医药数理统计习题答案

第一章 数据的描述和整理

一、学习目的和要求

1. 掌握数据的类型及特性；

2. 掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法；

3. 掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量； 4. 能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算； 5. 了解统计图形和统计表的表示及意义；

6. 了解用Excel软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算。

二、 内容提要

（一） 数据的分类

定性数据（品质数据） 数据类型 定类数据 定序数据 定量数据 数值数据 （计量数据） 数值 (＋－×÷) 数值变量 （离散变量、连续变量） 计算各种统计量，进行参数估计和检验、回归分析、方差分析等参数方法 直方图，折线图，散点图， 茎叶图，箱形图 （计数数据） （等级数据） 表现形式 类别 （无序） 定类变量 类别 （有序） 定序变量 对应变量 主要统计方法 计算各组频数，进行列联表分析、?检验等非参数方法 2常用统计图形

条形图，圆形图（饼图） （二） 常用统计量

1、描述集中趋势的统计量

1

名 称 均值 公 式（原始数据） 公 式（分组数据） 意 义 反映数据取值的平均水x 中位数 Me 众数 Mo 1nx??xini?1 1kx??mifini?1 平，是描述数据分布集中趋势的最主要测度值, 是典型的位置平均数，不受极端值的影响 测度定性数据集中趋势，对于定量数据意义不大 当n为奇数中位数所在组： ?xn?1，()??2 Me??1累积频数超过n/2?(xn?xn),当n为偶数(?1)?2?2(2)的那个最低组 数据中出现次数最多的观察值 众数所在组: 频数最大的组 2、描述离散程度的统计量

名 称 极差 R 总体方差 ?2 总体标准差? 样本方差 S2 样本标准差S 变异系数 CV 样本标准误公 式（原始数据） R = 最大值-最小值 1N???(xi?x)2 Ni?12公 式（分组数据） R≈最高组上限值－最低组下限值 1??N2意 义 反映离散程度的最简单测度值，不能反映中间数据的离散性 ?(m?x)ii?1k2fi 反映每个总体数据偏离其总体均值的平均程度，是离散程度的最???2?1N2?(x?x)ii?1N 2???2?1N2?(m?x)ii?1N 2重要测度值, 其中标准差具有与观察值数据相同的量纲 fi1nS?(xi?x)2 ?n?1i?1S?S21n?(xi?x)2?n?1i?1 1k反映每个样本数据偏离其样本均2S?(m?x)f?iin?1i?1值的平均程度，是离散程度的最 重要测度值, 其中标准差具有与S?S2 观察值数据相同的量纲 1k2??(mi?x)fi n?1i?1CV=S?100% |x|反映数据偏离其均值的相对偏差，是无量纲的相对变异性测度 反映样本均值偏离总体均值的平Sx

Sx?Sn 均程度，在用样本均值估计总体均值时测度偏差 2

3、描述分布形状的统计量

名 称 公 式（原始数据） 公 式（分组数据） 意 义 反映数据分布的非对称性 偏度 Sk Sk?n?(xi?x)3(n?1)(n?2)S3 Sk??(mi?1ki?x)3fi3Sk=0时为对称； Sk >0时为正偏或右偏； Sk <0时为负偏或左偏 nSKu?峰度 Ku Ku? n(n?1)?(xi?x)4?3[?(xi?x)2]2(n?1)(n?1)(n?2)(n?3)S4 反映数据分布的平峰或尖峰程度 Ku=0时为标准正态； Ku＞0时为尖峰分布； （原始数据） ?(mi?1ki?x)4fi4nS?3（分组数据） Ku＜0时为扁平分布 * 在分组数据公式中，mi， fi分别为各组的组中值和观察值出现的频数。

三、综合例题解析

例1．证明：各数据观察值与其均值之差的平方和（称为离差平方和）最小，即对任意常数C，有

?(x?x)??(x?C)2iii?1i?1ni?1nn2

2证一：设 f(C)??(ix?C)

由函数极值的求法，对上式求导数，得

f?(C)??2?(xi?C)??2?xi?2nC, f??(C)?2n

i?1i?1nn令 f ?(C)=0，得唯一驻点

1nC??xi=x

ni?1由于f??(x)?2n?0，故当C?x时f (C)y有最小值，其最小值为

3

f(x)??(xi?x)2。

i?1n证二：因为对任意常数C有

?(x?x)??(x?C)??x22iii?1i?1i?12ni?1nnn2i?nx?(?x?2C?xi?nC2)22ii?1i?1nn??nx?2C?xi?nC2??n(x2?2Cx?C2)??n(x?C)2?0故有

?(x?x)??(x?C)2iii?1i?1nn2。

四、习题一解答

1．在某药合成过程中，测得的转化率（%）如下：

94.3 92.8 92.7 92.6 93.3 92.9 91.8 92.4 93.4 92.6 92.2 93.0 92.9 92.2 92.4 92.2 92.8 92.4 93.9 92.0 93.5 93.6 93.0 93.0 93.4 94.2 92.8 93.2 92.2 91.8 92.5 93.6 93.9 92.4 91.8 93.8 93.6 92.1 92.0 90.8 （1）取组距为0.5，最低组下限为90.5，试作出频数分布表； （2）作频数直方图和频率折线图；

（3）根据频数分布表的分组数据，计算样本均值和样本标准差。 解：（1）所求频数分布表：

转化率的频数分布表

转化率分组 90.5～ 91.0～ 91.5～ 92.0～ 92.5～

频数 1 0 3 11 9

频率 0.025 0.00 0.075 0.275 0.225

累积频率

0.025 0.025 0.10 0.375 0.60

4

93.0～ 93.5～ 94.0～94.5

7 7 2

0.175 0.175 0.05

0.775 0.95 1.00

（2）频数直方图：

直方图12108642010转化率32频数1197790.5-91.0-91.5-92.0-92.5-93.0-93.5-94.0-94.5-

频率折线图：

频率0.30.250.20.150.10.0509090.59191.59292.59393.59494.595转化率频率折线图转化率

（3）由频数分布表可得

转化率分组 90.5～ 91.0～ 91.5～ 92.0～

组中值mi 90.75 91.25 91.75 92.25

频数 1 0 3 11

5

的该药品合格率分别为90%、80%，现用A1、A2分别表示甲、乙两厂的药品，B表示合格品，试求：P(A1)、P(A2)、P(B|A1)、P(B|A2)、P(A1B)和P(B)。

解：由题中已知条件可得

P(A1)=0.65，P(A2)=0.35，P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.8，

P(A1B)= P(A1)P(B|A1)= 0.65×0.9=0.585，

P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) =0.65×0.9+0.35×0.8=0.865。

19．某地为甲种疾病多发区，其所辖的三个小区A1，A2，A3的人口比例为9∶7∶4，据统计资料，甲种疾病在这三个小区的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求该地甲种疾病的发病率。

解：设以A1、A2、A3表示病人分别来自小区A1、A2、A3，以B表示患甲种疾病。则由题意知

P(A1)=

974，P(A2)=，P(A3)=，

202020P(B|A1)=0.004，P(B|A2)=0.002，P(B|A3)=0.005，

则该地甲种疾病的发病概率为

P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) =

974?0.004??0.002??0.005?0.0035=3.5‰。 20202020．若某地成年人中肥胖者（A1）占有10％，中等者（A2）占82％，瘦小者（A3）占8％，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为20％，10％，5％。（1）求该地成年人患高血压的概率；（2）若知某人患高血压病，他最可能属于哪种体型？

解：设B={该地成年人患高血压}，则由题意知

P(A1)=0.10，P(A2)=0.82，P(A3)=0.08， P(B|A1)=0.20，P(B|A2)=0.10，P(B|A3)=0.05，

（1）该地成年人患高血压的概率为

P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) =0.1?0.2?0.82?0.1?0.08?0.05=0.106；

（2）若已知某人患高血压病，他属于肥胖者（A1）、中等者（A2）、瘦小者（A3）

26

体型的概率分别为

P(A1|B)=P(A2|B)=P(A3|B)=

P(A1)P(B|A1)0.1?0.2??0.1887

P(B)0.106P(A2)P(B|A2)0.82?0.1??0.7736

P(B)0.106P(A3)P(B|A3)0.08?0.05??0.0377

P(B)0.106因为 P(A2|B)> P(A1|B) >P(A3|B) 故若知某人患高血压病，他最可能属于中等体型。

21．三个射手向一敌机射击，射中概率分别为0.4，0.6和0.7。若一人射中，敌机被击落的概率为0.2；若两人射中，敌机被击落的概率为0.6；若三人射中，则敌机必被击落。（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。

解：设A1、A2、A3分别表示第一个射手、第二个射手、第三个射手射中敌机；B0、B1、B2、B3分别表示无人射中、一人射中、两人射中、三人射中敌机；C表示敌机被击落。则A1、A2、A3相互独立，且由题意可得

P(A1)=0.4，P(A2)=0.6，P(A3)=0.7

P(B0)= P(A1A2A3)=P(A1) P(A2) P(A3)= 0.6×0.4×0.3=0.072

P(B1)= P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)=P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) =P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) =0.4×0.4×0.3+0.6×0.6×0.3+0.6×0.4×0.7=0.324

P(B2)= P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)=P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) =P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) =0.4×0.6×0.3+0.6×0.6×0.7+0.4×0.4×0.7=0.436

P(B3)= P(A1A2A3)=P(A1) P(A2) P(A3)= 0.4×0.6×0.7=0.168 P(C|B0)=0，P(C|B1)=0.2，P(C|B2)=0.6，P(C|B3)=1

（1）敌机被击落的概率为

27

P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)

=0×0.072+0.2×0.324+0.6×0.436+1×0.168=0.4944；

（2）所求概率为

P(B3|C)=

P(B3)P(C|B3)0.168?1??0.3398。

P(C)0.4944五、思考与练习

（一）填充题

1．若P(A)=0.3，P(B)=0.6，则

（1）若A和B独立，则P(A+B)= ， P(B－A)= ； （2）若A和B互不相容，则P(A+B)= ，P(B－A) = ； （3）若A ? B，则 P(A+B)= ，P(B－A)= 。 2. 如果A与B相互独立，且P(A)= P(B)= 0.7，则P(AB)= 。 3．在4次独立重复试验中，事件A至少出现1次的概率为事件A出现的概率是 。

65，则在每次试验中81

（二）选择题

1. 下列说法正确的是（ ）

A. 任一事件的概率总在(0,1)之内 B. 不可能事件的概率不一定为0 C. 必然事件的概率一定为1 D. 以上均不对。

2．以A表示事件“甲种药品畅销，乙种药品滞销”，则其A的对立事件为（ ） A. 甲，乙两种药品均畅销 B. 甲种药品滞销，乙种药品畅销 C. 甲种药品滞销” D. 甲种药品滞销或乙种药品畅销

3. 有100张从1到100号的卡片，从中任取一张，取到卡号是7的倍数的概率为（ ）

28

77A. B.

50100715C. D.

481004. 设A和B互不相容,且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论正确的是（ ） A. P(B|A)>0 B. P(A)=P(A|B)

C. P(A|B)=0 D. P(AB)=P(A)P(B)

（三）计算题

1．设Ω={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4}，B={3，4，5}。试求下列事件:（1）AB；（2）A+B。

2．某城市的电话号话由0，1，2，?，9这10个数字中任意8个数字组成，试求下列电话号码出现的概率：

（1）数字各不相同的电话号码（事件A）； （2）不含2和7的电话号码（事件B）； （3）5恰好出现两次的电话号码（事件C）。

3．一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率： （1）第一卷出现在两边； （2）第一卷及第五卷出现在两边； （3）第一卷或第五卷出现在两边； （4）第三卷正好在正中。

4．电路由电池A与两个并联的电池B、C串联而成，设电池A、B、C是否损坏相互独立，且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率。

5. 设一医院药房中的某种药品是由三个不同的药厂生产的，其中一厂、二厂、三厂生产的药品分别占1/4、1/4、1/2。已知一厂、二厂、三厂生产药品的次品率分别是7%，5%，4%。现从中任取一药品，试求

（1）该药品是次品的概率；

29

（2）若已知任取的药品是次品，求该次品是由三厂生产的概率。

6．盒中放有12个乒乓球，其中有9个球是新球。第一次比赛从盘中任取3个来用，比赛后仍放回盒中；第二次比赛时又从盒中任取3个。（1）求第二次取出的球都是新球的概率；（2）若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概率。

六、思考与练习参考答案

（一）填充题

1. （1）0.72，0.42；（2）0.9，0.6；（3）0.6，0.3 2. 0.09 3.

1 3 （二）选择题

1. C； 2. D； 3. A； 4 .C

（三）计算题

1. A={1, 5，6, 7}，B={1, 2，6, 7}，则

（1）AB={1, 6, 7}；（2）A+B={1，3，4，5，6，7}

810?9?8?7?6?5?4?3A102．（1）P?A???8?0.01814 8101088（2）P?B??8?0.1678

10（3）P?C??C82?96108?0.1488

2314A2A3C2A4213. （1）P?=0.4；（2）=0.1； ?P??55510A5A5142332C2A4?A2A3A32A377（3）P?=0.7；或=0.7； ?P?1??551010A5A5 30

113232C2C3A3?A2A37或P?=0.7 ?510A54A41（4）P?5?=0.2

A554．已知 P(A)=0.3，P(B)=0.2，P(C)=0.2 且A、B、C相互独立 则所求概率

P(A?BC)=P(A)+P(BC)－P(ABC) = P(A)+P(B)P(C)－P(A)P(B)P(C) =0.3+0.2×0.2－0.3×0.2×0.2=0.328

5. 令A={该药品是次品}；Bk={药品是由k厂生产的}，k=1，2，3。 由题意知 P(B1)=0.25, P(B2)=0.25，P(B3)=0.5，

P(A|B1)=0.07，P(A|B2)=0.05，P(A|B3)=0.04，

（1）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|P2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)

=0.07×0.25+0.05×0.25+0.04×0.50=0.05

（2）

P(B3|A)? ?P?A|B3?P(B3)P(A|B1)P(B1)?P(A|B2)P(B2)?P(A|B3)P(B3)0.04?0.50.02 ??0.400.07?0.25?0.05?0.25?0.04?0.50.05

6．令Ak={第一次比赛任取3球中有k个新球}，k=0，1，2，3；

B={第二次取出的球都是新球}。

3?k3C3CkC99?k由题意得 P(Ak)=， P(B|A)=，k=0，1，2，3。 k33C12C123?k3C3CkC99?k（1）P?B???P(Ak)P(B|Ak)???3?0.146 3C12C12k?0k?03333（2）P(A|B)?P(A3)P(B|A3)?P(A3)P(B|A3)?C9?C60.146=0.238

3333?P(A)P(B|A)iii?0P(B)C12C12

31

第三章 随机变量及其分布

一、 学习目的和要求

1. 理解随机变量及其分布函数的概念；

2. 熟练掌握离散型、连续型随机变量的分布及性质；

3. 熟练掌握常用数字特征：数学期望E(X)和方差D(X)及其性质； 4. 熟练掌握二项分布、泊松分布、正态分布等的性质及概率计算； 5. 了解随机变量函数的分布；

6. 了解随机向量及分布函数的概念、性质； 7. 掌握离散型随机向量和连续型随机向量及其分布； 8. 掌握二维随机向量的数字特征；

9. 了解契比晓雪夫不等式和大数定律及其意义； 10. 掌握中心极限定理及其应用；

11. 了解用Excel计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用分布的概率。

二、内容提要

（一）随机变量及常用分布

1. 离散型随机变量及常用分布

名 称 分布律 定 义 P{X=xk}=pk，k=1,2,? 或 X x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk … 性质或背景 1. pk ≥0，k=1,2,… 2. 备 注 ?pk?1?k?1 0-1分布 P{X=1}=p, P{X=0}=q，或 X P 0 1 q p 二项分布n=1的特例：B(1,p)( 一重贝努里试验) EX=p D(X)=pq 二项分布B(n,p) P{X= k}= Cpkqn?k， k=0,1,… ,n knX为n重贝努里试验中A事件发生的次数 EX=np D(X)=npq 32

泊松分布P(?) P{X=k}=?e??， k!k二项分布泊松近似公式 kkn?kCnpq?EX=? ?kk!k＝0,1,2,… , ?>0是常数 D(X)= ? e??(?≈np) (n很大，p较小) 超几何 分布 kn?kCMCN?MP{X=k}= nCN无放回产品抽样试验 EX=nM N k=1,2,…,min(M,n) 当N→+∞时，M?p时， nM(N?n)(N?M)ND(X)?2N(N?1)CCN???ClimkNn?kN?MnNkkn?k ?Cnpq 2. 连续型随机变量及常用分布

名 称 定 义 对任意a0为常数 直线上几何概率模型的分布描述 若X服从对数正态分E(X)=0 D(X)= 1 ﹣∞

f(x)= 韦布尔分布 W(m, ?, ?) (x??)?m?m-1?(x-?)e?， x?? ??? x?? ?0 ，mm =1且?=0时为指数分布；m =3.5时近似于正态分布 分布函数为 F(x)=1?e?(x??)m?， (x>?) 3. 随机变量的分布函数

类 型 通用定义 定 义 F(x)＝P{X≤x}， ﹣∞＜x＜+∞ 离散型 X 连续型 X F(x)=xi?x性 质 1. 0≤F(x)≤1; 2. F(﹣∞)=0 , F(+∞)=1 3. F(x)对x单调不减 4. F(x)为右连续 备 注 P{a

类 型 定 义 离散型 E(X)=数学期望E(X) 连续型 E(X)=?xf?x?dx ????性 质 1. E(C)＝C（C为常数） 2. E(CX)＝C·E(X) 3. E(X±Y)＝E(X)±E(Y) 4. 若X、Y相互独立,则 E(X·Y)＝E(X)·E(Y) 备 注 ?xkpk k?1??描述随机变量所有可能取值的平均水平 方差 D(X) 标准差D(X) =E[(X－E(X))] 21. D(C)＝0（C为常数） 2. D(CX)＝C·D(X) 2描述随机变量取值相对于均值的平均离散程度 描述X与Y的偏差的关联程??X??D?X??E[(X?EX)]Cov(X,Y) 23. 若X、Y相互独立,则 D(X±Y)＝D(X)+D(Y) 4. D(X) = E(X)－(EX) 1. Cov(aX,bY)= abCov(X, Y) 2. Cov(X1+X2,Y) 22?(X) 协方差cov(X, Y) =E[(X－E(X))(Y－E(Y))] 34

=E(XY)－E(X)·E(Y) =Cov(X1,Y) +Cov(X2,Y) 3. X与Y独立? Cov(X, Y)=0 4. D(X±Y) ＝D(X)+D(Y)±2Cov(X, Y) 1. |?XY|≤1； 度 相关系数 ?XY ?XY?Cov?X,Y? D?X?D?Y?2. |?XY|=1?存在常数a、b 使得P{Y=aX+b}=1； 3. X与Y独立?X与Y不相关， 反之不一定成立。 描述X与Y间线性相关程度； ?XY =0，称X与Y不相关；

（三）随机变量函数的分布

类 型 X的分布 X的分布律 离散型 X P{X=xk}=pk， k=1,2,? 函数Y=g(X)的分布 Y的分布律为 P{Y=g(xk)} =pk，k=1，2，?。 若有某些g(xi)相等，则对其作适当的并项，即对应概率相加 分布函数法： FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}??Y=g(X)的密度：fY(y)=F′Y(y) 连续型 X X的密度为 fX (x) 定理公式法： 若y=g(x)在fX (x)非零区间上严格单调，h(y)是y=g(x)的反函数 E(Y)?E[g(X)]??g(x)f(x)dx.????数学期望公式 E(Y)?E[g(X)]??g(xk)pkk?1?? {x:g(x)?y}fX(x)dx ?fX[h(y)]?|h'(y)|, ??y?? fY(y)?? 其它,?0,

（四）二维随机向量及分布

1. 二维离散型随机向量

名 称 定 义 性质或试验背景 备 注 35

联合 分布律 P?X?xi,Y?yj??pij,i,j?1,2,???1. pij≥0，i,j=1,2,?, 2. ??pij?1 t?1j?1????联合分布律的列表结构 （概率分布表） X的 边缘分布 Y的 边缘分布 独立性 P?X?xi???pij?pi., j?1i?1,2,?随机变量X的分布律 由联合分布律“行值相加” P?Y?yj???pij?p.j, i?1??随机变量Y的分布律 X、Y的边缘分布完全确定其联合分布律 由联合分布律“列值相加” 按定义验证独立性， 实用中由试验独立性得 j?1,2,?.X与Y相互独立? pij?pi?p?j,i,j?1,2,?.

2. 二维连续型随机向量

名称 联合密度 f(x, y) 定 义 对平面上的区域D P((X,Y)?D)?性质或试验背景 1. f(x,y)≥0 2.??????????f(x,y)dxdy?1 备 注 P?x1?X?x2,y1?Y?y2?y22??xx1?y1f(x,y)dxdy ??f(x,y)dxdyD X的边缘密度 Y的边缘密度 独立性 随机变量X的密度 fX(x)??????f(x,y)dy fY(x)??????f(x,y)dxX与Y相互独立? f(x,y)?fX(x)fY(y) fX(x)=FX?(x) fY(y)= FY?(y) 按定义验证独立性； 实用中由试验独立性得 X与Y相互独立? ?=0； ?是X与Y的相关系数 随机变量Y的密度 X、Y的边缘分布完全确定其联合分布律 X～N(?1,?12) Y～N(?2,?2) 2二维 正态分布 （X, Y）～ 2N(μ1,μ2,?12,?2,?)

3. 二维随机向量的分布函数

名 称 联合分布函数定义 离散型 定 义 F(x, y)＝P{X≤x,Y≤y} ﹣∞＜x, y＜+∞ F(x,y)???pij xi?xyj?y性质或试验背景 1. 0≤F(x, y)≤1； 2. F(-∞, y)= 0, F(x,-∞)=0, F(-∞,-∞)=0, F(+∞, +∞)=1; 备 注 F(x,y)可以描述任意类型(X,Y)的分布 36

(X,Y) 连续型 (X,Y) X的边缘分布函数 Y的边缘分布函数 ﹣∞＜x, y＜+∞ xyF(x,y)???????f(u,v)dudv3. F(x, y)对x, y均为右连续； 4. F(x, y)对x和y单调不减； FX(x)为X的分布函数 ?2F(x,y) f(x,y)??x?y﹣∞＜x, y＜+∞ FX(x)?limF(x,y)y???由F(x,y)可确定FX(x)与FY(y)，反之未必 ?F(x,??)FY(x)?limF(x,y)x??? FY(y)为Y的分布函数 ?F(??,y) （五）大数定律和中心极限定理

名 称 条 件 X的E(X)、D(X)契贝晓夫 不等式 均存在有限 结 论 对任意?＞0，有 P?X?E(X)????D(X)或 备 注 在已知X的均值和方差时，估计X与其均值E(X)的偏差大(小)于?的概率 n当n足够大时， 1?Xk?2P?X?E(X)????1?D?X? ?2设{Xk}为相互独立且服从同一分切比雪夫 大数定律 布的随机变量序列，又E(Xk)=?, D(Xk)=?(k=1,2,?）均存在有限 设?n～B(n,p); 贝努里 大数定律 （或?n为n重贝努里试验中事件A发生的次数，P(A)=p） 勒维-林德贝格中心极限定理 (独立同分布中心极限定理）

2对任意?＞0，有 ?1n?limP??Xk??????0 n????nk?1?P1n即?Xk?? nk?1nk?1将依概率收敛于其均值μ 对任意ε＞0，有 ???limP?n?p????0。 n???n?以严格数学形式描述“频率的稳定性”。 在试验次数很大时，用事件A的频率作为其概率的近似值 n足够大时，?Xk近似k?1n即A发生的频率?nn?p P设{Xk}为相互独立且服从同一分布的随机变量序列，又E(Xk)=?, D(Xk)=?2(k=1,2,令Yn?k?1?Xk?n?n?n，则 n??limP?Yn?x???(x) 服从N(n?, n? 2) 即n很大时，Yn～N(0, 1)(近似) 37

?）均存在有限 德莫佛-拉普拉设?n～B(n,p); 令Yn??n?npnpq，则 当n很大(n>30)时,有斯中心极限定理 （或?n为n重贝(贝努里情形中努里试验中事件心极限定理) A发生的次数，P(A)=p） P?a??n?b???(b?npa?np)??().npqnpqn??limP?Yn?x???(x) 即n很大时，Yn～N(0,1)(近似), 或?n～N(np , npq) (近似)

三、综合例题解析

例1（1991年考研题） 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口。每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的概率分布。

解：首先，由题设可知，X的可能值为0，1，2，3。现设

Ai = {汽车在第i个路口首次遇到红灯}，i=1，2，3,

则事件A1，A2，A3相互独立，且

P(Ai)?P(Ai)?1 （i = 1，2，3）， 22故有 P{X = 0} = P(A1) = 1，

P{X?1}?P(A1)P(A2)?1 221 32P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P{X?3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?1 32所以，X的分布律为

X P 0 1 2 3 121221231 23

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注意：利用性质：?pi?1，可检查离散型概率分布律的正确与否。同时，若X

i的某个取值x0的概率较难计算，而其他所有取值的概率已算出时，则也可以利用上述性质得到：

P{X?x0}?1?i:xi?x0?pi。

1。 32比如本例中：

P{X?3}?1?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?例2 设连续型随机变量X的分布函数为

x??2?F(x)??A?Be, x?0

? x?0?0, 求：（1）常数A、B；（2）概率密度函数f(x)。 解：（1）由分布函数的性质F(+∞)=1得

F(+∞)= lim(A?Be)?A?1，

x????x2再由分布函数的连续性知其右极限F(0+0)= F(0),即

F(0+0)= lim(A?Be)?A?B?0

x?0?0?x2联立上述两式，解之得：A =1, B =﹣1。

则分布函数为

x??2?F(x)??1?e, x?0

? x?0?0, （2）所求密度函数为

x?1?2?e, x?0。 f(x)?F?(x)??2?0, x?0?

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例3（1989年考研题）设随机变量?在区间[1，6]上服从均匀分布，求方程x2 +? x + 1 = 0有实根的概率。

解：易知方程x2 +? x + 1 = 0有实根当且仅当Δ=?2－4≥0，即|?|≥2。故所求问题转化为：已知?～U[1，6]，求P{|?|≥2}。

现因?在[1，6]上服从均匀分布，则?的概率密度为

?1?, 1?x?6,f(x)??5

?其他.?0, 方程x2 +ξx + 1 = 0有实根的充要条件是Δ=?2－4≥0，即|?|≥2，故

P{??2}?1?P{??2}?1?P{?2???2}

?1??f(x)dx?1?(?0dx???2?22121114dx)?1??。 555例4 已知X～N(2, ?2)，P{2＜X＜4}=0.3，求P{X＜0}。 解：由于X～N(2, ?2)，故

P{2?X?4}??(4?22?22)??()??()??(0)?0.3 σσσ由于?(0)?1，可知 22?()??(0)?0.3?0.8,

?故 P{X?0}??(0?2?22)??(?)?1??()?1?0.8?0.2。

??注意：在正态分布的概率计算中，首先要将它标准化，转化为利用标准正态分布的公式求解即可。

例5（1989年考研题）设随机变量X和Y独立，且X服从均值为1，标准差为2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z = 2X－Y + 3的概率密度函数。

解：由于X和Y相互独立且都服从正态分布，所以Z作为X，Y的线性组合也服从正态分布，故只需求E(Z)和D(Z)就可确定Z的概率密度函数了。

由题设知，X～N（1，2），Y～N（0，1）。则由期望和方差的性质得

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