全国高中物理竞赛几何光学专题

几何光学

【知识点】

1、几何光学的基本定律

⑴光的直线传播定律 在各向同性均匀介质中，光沿着直线传播，称为光的直线传播定律。 ⑵光的独立传播定律 不同发光点发出的光束在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播，称为光的独立传播定律。

⑶光的折射定律与反射定律 入射光线、反射光线和分界面上入射点的法线三者在同一平面内：入射角和反射角的绝对值相等而符号相反，即入射光线和反射光线位于法线的两侧．即 I???I

入射光线、折射光线和分界面上入射点的法线三者在同一平面内；入射角的正弦与折射角的正弦之比和入射角的大小关系，只与两种介质的折射率有关，有 n?sinn??nsinn

式中，n、n?分别为入射空间介质和折射空间介质的折射率。

⑷全反射定律 当光线是由光密介质向光疏介质入射时，若增大入射角I，折射角I?也相应增大，当入射角I增大到某一数值Im时，折射角I??90?时，此时折射光线将沿着介质的分界面略射而出，这时的入射角Im称为全反射临界角，其数值为 sinIm?

2、物像概念

表述 相对给定的光学系统，入射的同心光束(或其延长线)的会聚点称为物点，经过光学系统后，若出射光束仍为同心光束，则该出射同心光束(或其延长线)的会聚点称为完善像点，所有物点的集合称为物，每个物点经过光学系统后所成完善像点的集合就是物体经过光学系统后的完善像，通常，物体所在的空间称为物空间，像所在的空间称为像空间．

3、 球面实际光线光路计算公式

如图（3）所示，由轴上物点A发出一条光线(L,U)，经折射球面(r,n,n?)出射光线(L?,U?)，满足如下关系

n? n

B n I E n' I' y ? A ?U O C U' A' ?y' r ?L L' B' 图（3） sinI?(L?r)sinU ①

rsinI ② N? sinI?? U??U?I?I? ③ L??r?1?

4、 球面近轴光线路计算公式

表述 当轴上物点和靠近光轴的轴外物点以很小的孔径角的光束入射到光学系统时，相关角度量值很小，使得这些角度的正弦值（或正切值）近似等于角度的弧度值，符合这个条件的光线十分靠近光轴，通常称为近轴光线，这些光线的区域称为近轴区，研究近轴区内物像关系的光学称为近轴光学或高斯光学，如图(4)所示，在近轴区内，成像光路的计算公式中的角度正弦值用相应弧度值代替，有 i???sinI??? ④ sinU??l?ru ① rni ② n?i?) ④ u? i?? u??u?i?i? ③ l??r(1?

B n E n' y h A ?U C U' A' ?y' r ?L L' B' 图 1.11.5 折射球面近轴区的成像

5、球面成像光路的放大

表述 放大率有如下两种定义形式：

⑴横向放大率 定义像的大小与物的大小之比为横向放大率?，则

y'nl' ???'

ynl⑵轴向放大率 若沿光轴方向微小物体的尺寸是dl，其相应的像是dl，则dl与dl的比值称为轴向放大率?，即

''dlnl'2 ??'?'2

dlnl6、薄透镜成像公式

⑴物像位置关系，薄透镜的物像位置关系式可以写为

f'f '??1

ll上式称为高斯公式，式中，l为物到透镜的距离，l为像到透镜的距离，f为透镜物方焦距，

'f'为像方焦距，其表示式为

'n2f' f?',??

n2?nn?n1fn1?r2r1''n2若透镜是放置在空气中，则n1?n2?1，薄透镜的物像位置关系式可以改写为

'

这时，焦距表示为

111?? l'lf' f?而定义薄透镜的光焦度?是

'r2r1

(n?1)(r1?r2)111?(n?1)(?) 'fr1r2式中为透镜的折射，为透镜前后表面的曲半径．

⑵物像的放大率，若物像空间的折射率相同，薄透镜的垂直放大率是

y'l' ????

yl同理，这时轴向放大率表示为 ???2 【例题】

1、一抛物线反射镜方程为y?2ax，当受到一束平行于x轴的平行光照射时，其反射光将与x轴相交于何处？如图（a）。

解：这是一个求反射光线的问题，自然需要用到反射定律。

但关键是求出光线在镜面的入射点处反射线方程，这显然与入射点有关。

设入射的某一光线在抛物镜上入射点P坐标为(x0,y0)，

2x0，y0应满足y0?2ax0的关系，P点的切线方程为

2y P(x0,y0) i i? ? ?i x

y?y0?k(x?x0)，k?0 它与抛物线方程y2?2ax只有一个交点，即方程 y?2a(判别式

(化简后

2图（a）

y?y0?x0) k?2ay02a2)?4(?2ax0)?0 kk2 2kx0?2ky0?a?0 ①

2因 y0?2ax0

由①式求得

k?ya?0 ② 2x02x0由图（a）所示，反射光线的斜率为

k???tan??tan(180??i?i?)?tan[180??2(180???)]

?tan2????4x0y022y0?4x02tan?1?tan2?

反射光线方程y?y0?k??(x?x0)。令y?0，即得其与x轴相交于

2y0y0a x???x0??

k??4x02它表明：反射光与x轴的交点和入射点(x0,y0)无关，即平行于抛物线轴线的光线都相交于x?a这一点，这点成为抛物反射镜的焦点。反之，若在焦点处放一电光源，就可产生2平行于轴线的平行光。

2、凸透镜焦距为20cm，一点光源以速度40cm/s沿透镜主轴远离透镜，求当点光源距透镜为60cm时像点的移动速度。

解：设某一时刻此点光源成像的物距为u1，像矩为v，则由透镜成像公式得

111?? uvfuf u?f即 v?（u??u）当点光源由上述位置移动一个很小的距离?u时，其成像的物距变为，令其对

（v??v）应的像矩移动?v，则其对应的像矩变为，又依成像公式有

所以

v??v?111??

u??uv??vf（u??u）f（u??）uf1??

?u（u??u）?fu?f1?u?f

由于?u很小，故有 因此

?u?1 u?f1?u?1? ?uu?f1?u?f代入上式得

（u??u）f?ufu?f?ufu?u?f(?u)2 v??v? ?(1?)??2u?fu?fu?f(u?f)所以

?v?(v??v)?v

fu?f?ufu?u?f(?u)2uf???

u?f(u?f)2u?f?f2?u?f(?u)2?(u?f)2又由于?u很小，故有

f(?u)2?f2?u 故从前式分子中略去f(?u)，便得

2f2 ?v???u

(u?f)2由于?u和?v分别是同一时间内物点和像点的位移，它们分别与各自对应的移动速度成比例，故有

f2 像的移动速度＝?×物的移动速度 2(u?f)代入数据，即得到本题所求的像的移动速度为10cm/s，其方向是沿主轴向靠拢透镜方向移动。

3、（第十八届全国中学生物理竞赛预赛）一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜f?48cm 处，透镜的折射率n?1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成象的位置。

1．先求凸球面的曲率半径R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于F点，如图（a）所示。C点为球面的球心，CO?R，由正弦

定理，可得

R?fsinr? （1） Rsin(r?i)由折射定律知

图（a） sini1? （2） sinrn当i、r很小时，sinr?r，sin(r?i)?r?i，sini?i，由以上两式得 1?frn1 （3） ???1?Rr?in?1n?1所以

R?(n?1)f （4） 2. 凸面镀银后将成为半径为R的凹面镜，如图（b）所示

令P表示物所在位置，P点经平面折射成像P?，根据折射定律可推出

P?O?nPO （5） 图（b）

由于这是一个薄透镜，P?与凹面镜的距离可认为等于P?O，设反射后成像于P??，则由球面镜成像公式可得

112?? （6） P??OP?OR由此可解得P??O?36cm，可知P??位于平面的左方，对平面折射来说，P??是一个虚物，经平面折射后，成实像于P???点。

P???O1? （7） P??On所以 P???O?24 cm （8） 最后所成实像在透镜左方24 cm处。

4、如图（a）所示，给定一块平行平板，厚度为d，折射率随x变化的规律为 n(x)?y A n0x1?r

? d O x0 图（a）

式中n0＝1.2、r＝13cm，一束光在O点由空气射入平板，并在A点以角??30?出射。求A点的折射率

x

nA和平板的厚度。

解：沿x方向把平板分割成折射率分别为n1、n2、?、nA各薄层，每一薄层的折射率看作均匀，用折射定律和几何关系可得出光线的轨迹方程，进而求得点A所在薄层的折射率和玻璃板厚度d。

如图（b）所示，以折射线代替实际的轨迹，由折射定律得

n0sin?0?n其中?0?1s?in?1n2?sin?2??nA?As in?2 ?，把n(x)的关系代入得 2n sin?A?0

nA在A点处，由折射定律得

nAsin(90???A)?sin? 故 nA?又因为已知n(x)?2n0?sin2??1.3

n0 ?0 ?1 图（b）

n0x1?ry ，取x为x(A)

B ?x ? 1.2得 1.3?

1?x(A)131cm）解得 x(A)?（

?x a O X C x

图（c）

在平板中任取一点B(x,y)，如图（c）所示，该店的折射角为?x，折射率为nx，则 n0sin90??nxsin?x nx?n0x1?r

即 sin?x?n0r?x ?nxrb?r a由图（c）的几何关系可得sin?x?对比sin?x的两条表示式可知a?b?r，这表明在平板内光线的轨迹是以r为半径的圆弧，其轨迹方程为y?(r?x)?r，将x(A)＝1cm、r＝13cm代入得y＝5cm。

5、在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm处有一小发光点S，一个厚度可以忽略的光楔C（顶角?很小的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于主轴，

222

与镜的距离为2.00cm，如图（a）所示。设光楔的折射率n＝1.5，棒角?＝0.028rad，在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面镜M，其反射面向着透镜并垂直于轴。问最后形成的放光点的像相对发光点的位置在何处（只讨论近轴光线，小角度近似适用。在分析计算过程中应作出必要的光路图）？

解：（1）光楔使入射光线偏折，其偏向角（出射光与入射光的夹角）用?表示，如图（b）。

sini1?nsinr1，nsini2?sinr2 因为?很小，因此i1、r1、i2、r2都是小角，所以 i1?nr1，ni2?r2 再由r1?i2??，可知

图（a） C S L M ? ? i1 ??(i1?r1)?(i2?r2) ?i1?r2??

?(n?1)?代入数据，得

? i2

n 图（b）

（rad） ??(1.5?1)?0.028?0.014

因为?与入射角大小无关，各条光线经过光楔后都向下偏转了?角，所以光点S经光楔后成了一个实像S1，S1到S的距离为

h1???l?0.014?28?0.39 （cm）（2）S1在透镜L中成像

111?? uvf以u?30cm，f?20cm代入，得 v?60cm 成像的放大率M1?vu，则 h2?M1h1?0.78cm

即像点S2在光轴下方与光轴的距离为0.78cm，离透镜光心O的距离是60cm。 （3）S2在平面镜之后，经平面镜反射成实像S3，S3和S2以平面镜对称，不难算出S3离凸透镜的距离是32.5cm。

（4）S3再在凸透镜中成像S4，像矩

v??fu?(u??f)?52cm， M2? h3?M3h2?1.25cm

（5）光线最后还要经光楔偏折，成像S5，离光楔距离为l??50cm。 S5在S4正下方?h， ?h???l??0.014?50?0.7cm h4?h3??h?0.55cm

v? u?S5在光轴上的垂足与S的距离为

?s?50?28?22cm

6、某人用一架物镜直径为D、焦距为f的照相机，拍摄一远处的电视塔，得到一张塔高为h的模糊不清的照片。他用同一照相机在同一地点对电视塔进行第二次拍摄，得到一张塔高为h0（h0?h）的清晰照片。试问第二次拍摄时镜头相对底片（与第一次相比）作了多大距离的调整？

解：电视塔相对照相机可以看作无穷远，电视塔应成像在焦面上。如果照相底片不在焦平面上，则得到模糊不清的像。如图所示，因为h0?h，所以第一次成的模糊的像可能在焦点F的右侧，如

M x x ??B2B1B1O DFh0DA1B1，如果h?，模糊的像也可能成在焦点F的左

2?B1?。 侧，如A1（1） 如果第一次模糊的像成在焦点F的右侧，则 A2B2?h0，A1B1?h，OB2?f

由图可知 ?A1DB1∽?A2DB2，所以

Nh ?A2A1?x?C h A1x?A1B1hx??x?? A2B2h0xh0?x ① h?h0得 x?又因为 ?MDO∽?A2DB2，所以

MOD2f?x ??A2B2h0x得 x?fh0D?h02 ②

由①、②两式得

f(h?h0)

D?h02即第二次拍摄时，将底片向前移动?x的距离便可得到清晰的像。

?x??B1??h。由图可知（2） 如果第一次模糊的像成在焦点F的左侧，则A1?A2B2C∽?A1?B1?C，所以

hx???x? ?h0x?h0?x? ③ h?h0得 x??又因?NOC∽?A2B2C，所以

NOD2f?x? ??A2B2h0x?得 x??fh0D?h02f(h?h0)由③、④两式得 ?x??

D?h02即第二次拍摄时，将底片向后移动?x?的距离便可得到清晰的像。

7、（第二十届全国中学生物理竞赛复赛）如图（a）所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为h0的区域被涂黑。一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆

Ox为以球心O为原点盖整个表面。

且与平面垂直的坐标轴。通过计算，

图（a）

求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标。

解：图（b）中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i?，折射光线与坐标轴的交点为P。令轴上OP的距离为x，MP的距离为l，根据折射定律，有

sini??n ①

sini

在?OMP中

图（b）

lx? ② sinisini?222 l?R?x?2Rxcosi ③ 由式①和式②得 x?nl

再由式③得 x?n(R?x?2Rxcosi) 设M点到Ox轴的距离为h，有 h?Rsini Rcosi?2222R2?R2sin2i?R2?h2

x22222得 2?R?x?2xR?h n x(1?解式④可得

21222)?2xR?h?R?0 ④ 2nn2R2?h2?nR2?n2h2 x? ⑤

n2?1为排除上式中应舍弃的解，令h?0，则x处应为玻璃半球在光轴Ox上的傍轴焦点，由上式有

x?n(n?1)nnR?RR 或2n?1n?1n?1

由图可知，应有x?R，故⑤式中应排除?号中的负号，所以x应表示为

n2R2?h2?nR2?n2h2 x? ⑥ 2n?1上式给出x随h变化的关系。

因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有h?h0，其中折射光线与Ox轴交点最远处的坐标为

22n2R2?h0?nR2?n2h0 x0? ⑦ 2n?1在轴上x?x0处，无光线通过。

随h增大，球面上入射角i增大，当i大于临界角iC时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角iC相应的光线有

hC?RsiniC?R这光线的折射线与轴线的交点处于

1 nn2R1? xC?n?121n2?nRn?12 ⑧

在轴Ox上R?x?xC处没有折射光线通过。 由以上分析可知，在轴Ox上玻璃半径以右

xC?x?x0 ⑨

的一段为有光线段，其他各点属于无光线段，PC就是所要求的分界点，如图（c）所0与P示。

图（c）

8、（第21届全国中学生物理竞赛预赛题）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R＝1.50cm，O到杯口平面的

距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1＝1.56，酒的折射率n2＝1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。

OC解：把酒杯放平，分析成像问题。 P

图1

1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1。在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成? 角的另一光线PA在A处折射。设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为? ，由折射定律和几何关系可得

n1sini＝n0sinr （1）

? ＝i+? （2）

在△PAC中，由正弦定理，有

RPC? （3） sin?sini考虑近轴光线成像，?、i、r 都是小角度，则有

r?n1i （4） n0Ri （5） PC??由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R 的数值及PC?PO?CO?4.8cm可得

? ＝1.31i （6）

r ＝1.56i （7）

由（6）、（7）式

r＞? （8）

由上式及图（1）可知，折射线将与PO延长线相交于P?，P? 即为P点的实像．画面将成实像于P? 处。

在△CAP? 中，由正弦定理有

RCP? （9） ?sin?sinr又有 r＝? +? (10) 考虑到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得

CP??又有

rR (11) r??OP??CP??R （12）

由以上各式并代入数据，可得

OP??7.9 cm （13）

由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。

2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图（2）所

图2

示，考虑到近轴光线有

r?代入n1和n2的值，可得

n1i （14） n2r＝1.16i （15）

与（6）式比较，可知

r＜? （16）

由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P?，P? 即为P点的虚像。画面将成虚像于P? 处。计算可得

CP??又有

rR （17） ??rOP??CP??R （18）

由以上各式并代入数据得

OP??13 cm （19）

由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P?处，距O点13cm．即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。

9、玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装有一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的的液体。即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为n1，液体对绿光的折射率为n2。当容器壁内、外半径之比r:R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？

解：所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”，是指眼在容器截面位置看到绿光从C点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所描述为折射角为90?的；临界折射。因为题中未给出n1、n2的大小关系，故需要分别讨论。

（1） 当n1?n2时

因为是要求r:R的最小值，所以当n1?n2时，应考虑的是图（a）中ABCD这样一种临界情况，其中BC光线与容器内壁相切，CD光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有

i1 B i2 A C

n2n1 图（a）

D

sini21?

sin90?n1设此时容器内壁半径为r0，在直角三角形BCO 中，sini2?r0R。当r?r0时，C处不可能发生临界折射，即不可能看到壁厚为零；当r?r0时，荧光液体中很多点发出的光都能在

C处发生临界折射，所以只要满足

rR?1n1

即可看到壁厚为零。 （2） 当n1?n2时

此时荧光液体发出的光线将直线穿过容器内壁，只要在CB及其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足的条件仍然是rR?1n1。

（3） 当n1?n2时

因为n1?n2，所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为90?的临界折射，因此当r?r0时，所看到的壁厚不可能为零了。当r?r0时，应考虑的是图（b）中ABCD这样一种临界情况，其中AB光线的入射角为90?，BC光线的折射角为r1，此时应该有

A E B r 1 Cr0 r

O i 2sin90?n1? sinr1n2在直角三角形OBE中有

sinr1?OEOB

因为图（a）和图（b）中的i2角时相同的，所以OE?r0，即

图（b）

D

sin90?n1? r0rn2将r0?R代入，可得 n1当rR?1n2时，可看到容器壁厚为零。

10、如图（a）所示光学系统，光点S发出的光经棱镜偏折，然后被焦距为f的薄透镜聚焦，棱镜的折射率为n，顶角?极小（即sin???）。

（1）求近于正入射的光线的偏向角； （2）求S所成像的位置。

解：光点S先经棱镜成像于S1，S1再经透镜成像于

? S ? S2，如图（b）所示。

f 图（a）

f 2

（1） 如图（c）所示，因为近于正入射，则?1、?2、?3、?4都很小，由折射定律得

因

?1?n?2，?4?n?3

S1 S ? O ??(?)?????2??3 1??2)?(?4??3，

O2 ) 所以 ??n????(n?1?（2） 如图（b）所示。因棱镜顶角?和光的入射角

都很小，所以可以近似的认为S1到透镜距离

? S2

图（b）

u?1.5f，由透镜成像公式可得

v?3f 放大率为 K?|v|u?2， 所以 S2O2?K?S?21S?1 ? ?2 ? 3? 图（c）

?4 S1 S因?很小，则S1S?ftan??f??f(n?1)? 最后成像 S2O2?2f(n?1)?

由于f?u?3f，故S2为实像，像在主轴下方，距主轴2f(n?1)?，像矩v?3f。

11、（第26届全国中学生物理竞赛复赛）内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直，则液面的方程为z??22gr2，式中ω为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转水银

液面作反射式天文望远镜）。

观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。

解：旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为

由(1)式，旋转抛物面方程可表示为

f?g． 2?2(1)

r2． z?4f抛物液面最低点以上的水银，在半径R、

(2)

停转后液面水平静止．由液体不可压缩性，知液面上升．以下求抛物液面最低点上升的高度．

高R4f的圆柱形中占据体积为M的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体积为V的部分无水银．体M在高度z处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得z处圆环面积

2VM?SM?z??π?R2?r2??π?R2?4fz?．

(3)

将体V倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体?，相应抛物面方程变为

R2?r2， z?4fS??z??πr2?π?R2?4fz??SM?z?．

(4)

其高度z处的水平截面为圆面，面积为 由此可知

即停转后抛物液面最低点上升

(5)

12R2， M???V?πR24f(6)

MR2． h?2?πR8f(7)

因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同．设眼长为y0．凹面镜成像时，物距u即所求距离，像距v与像长y分别为

v?fu， u-f(8)

y??vfy0?y0． uf?u(9)

平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为

R2， u??u?h?u?8f(10)

像距v?与像长y?分别为

两像视角相同要求 即

v??-u?， v?y???y0?y0．

u?(11) (12)

yy??， u?vu?-v?(13)

11， ?222u?uf2u?R4f(14)

此处利用了(8)—(12)诸式．由(14)式可解得所求距离

12、（第21届全国中学生物理竞赛复赛题）目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．

如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各h 自向垂直于它们的连线的同一方向发h 出半顶角为? =arctan?14?的圆锥形

S1 S2 S3 u?R． 2(15)

??????L P z 光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为 L = 12.0 h处的P点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．）

1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．

2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．

解：1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位

?、S2?、S3?为三个光束中心光于z轴上，如图1所示．图中MM?表示组合透镜的平面，S1线与该平面的交点． S2O2 ＝ u就是物距．根据透镜成像公式

h 可解得

S1 S2 M 111?? (1) uL?ufh ??? S1???O1 ??O2(S2’) ??u O3 S3’ L M’ 图1 P z 1 u?[L?L2?4fL] 2因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utan? ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得

u?(6?32)h≈1.757h (2)

此解满足上面的条件．

分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有 O1O2?O2O3?

L?u11h?(?2)h?0.854h L24(3)

?之下与S1?的距离为 即光心O1的位置应在S1

?O1?h?O1O2?0.146h S1(4)

?之上与S3?的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜同理，O3的位置应在S3中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点． 2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜．

因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于O1O2＝

O2O3＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再

将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．

图2画出了L1、L2放在MM?平面内时相互交叠的情况（纸面为MM?平面）．图中C1、

?、S2?为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与C2表示L1、L2的边缘，S1O1O2的交点．

?为圆心的圆1和以S2?（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1和L2时S1产生的光斑的边缘，其半径均为 ??utan??0.439h (5)

根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知

0.439h T Q O1 W2 K 圆1 S1’ C1 0.146h Q’ N’ T’ ???O1K???O1S1 (6)

N 0.439?0.146h?0.585h?r?0.75h0.439h ?h x2 0.854h

W1 O2 (S2’) 圆2 C2’ x1 故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．

图2

图2

下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线QQ?和NN?．若沿位于QQ?和NN?之间且与它们平行的任意直线TT?对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．

现在计算QQ?和NN?的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线TT?， x1、x2之和为

d?x1?x2?2r?O1O2?0.646h （7）

由于TT?必须在QQ?和NN?之间，从图2可看出，沿QQ?切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)，

?O1?? x1M?r?S1

?O1的值，得 代入r，??和S1x1M?0.457h (8)

代入(7)式，得

x2m?d?x1M?0.189h (9)

由图2可看出，沿NN?切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)，

x2M?r??

代入r和??的值，得

x2M?0.311h (10) x1m?d?x2M?0.335h （11）

由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．

【训练题】

1、两块平面镜宽度均为L?5cm，相交成角??12?，

如图所示，构成光通道。两镜的右端相距为d?2cm，左端靠在光接收器的圆柱形的感光面上。试问入射光线与光通道的轴成的最大角度?max为多少，才能射到光接收器上？

? ? L ? 2、如图所示，两平面镜A和B的镜面分别与纸面垂直，

两镜面的交线过图中的O点，两镜面间夹角为??15?，今自A镜面上的C点处沿与A镜面夹角??30?的方向在纸面内射出一条光线，此光线

D 在两镜面经多次反射后而不再与镜面相遇。设两镜面足够大，CO?1m。试求：

（1）上述光线的多次反射中，最后一次反射是发生在哪块镜面上？

（2）光线自C点出发至最后一次反射，共经历多长的时间？

B

O ? ? C A

3、在半径R?2m，孔径d?0.5m的凹面镜的焦点位置上，放置一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能到达该圆形屏幕。试求圆形屏幕直径。

4、有一只厚玻璃缸，底厚5cm，内盛4cm深的水，如图所示。已知玻璃和水的折射率分别为1.8和1.33。如果竖直向下看，看到缸底下表面离水面的距离是多少呢？

5、（第十七届全国中学生物理竞赛预赛）有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚3.0 cm，折射率n?1.5。在其下表面下2.0 cm处有一小物S；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L，其焦距f?30cm，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于透镜的主轴上，如图所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?

6、如图所示，全反射棱镜上方6cm处放置一物体AB，

棱镜直角边长为6cm，棱镜右侧10cm处放置一焦距的f1?10cm的凸透镜，凸透镜右侧15cm处再放置一焦距为f2?10cm的凹透镜，求该光学系统成像的位置和放大率（全反射棱镜的折射率n?1.5）。

10cm 15cm B 6cm A 45? 6cm 45? 7、球形介质中物体的视深会发生变化。有一个直径为8cm的实心玻璃球内有一个小气泡，当观察者沿着气泡和球心连线的方向观看时，气泡似距球面2cm，那么气泡和球面的实际距离是多少呢？（玻璃的折射率n?1.5）

8、(第十九届全国中学生物理竞赛复赛）薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n1和n2，则透镜两侧各有一个焦点（设为F1和F2），但F1、F2和透镜中心的距离不相等，其值分别为f1和f2。现有一个薄凸透镜L，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图所示。

（1）．试求出此时物距u，像距v，焦距f1、f2四者之间的关系式。

（2）．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为?1，则与之相应的出

射线与主轴的夹角?2多大？

（3）．f1，f2，n1，n2四者之间有何关系？

9、（第十八届全国中学生物理竞赛复赛）有一放在空气中的玻璃棒，折射率n?1.5，中心轴线长L?45cm，一端是半径为R1?10cm的凸球面．

1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？ 2．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度?1时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求?2/?1（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）．

10、望远镜的物镜直径D＝250cm，其焦距f＝160cm。要用此望远镜对相距L＝320km，直径d＝2m的人造地球卫星拍摄照片，试问：（1）照像底片应该放在距焦点多远的位置上？（2）人造卫星的像的大小是多少？（3）在冲洗好的照片中卫星的直径是多大。

11、有一薄透镜如图，S1面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为F1和F2；S2是球面，其球心C与F2重合。已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处位于椭圆长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为

e。

（1）求此透镜材料的折射率n（要论证）。 （2）如果将此透镜置于折射率n?的介质中，并能达到上述的同样要求，椭圆应满足什么条件？

S1 S 2

? F1

C ? F1

12、有一薄平凹透镜，凹面半径为0.5m，玻璃的折射率为1.5，且在平面上镀一层反射层，如图所示。在此系统的左侧主轴上放一物S，S距系统1.5m，问S成像于何处？

1.5m 0.5m S C 13、如图所示，一半径为R?0.128m的玻璃半球，过球心并与其平面部分垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴放置一细条形发光体A1A2（A2离球心O较近），其长度为

l?0.02m，若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去，可

以看到条形发光体的两个不很亮的像，当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随着移动，现调整条形发光体的位置，使得它的两个镜像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端A2距球心O的距离为a2?0.02m，试求出玻璃半球的折射率。

14、第25届全国中学生物理竞赛预赛）如图所示，一细长的圆柱形均匀玻璃棒，其一个端面是平面（垂直于轴线），另一个端面是球面，球心位于轴线上．现有一很细的光束沿平行于轴线方向且很靠近轴线人射．当光从平端面射人棒内时，光线从另一端面射出后与轴线的交点到球面的距离为a；当光线从球形端面射人棒内时，光线在棒内与轴线的交点到球面的距离为b．试近似地求出玻璃的折射率n。

15、（第23届全国中学生物理竞赛复赛）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为f1、f2和f3的透镜L1,L2,L3，

l O

C

A1 A2

? f1?f2?f3；观察屏P，它是一块带有刻度的玻

璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的

图（a）

分光元件（如图（a）所示），棱镜分别用折射率不

同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面．当有狭

缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。

已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm，称为D线）位于圆筒轴与观察屏相

交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率nD＝1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠D线的折射率n?D=1.7200。

1.试在图（b）中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。

2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角?的数值。

图（b）

16、（第22届全国中学生物理竞赛预赛题）内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R的黑球，距球心为2R处有一点光源S，球心O和光源S皆在圆筒轴线上，如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r最大为多少？

r S 2R O R

17、（第十九届全国中学生物理竞赛预赛）如图所示，三棱镜的顶角?为60?，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 f?30.0cm的两个完全相同的凸透镜L1和 L2．若在L1的前焦面上距主光轴下方

y?14.3cm处放一单色点光源

S，已知其像S?与S对该光学系

?S Ff ? y n L1

S?统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．

L218、（第十七届全国中学生

物理竞赛复赛）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯

A和包层B组成，B的折射率小于A的

折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，

图（a）

由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体F的折射率．实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中．令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心O，经端面折射进入光纤，在光纤中传播．由点O出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为?0，如图（a）所示．最后光从另一端面出射进入流体F．在距出射端面h1处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为d1，然后移动光屏D至距光纤出射端面h2处，再测出圆形光斑的直径d2，如图（b）所示． 1．若已知A和B的折射率分别为

图（b）

nA与nB，求被测流体F的折射率nF的表达式．

2．若nA、nB和?0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出nF的值?

19、（第十六届全国中学生物理竞赛预赛）一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上，如图（a）。

1. 用作图法画出物经镀银透镜所成的像，

并标明该像是虚、是实。

2. 用计算法求出此像的位置和大小。

20、(第十六届全国中学生物理竞赛复赛) 两个焦距分别是f1和f2的薄透镜L1和L2，相距为d，被共轴地安置在光具座上。

(1). 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？

(2). 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。

图（a）

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