高中数学第三章数列-递归数列通项公式的求法（竞赛精讲）

§3.2递归数列通项公式的求法

确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公

式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。 基础知识

定义：对于任意的n?N，由递推关系an?f(an?1,an?2,?,an?k)确定的关系称为k阶递归关系或称为k阶递归方程，由k阶递归关系及给定的前k项a1,a2,?,ak的值(称为初始值)所确定的数列称为k阶递归数列。若f是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。 求递归数列的常用方法： 一．公式法

(1)设{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则其通项为an?am?(n?m)d； (2)设{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则其通项为an?amqn?m；

*?S1(n?1)(3)已知数列的前n项和为Sn，则an??。

S?S(n?2)n?1?n二．迭代法

迭代恒等式：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1； 迭乘恒等式： an?anan?1a????2?a1，(an?0) an?1an?2a1迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题： 类型一：已知a1?b,an?1?an?f(n)，求通项an； 类型二：已知a1?b,an?1?f(n)an，求通项an； 三．待定系数法

类型三：已知a1?b,an?1?pan?q(p?1)，求通项an； 四．特征根法

类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为xn?2?pxn?1?qxn（n?1,p,q为常数，q?0），其特征方程为x?px?q，其根为特征根。

nn （1）若特征方程有两个不相等的实根?,?，则其通项公式为xn?A??B?（n?1），

2其中A、B由初始值确定；

（2）若特征方程有两个相等的实根?，则其通项公式为xn?[A??B(n?1)?n?1（n?1），其中A、B由初始值确定。

证明：设特征根为?,?，则????p,????q

所以xn?2??xn?1=pxn?1?qxn??xn?1=(p??)xn?1?qxn=?xn?1???xn=?(xn?1??xn) 即{xn?1??xn}是以?为公比，首项为x2??x1)的等比数列。 所以xn?1??xn?(x2??x1)?n?1，所以xn??xn?1?(x2??x1)?n?2

(1)当???时，则其通项公式为xn?A?n?B?n，其中A?x2??x1，B?x2??x1；

(???)?(???)?(2)当???时，则其通项公式为xn?[A??B(n?1)]?n?1，其中A?x1?,B?x2??x1?

五．代换法

代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下

类型五：已知a1?b,a2?c，an?1?pan?qan?1?r(r?0)，求通项an。 六．不动点法

若f(?)??，则称?为f(x)的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。 类型六：(1)已知an?1?a?an?b(c?0，且ad?bc?0)，求通项an；

c?an?d2 (2)已知an?1七．数学归纳法 八．构造法

a?an?b，求通项an； ?2a?an?c典例分析

22例1．数列{an}中，a1=1,an+1>an,且an?1?an?1?2(an?1an?an?1?an)成立，求an。

例2．已知正数数列{xn}满足：xn?1?xn(1?cx)kn1k，其中k?N,c?R,c?0，求xn。

*例3．已知数列{an}满足：a1?1,a2?2,an?2?2anan?1，求an。

an?an?12an?2例4．已知a1?a2?1,an??1(n?3)，证明：该数列中的一切数都是整数。

an?2例5．已知a1?a2?a3?1,an?3?1?an?1an?2(n?N*)，求an。

anbn?1(n?2)，a1?p,b1?q且21?an例

6．数列{an},{bn}满足an?an?1bn,bn?p,q?0,p?q?1，求{an},{bn}的通项公式。

2例7．已知a1?b,an?1?pan?(p?1)?q，求an。

a1?1??1例8．数列{an}满足?，求an。

a?(1?4a?1?24a),n?1,2,?n?1nn?16?例9．已知a1?1,a2?a?b2anbn5，求{an},{bn}的通项公式。 ,an?1?nn,bn?1?22an?bn例10．已知数列{an},{bn}满足：???bn?1sin??an?an?1cos，且a1?1,b1?tan?，求

b?asin??bcos?n?1n?1?n{an},{bn}的通项公式。

例11．若数列{an}的前n项和为Sn,a1?a(a?0)，且满足an?1?的通项公式。

拓展：若数列{an}的前n项和为Sn,a1?a(a?0)，且满足

2an?1?a2?tan?SSn(?2?t?2)，求{an}的通项公式。

2a2?aSn?Sn，求{an}(参考答案：an?tasin?，其中cos??) ???2sinn?12?an?1?7an?6bn?3例12．设数列{an},{bn}满足：a0?1,b0?0，且?，n?0,1,2?，

b?8a?7b?4nn?n证明：an(n?1,2,……)是完全平方数。

练习题：

1．已知数列{an}满足a1?2,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*)，求数列{an}的通项an 2．已知数列{an}满足a1?1,a2?2,4an?2?4an?1?an(n?N*)，求数列{an}的通项an

3．已知数列{an}满足a1?2,an?an?1?2(n?2)，求数列{an}的通项an

2an?1?12an?1(n?N*)，求数列{an}的通项an 4an?64．已知数列{an}满足a1?2,an?1?练习答案：

1．解：其特征方程为x2?3x?2，解得x1?1,x2?2，令an?c1?1n?c2?2n，

?c1?1?a1?c1?2c2?2?n?1由?，得?1， ?an?1?2

c2??a2?c1?4c2?3??21?1?2．解：其特征方程为4x?4x?1，解得x1?x2?，令an??c1?nc2???，

2?2?2n1?a?(c?c)??1112??c1??43n?2?2由?，得?， ?an?n?1

2?c2?6?a?(c?2c)?1?2212??43．解：其特征方程为x?x?2，化简得2x2?2?0，解得x1?1,x2??1，令2x?1?a?1?41an?1?1a?1a?11?c?n 由a1?2,得a2?，可得c??，?数列?n?是以1?53an?1?1an?1a1?13?an?1?an?11?1?13n?(?1)n?????，?an?n为首项，以?为公比的等比数列，? nan?13?3?33?(?1)12x?1?0，解得x1?x2??，令，即4x2?4x?124x?6311??c 由a1?2,得a2?，求得c?1， 1114an?1?an?22???1?12是以?数列??为首项，以1为公差的等差数列， ?15?an?1?a1??2?2n?14．解：其特征方程为x??

1an?12?13?5n23 ?(n?1)?1?n?，?an?10n?655

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