2013年1月高二上学期期末考试 数学试题(1)

2012—2013学年度高二第一学期期末考试数学试题（高考试题1）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【2012高考辽宁文5】已知命题p：?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1)(x2?x1)≥0，则?p是 (A) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1)(x2?x1)≤0 (B) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1)(x2?x1)≤0 (C) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1)(x2?x1)<0 (D) ?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1)(x2?x1)<0

【解析】命题p为全称命题，所以其否定?p应是特称命题，又(f(x2)?f(x1))(x2?x1)≥0否定为(f(x2)?f(x1))(x2?x1)<0，故选C【答案】C

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题。 2.【2012高考天津文科5】设x?R，则“x>”是“2x2+x-1>0”的

21(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

11【解析】不等式2x2?x?1?0的解集为x?或x??1，所以“x?”是

22“2x?x?1?0”成立的充分不必要条件，选A.【答案】A

??3.【2012高考广东文6】在△ABC中，若?A?60，?B?45，BC?32，则AC?

2A. 43 B. 23 C. 3 D.

32

22?23.【答案】B

【解析】根据正弦定理，

BCsinA?ACsinB，则AC?BC?sinBsinA32??324.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【解析】在等差数列中，?a1?a11?a4?a8?16,?s11?11?(a1?a11)2?88，【答案】B

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。

5.【2012高考真题重庆理2】不等式

??1x?12x?1?0的解集为

A.??1?1???1???,1? B.??,1? C.???.????1,??? D.???,????1,??? 对 2?2?2??2???【解析】原不等式等价于(x?1)(2x?1)?0或x?1?0，即?等式的解为?12?x?1，选A.【答案】A

xa2212?x?1或x?1，所以不

6.【2012高考江西文8】椭圆?yb22?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦

点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A.

14 B.

55 C.

12 D. 5-2

【解析】椭圆的顶点A(?a,0),B(A,0),焦点坐标为F1(?c,0),F2(c,0)，所以AF1?a?c,F1B?a?c，F1F2?2c,又因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以有

ca554c?(a?c)(a?c)?a?c222，即5c2?a2，所以a?5c，离心率为e??【答案】B

?x?2y?2?7.【2012高考真题山东理5】已知变量x,y满足约束条件?2x?y?4，则目标函数

?4x?y??1?z?3x?y的取值范围是

（A）[?32,6] （B）[?3,?1] （C）[?1,6] （D）[?6,]

223【答案】A

【解析】做出不等式所表示的区域如图，由z?3x?y得y?3x?z，平移直线y?3x，由图象可知当直线经过点E(2,0)时，直线y?3x?z的截距最小，此时z最大为

?4x?y??1?2x?y?4z?3x?y?6，当直线经过C点时，直线截距最大，此时z最小，由?，解

1?x?333?得?，此时，所以z?3x?y的取值范围是[?,6]，选A. z?3x?y??3??2222?y?3?8.【2012高考湖南文8】 在△ABC中，AC=7 ，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于

32332A． B. C.3?26 D.3?439

【解析】设AB?c，在△ABC中，由余弦定理知AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cosB， 即7?c2?4?2?2?c?cos60?，c2?2c?3?0,即(c-3)(c?1)=0.又c?0,?c?3. 设BC边上的高等于h，由三角形面积公式S?ABC?121212AB?BC?sinB?12BC?h，知

?3?2?sin60???2?h，解得h?332.【答案】B

9.【2012高考全国文6】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，Sn?2an?1，,则Sn?

321（A）2n?1 （B）()n?1 （C）()n?1 （D）n?1

232 【答案】B

【解析】因为an?1?Sn?1?Sn，所以由Sn?2an?1得，Sn?2(Sn?1?Sn)，整理得

3Sn?2Sn?1，所以

Sn?1Sn?32，所以数列{Sn}是以S1?a1?1为首项，公比q?32的等比

3数列，所以Sn?()n?1，选B.

210.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线

y2?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ） (A) 2 (B) 22 (C)? (D)?

22【解析】设等轴双曲线方程为x?y?m(m?0)，抛物线的准线为x??4，由AB?43,则

yA?23,把坐标(?4,23)代入双曲线方程得

x2m?x?y22?16?12?4，所以双曲线方程为x?y22?4，即

4?y24?1，所以

a2?4,a?2，所以实轴长2a?4，选C.【答案】C

11.【2012高考真题安徽理9】过抛物线y2?4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若AF?3，则?AOB的面积为（ ）

22322 (A) (B) 2 (C) (D)22

【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。

【解析】设?AFx??(0????)及BF?m；则点A到准线l:x??1的距离为3，

得：3?2?3cos??cos??1213 又m?2?mcos(???)?m?123222321?cos??32，

?AOB的面积为S??OF?AB?sin???1?(3?)??322。【答案】C

12.【2012高考陕西文10】小王从甲地到乙地的时速分别为a和b（a

ab B.v=ab C.

ab2ssa?sb?2aba?b2

【解析】设甲乙两地相距s，则小王用时为

sa?sb，所以v?a?b，?0?a?b，

?ab?a?b2、

2aba?b?2ab2b?a.?2a?b?1ab，?a?v?ab.故选A.【答案】A.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每步题4分，共16分，把答案填写在题中横线上. 13.【2012高考广东文12】若等比数列?an?满足a2a4?【答案】

14122，则a1a3a5? .

124，所以 a1a3a5?a3?2【解析】因为a2a4?a3?12414.【2012高考重庆文13】设△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且

1a=1，b=2，cosC?，则sinB?

4。

【答案】

154

【解析】由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC?1?4?2?2?121?()?415414?4，所以c?2。所

以b?c,B?C，即sinB?sinC?.

15.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为 【答案】3

【解析】由y2?4x可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为60?，所以直线的斜率为

k?tan60??3，利用点斜式，直线方程为y?3x?3，将直线和曲线联立

??y?3x??2??y?4x3?A(3,23)11???1S??OF?y??1?23?，因此?OAFA2322)?B(,?3?33．

16.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是CD、

D1A1DB1NCBC1MCC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是____________。

A

【命题立意】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，以及异面直线所成角的求法.

【解析】本题有两种方法，一、几何法：连接MD1，则MD1?DN,又A1D1?DN，易知DN?面A1MD1，所以A1M与DN所成角的大小是

?2；二、坐标法：建立空间直角坐标

系，利用向量的夹角公式计算得异面直线A1M与DN所成角的大小是

?2.【答案】

?2

三、解答题：本大题共6小题共74分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【2012高考浙江文18】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为

a，b，c，且bsinA=3acosB。

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值. 【答案解析】（1）?bsinA=

3acosB，由正弦定理可得sinBsinA?3sinAcosB，即

得tanB?3，?B??3.

（2）?sinC=2sinA，由正弦定理得c?2a，由余弦定理b2?a2?c2?2ac，cosB9?a?4a?2a?2acos22?3，解得a?3，?c?2a?23.

18.【2012高考山东文17】(本小题满分12分)

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinB(tanA?tanC)?tanAtanC. (Ⅰ)求证：a,b,c成等比数列； (Ⅱ)若a?1,c?2，求△ABC的面积S. 【答案】 (I)由已知得：

sinB(sinAcosC?cosAsinC)?sinAsinC， sinBsin(A?C)?sinAsinC， sinB?sinAsinC，

2再由正弦定理可得：b2?ac， 所以a,b,c成等比数列.

(II)若a?1,c?2，则b2?ac?2， ∴cosB?a?c?b2ac2222?7434，

sinC?1?cosC?，

127474∴△ABC的面积S?12acsinB??1?2??.

19.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。求通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润。

【解析】设生产x桶甲产品，y桶乙产品，总利润为Z，

?x?2y?12?2x?y?12?则约束条件为?，目标函数为Z?300x?400y，

x?0???y?0可行域为联立方程组??x?2y?12?2x?y?12，当目标函数直线经过点M时z有最大值，

得M(4,4)，代入目标函数得z?2800，故选C.

20.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2?n，

n∈N，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N.

（1）求an，bn；

（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn. 【答案】 【解析】

??（1） 由Sn=2n2?n，得

当n=1时，a1?S1?3；

2当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n2?n??2(n?1)?(n?1)????4n?1，n∈N﹡.

由an=4log2bn＋3，得bn?2n?1，n∈N﹡.

（2）由（1）知anbn?(4n?1)?2n?1，n∈N﹡

所以Tn?3?7?2?11?2?...??4n?1??2223n?1，

2Tn?3?2?7?2?11?2?...??4n?1??2，

n2Tn?Tn??4n?1??2?[3?4(2?2?...?2n2n?1)]

?(4n?5)2?5

Tn?(4n?5)2?5，n∈N﹡.

nn

21.【2011年北京理16】（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB?2,?BAD?60.

?(Ⅰ)求证：BD?平面PAC;

（Ⅱ）若PA?AB,求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O.

因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=

3.

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则 P（0，—3，2），A（0，—

3，0），B（1，0，0），C（0，

3，0）.

所以PB?(1,3,?2),AC?(0,23,0).

cos?PB?AC|PB|?|AC|?622?23?64设PB与AC所成角为?，则

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知BC?(?1,3,0).

设P（0，－3，t）（t>0），则BP?(?1,?3,t)

设平面PBC的法向量m?(x,y,z),则BC?m?0,BP?m?0

???x?3y?0,???x?3y?tz?0y?所以?令

3,x?3,z?6则

6m?(3,3,)t所以t .6n?(?3,3,)t 同理，平面PDC的法向量

?6?36t2?0因为平面PCB⊥平面PDC,所以m?n=0，即22.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）

解得t?6所以PA=6

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：

x2?y2?1（a?b?0）的左焦点为

a2b2F1(?1,0)，且点P(0,1)在C1上.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2?4x相切，求直线l的方程. 【答案】

【解析】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1(?1,0)，所以c?1，

x22点P(0,1)代入椭圆a2?y1b2?1，得

b2?1，即b?1，

所以a2?b2?c2?2，

所以椭圆Cx2?y21的方程为

2?1.

（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y?kx?m，

??x2?2?y2?1，消去y并整理得(1?2k2)x2?4kmx?2m2?2?0， ??y?kx?m因为直线l与椭圆C22221相切，所以??16km?4(1?2k)(2m?2)?0， 整理得2k2?m2?1?0 ①

??y2?4x?kx?m，消去y并整理得k2x2?(2km?4)x?m2?0。 ?y因为直线l与抛物线C22相切，所以??(2km?4)?4k2m2?0， 整理得km?1 ②

??22k?k????综合①②，解得?2或?2。

???m?2?m??2所以直线l的方程为y?22x?2或y??22x?2。

数学试题参考答案

一、选择题

题号 1 答案 二、填空题 13、 等腰或直角三角形 14.、(?1,1),(?2,1)15、8 16 、?0,2???8,???

2 3 4 B 5 B 6 D 7 D 8 C 9 B 10 C 11 12 D A A C A 三、解答题

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