和Y,且X~N(µ1,σ12),Y~N(µ2,σ2).

依题意,即检验假设:

22222

,H1:σ1≠σ2. H0:σ12=σ2

33

当原假设H0成立时,检验统计量

F

S12

~F(n1 1,n2 1), 22S23

此时拒绝域为C=F≤F1 α2(n1 1,n2 1)或F≥Fα2(n1 1,n2 1).

由已知算得s1=0.0192,s2=0.0293,又n1=7,n2=5,α=0.01,于是可以计算

2

2

{}

S120.0192==

0.983,

222S2×0.029333

查表得F0.05(7,5)=0.252,F0.95(7,5)=4.88.于是0.252<F=0.983<4.88,即F C.故

=2

接受H0, A种药在病人身体内的浓度的方差是B种药在病人身体细胞内浓度方差的.

3

=F

166

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