平面向量数量积

平面向量数量积的 物理背景及其含义

教学目标：掌握平面向量数量积的概念， 掌握平面向量数量积的概念，能用它来 表示向量的模及向量的夹角

教学重点：平面向量数量积的运算律， 平面向量数量积的运算律，用它来表示向量的模及向量的夹角

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解， 平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用

如图所示：物体在力F的作用下由A移动到B 问力F 如图所示：物体在力F的作用下由A移动到B,问力F 所作的功？ 所作的功？ F θ S A B F

力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、 力与位移夹角的余弦这三者的乘积。

W= F S cosθ

已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos θ叫做 a b a b a与b的数量积，记作a ·b ,即 b a b a ·b= |a||b|cos θ b a b 其中θ是a与b的夹角， |a|cos θ( |b|cos θ )叫 a b a b 做向量a在b方向上( b 在 a方向上 )的投影。 a b ( A a O A1 b 几何意义：数量积a ·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 a b a a b a 投影|b|cos θ的乘积。 b B

注：1、两向量的数量积是一个数量，不是向量。 2、 a ·b不能写作ab a×b。 ab或a b ab 3、 θ的范围：[0,π]。 4、零向量与任一向量的数量积等于零。 5、数量积为正、负、零时θ的取值。

探 究向量a和b都是非零向量(a ·b= |a||b|cos θ) a b a b a b 思考：当θ=0, π/2, π时， a ·b= b 当a· b= a b=0, a· b= |a||b| , a· b= -|a||b| 时， θ= a b a b

结

论

b=0 1、a ⊥b〈=〉 a· b= b 2、 a ,b同向， a· b= |a||b| 同向， a b 3、 a ,b异向， a· b=-|a||b| 异向， b=- a b 4、 |a· b|≤ |a||b| a a b 5、 a· a= |a|2或|a|= (a· a)1/2 a a a

练 习：1、已知|a|=5,|b|=4, a与b的夹角θ=1200,求a· b a b b a b=-10, 2、已知|a|=5,|b|=4, a· b=-10,求a与b的夹角θ a b b

运算律:已知向量a、b、 c和实数λ,则： 、 、 1、 a· b= b · a; 2、( λ a ) · b= λ( a· b )= a · ( λ b) 3、( a+ b ) · c= a · c+ b · c

例1:证明 任意向量a,b, 1 、( a+ b ) 2= a 2 +2ab+ b 2 ( 2 、( a+ b ) ( a- b ) =a 2 - b 2 例2:已知|a|=6,|b|=4, a与b的夹角为600,求( a+ a b b ( 2b ) · ( a- 3b )。 b b 例3:已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线，k为何值时， a b 向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直？

练 习1、已知|a|=3,|b|=4,且a与b夹角为1500,求|a+b a a+b| b a+b 2、已知|a|=8,|b|=10,|a+b a a+b|=16,求a与b的夹角的正 b a+b 弦值。

小 结1、数量积的定义 2、数量积的相关结论 3、数量积的运算律 4、数量积的应用

作 业1、课本121页A组第3题 2、课本133页B组第1题(2

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