线段和最小及差最大问题

①当两点A和B在直线l同侧时，若求直线l上点P.使PA+PB最小值 作点B关于直线l的对称点B’,连结AB’交直线l于点P,此时PA+PB=PA+PB’=AB’

取除此之外的任意一点P’,根据三角形两边之和大于第三边，P’A+P’B=P’A+P’B’ ＞AB’,所以点P满足PA+PB最小值

②当两点A和B在直线l异侧时，作直线AB与直线l的交点为点P ③当两点A和B在直线l同侧时，作直线AB与直线l的交点为点M 此时|AM-BM|是最大值

取除此之外的任意一点N,根据三角形两边之差小于第三边，|NA-NB|﹤AB,而|MA-MB|=AB,所以这时|AM-BM|是最大值

④当两点A和B在直线l异侧时，作点B关于直线l的对称点B’,连结AB’交直线l于点M,此时, |AM-BM|是最大值

送你几道题

（2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平

面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PA?PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则OP?OQ＝ ▲ ．

【答案】5。

【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：

连接AB并延长交x轴于点P，

由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA－PB|的值最大的点。 ∵点B是正方形ADPC的中点， ∴P（3，0）即OP=3。

作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小

值。

∵A′（-1，2），B（2，1）， 设过A′B的直线为：y=kx+b，

1?k?? ??2??k?b 55?3则 ?，解得? 。∴Q（0， ），即OQ=。

33?1?2k?b?b?5?3?∴OP?OQ=3×

5=5。 3（2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．

【答案】25。

【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。 【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。

∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。 ∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。

在Rt△CDE中，DE=CD2+CE2?42+22?25。

例5. （2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN

于点C，

过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最

小值是 ▲ 。

【答案】142。

【考点】轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。 【分析】∵MN＝20，∴⊙O的半径＝10。

连接OA、OB，

在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6， ∴OD＝OB－BD＝10－6＝8。 同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8， ∴OC＝OA－AC＝10－8＝6。 ∴CD＝8＋6＝14。

作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，过点B′

作AC的垂线，交AC的延长线于点E。

在Rt△AB′E中，∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14， ∴AB′＝AE＋B′E＝14＋14＝142。

例6. （2012湖北十堰6分）阅读材料：

例：说明代数式 x2?1?(x?3)2＋4的几何意义，并求它的最小值．

解： x2?1?(x?3)2?4 ?(x?0)2?12?(x?3)2?22，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则(x?0)2?12可以看成点P与点A（0，1）的距离，(x?3)2?22可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．

设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋

22222

2

2

2

2

2

2

2

PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32。

根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式(x?1)2?1?(x?2)2?9的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标） （2）代数式 x2?49?x2?12x?37的最小值为 ． 【答案】解：（1）（2，3）。 （2）10。

【考点】坐标与图形性质，轴对称（最短路线问题）。

【分析】（1）∵原式化为(x?1)2?12?(x?2)2?32的形式，

∴代数式(x?1)2?1?(x?2)2?9的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，

0）与点A

（1，1）、点B（2，3）的距离之和。

（2）∵原式化为(x?0)2?72?(x?6)2?12的形式，

∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）

的距离之和。

如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′， ∴求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而点A′、B

间的直线段距离最短。

∴PA′＋PB的最小值为线段A′B的长度。

∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，－7），A′C=6，BC=8。

∴A?B? A?C2?BC2? 62?82=10。

例7. （2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。

如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小． （1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE周长的最小值：

．

【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。

（2）8．

【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。

（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：

∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线。 ∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。 ∴D?E?DE2?DD?2? 32?42?5。 ∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。

练习题：

1. （2011黑龙江大庆3分）如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则

△ABP的周长的 最小值为 ▲ ．

2. （2011辽宁营口3分）如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝ ▲ 时，AC＋BC的值最小．

3.（2011山东济宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。

(1) 若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？ (2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

4.（2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】

A、2 B、4 C、22 D、42

5.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的

任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】

A．1

B．2

C．3

D．4

6.（2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的

中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】

A．3 B．4 C．5 D．6

7.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．

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