人教版高中数学《数列》全部教案

第三章 数列 第一教时

教材：数列、数列的通项公式

目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给

出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。 过程：

一、从实例引入（P110）

1．堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10

11112．正整数的倒数 1,,,,?

23453．2精确到1，0.1，0.001?的不足近似值1，1.4，1.41，1.414，? 4．?1的正整数次幂：?1,1,?1,1,? 5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,? 二、提出课题：数列

1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 2．名称：项，序号，一般公式a1,a2,?,an，表示法?an? 3．通项公式：an与n之间的函数关系式

如 数列1： an?n?3 数列2：an?1 数列4：nan?(?1)n,n?N*

4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。

5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，?，n}）的函数，当自变量从小到大依

次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 6．用图象表示：— 是一群孤立的点 例一 （P111 例一 略） 三、关于数列的通项公式

1．不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列3）

2．数列的通项公式不唯一 如 数列4可写成 an?(?1)n和

n?2k?1,k?N*??1 an??

n?2k,k?N*?13．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要 例二 （P111 例二）略

四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列

各数：

1?(?1)n?1,n?N* 1．1，0，1，0 an?2 2．?23456n?1，，?，，? an?(?1)n?

24353815(n?1)2?17?(10n?1) 9 3．7，77，777，7777 an? 4．?1，7，?13，19，?25，31 an?(?1)n(6n?5)

359172n?1 5．，，， an?2n?1

24162562 五、小结：

1．数列的有关概念

2．观察法求数列的通项公式

六、作业： 练习 P112 习题 3．1（P114）1、2 《课课练》中例题推荐2 练习 7、8

第二教时

教材：数列的递推关系

目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，

会根据给出的递推公式写出数列的前n项。 过程：

一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）

(n?2)?Sn?Sn?1二、例一：若记数列?an?的前n项之和为Sn试证明：an??

(n?1)?S1 证：显然n?1时 ，a1?S1 当

n?1即n?2时

Sn?a1?a2???an

Sn?1?a1?a2???an?1

∴ Sn?Sn?1?an ∴an???Sn?Sn?1(n?2)

S(n?1)?1 注意：1? 此法可作为常用公式

2? 当a1(?S1)时 满足Sn?Sn?1时，则an?Sn?Sn?1

例二：已知数列?an?的前n项和为① Sn?2n2?n ② Sn?n2?n?1 求数列?an?的通项公式。 解：1．当n?1时，a1?S1?1

当n?2时，an?2n2?n?2(n?1)2?(n?1)?4n?3 经检验 n?1时 a1?1 也适合 an?4n?3 2．当n?1时，a1?S1?3

当n?2时，an?n2?n?1?(n?1)2?(n?1)?1?2n

(n?1)?3 ∴ an??

(n?2)2n? 三、递推公式 （见课本P112-113 略） 以上一教时钢管的例子 an?n?3

(n?1)a1?4 从另一个角度，可以： ?

an?an?1?1(n?2) “递推公式”定义：已知数列?an?的第一项，且任一项an与它的前 一项an?1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的递推公式。 例三 （P113 例三）略

例四 已知a1?2，an?1?an?4 求an．

解一：可以写出：a1?2，a2??2，a3??6，a4??10，?? 观察可得：an?2?(n?1)(n?4)?2?4(n?1)

解二：由题设： an?1?an??4

an?an?1??4 ∴

an?1?an?2??4

an?2?an?3??4??a2?a1??4 ?) an?a1??4(n?1) ∴ an?2?4(n?1) 例五 已知a1?2，an?1?2an 求an．

解一：a1?2 a2?2?2?22 a3?2?22?23 观察可得： an?2n

解二：由an?1?2an ∴an?2an?1 即

an?2 an?1 ∴

anan?1an?2a??????2?2n?1 an?1an?2an?3a1 ∴ an?a1?2n?1?2n 四、小结： 由数列和求通项

递推公式 （简单阶差、阶商法） 五、作业：P114 习题3．1 3、4

《课课练》 P116-118 课时2中 例题推荐 1、2 课时练习 6、7、8

第三教时

教材：等差数列（一）

目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公

式，并能用来解决有关问题。 过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，??

3，0，?3，?6，??

1234，，，，?? 2101010 an?12?3(n?1) 12，9，6，3，??

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差” 二、得出等差数列的定义： （见P115） 注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。 ．．．．．．．．．．

1．名称：AP

首项 (a1) 公差 (d)

2．若d?0 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式：

a2?a1?d

a3?a2?d?(a1?d)?d?a1?2d

a4?a3?d?(a1?2d)?d?a1?3d???? 由此归纳为 an?a1?(n?1)d 当n?1时 a1?a1 （成立） 注意: 1? 等差数列的通项公式是关于n的一次函数

2? 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成AP 证明：若an?An?B?A(n?1)?A?B?(A?B)?(n?1)A 它是以A?B为首项，A为公差的AP。

3? 公式中若 d?0 则数列递增，d?0 则数列递减 4? 图象： 一条直线上的一群孤立点

三、例题： 注意在an?a1?(n?1)d中n，an，a1，d四数中已知三个可以求 出另一个。

例一 （P115例一）

例二 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数 例三 （P116例三） 此题可以看成应用题

a?b四、关于等差中项： 如果a,A,b成AP 则A?

2 证明：设公差为d，则A?a?d b?a?2d

a?ba?a?2d??a?d?A ∴22 例四 《教学与测试》P77 例一：在?1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成AP，求此数列。

解一：∵?1,a,b,c,7成AP ∴b是-1与7 的等差中项

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