华东师大版八年级下册数学教案全册(带教学反思)

第16章 分式

§16.1.1 分式的概念

教学目标：

1、知识与技能：经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 的意义。

2、过程与方法：使学生能正确地判断一个代数式是否是分式，能通过回忆 分数的意义，类比地探索分式的意义。

3、情感态度与价值观：渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点：

探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点：

能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程：

一、做一做

（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括：

A形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A叫做分式的

B分子,B叫做分式的分母.

整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式.

三、例题：

例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

（1）

3x?y1x2xy； （2）； （3）； （4）.

3x2x?y解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）.

注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分

9S式中，a≠0；在分式中，m≠n. m?na例2 当x取什么值时，下列分式有意义？

1x?2（1）； （2）.

x－12x?3分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母x－1≠0，即x≠1.

1所以，当x≠1时，分式有意义.

x－13（2）分母2x?3≠0，即x≠-.

2x?23所以，当x≠-时，分式有意义.

22x?3四、练习：

- 0 -

P5习题17.1第3题（1）（3）

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, 7 , 9?y, m?4, 8y?3，1

x205y2x?9x?52x?533）?2x （x23?）4 x ?2 （1）（22. 当x取何值时，下列分式有意义？ 3. 当x为何值时，分式的值为0？

5x21?3x?7x（1）x （2）7 (3) x2?1x2?x五、小结：

什么是分式？什么是有理式？ 六、作业：

P5习题17.1第1、2题，第3题（2）（4） 七、教学反思：

通过分式概念的教学，让学生懂得了什么时分式，知道了分式与整式的区别，了解了分式成立的条件，为以后的学习打好了基础。

§16.1.2 分式的基本性质

教学目标：

1、知识与技能：掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约 分并了解最简分式的意义。

2、过程与方法：使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤。 3、情感态度与价值观：能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的性质， 渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点：

让学生知道约分、通分的依据和作用，学会分式约分与通分的方法。 教学难点：

1、分子、分母是多项式的分式约分； 2、几个分式最简公分母的确定。 教学过程：

一、分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是：

AA?MAA?M,? ? （ 其中M是不等于零的整式）。

BB?MBB?M与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分.

二、例3 约分

x2?4?16x2y3（1）； （2）2

x?4x?420xy4分析 分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母

的公因式.

- 1 -

x?2x2?44x(x?2)(x?2)?16x2y34xy3?4x解（1）＝－＝－. （2）＝＝.

x?2x2?4x?45y(x?2)24xy3?5y20xy4．．．．

约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式.

三、练习：P5 练习 第1题：约分（1）（3） 四、例4 通分 （1）

111111，； （2），； （3）， ab2a2bx?yx2?y2x?yx2?xy解 （1）

11与的最简公分母为a2b2，所以 22abab1?a11?bb1a＝＝， ＝＝.

ab2?aab2a2ba2b?ba2b2a2b2（2）

11与的最简公分母为（x-y）(x+y)，即x2－y2，所以 x?yx?y11（?x?y）1?(x?y)x?y1x?y＝＝2， ＝＝. 222x?y(x?y)(x?y)(x?y)(x?y)x?yx?yx?y请同学们根据这两小题的解法，完成第（3）小题。 五、练习P5 练习 第2题：通分

六、作业：

P5练习 1约分：第（2）（4）题，习题17.1第4题 七、课后反思：

（1）请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质； （2）分式的约分运算，用到了哪些知识？

让学生发表，互相补充，归结为：①因式分解；②分式基本性质；③分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“－”。

（3）把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

§16.2 分式的运算 §16.2.1 分式的乘除法

教学目标：

1、知识与技能：让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。

- 2 -

2、过程与方法：使学生理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用 乘方规律进行分式的乘方运算

3、情感态度与价值观：引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力

教学重点：

分式的乘除法、乘方运算 教学难点：

分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。 教学过程：

一、复习与情境导入

1、(1) ：什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？ (2)：下列各式是否正确？为什么？

2、尝试探究：计算：

59?、回忆：如何计算222610a2baa（1）3?； （2）3?.

53b2bb3a?？从中可以得到什么启64概括：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.（用式子表示如右图所示）

二、例题： 例1计算：

a2xya2yza2xay2（1）2?2； （2）22?22.

bzbxbybxa2xya2yza2xyb2x2x3a2xay2a2x?ay2a3解 （1）2?2=22=3. （2）22?22=22?2=3.

bzbxbzayzzbybxby?bxbx?2x2?9?2例2计算：. x?3x?4解 原式＝

x?3x?2(x?3)(x?3)?＝.

x?2x?3(x?2)(x?2)三、练习：P7 第1题

四、思考

怎样进行分式的乘方呢？试计算：

nn（1）（）3 （2）（）k （k是正整数）

mm

- 3 -

（1）（（2）（

n3nnn?n?n?n?＝________； ） =??＝

mmmm?m?m?m?nknnn?n?n???n?＝___________. ） =????＝mm??m??m?m?m???m????k个仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则.

五、作业：

P9习题19.2第1题 P7练习：第2题：计算 六、课后反思：

1、怎样进行分式的乘除法？ 2、怎样进行分式的乘方？

3、分式的乘除法是基本计算，学生务必重点掌握，为以后的学习打好基础。

§16.2.2 分式的加减法

教学目标：

1、知识与技能：使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同 分母，异分母分式的加减运算。

2、过程与方法：通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运 算、多项式去括号法则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。

3、情感态度与价值观：渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。 教学重点：

让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。 教学难点：

分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。 教学过程：

一、实践与探索

1、回忆：同分母的分数的加减法法则：

同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减。 2、试一试： 12?、回忆：如何计算b2235??计算：（1）；（2）2 5aaaab11

?， 3、总结一下怎样进行分式的加减法？

46概括：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 二、例题

(x?y)2(x?y)21、例3计算： ?xyxy

- 4 -

324?22、例4 计算：. x?4x?16．．

分析 这里两个加项的分母不同，要先通分.为此，先找出它们的最简公分母. 注意到x2?16=(x?4)(x?4),所以最简公分母是(x?4)(x?4)

324?2解 x?4x?16＝

3243(x?4)243(x?4)?24＝＝ ??x?4(x?4)(x?4)(x?4)(x?4)(x?4)(x?4)(x?4)(x?4)33x?123(x?4)＝＝

x?4(x?4)(x?4)(x?4)(x?4)＝

三、练习：P9第1题（1）（3）、第2题（1）（3）

四、作业：

P9习题17.2第2、3、4题 五、课后反思：

1、同分母分式的加减法：类似于同分母的分数的加减法； 2、异分母分式的加减法步骤：

①. 正确地找出各分式的最简公分母。

求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。

②. 准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。 ③. 用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。 ④. 公分母保持积的形式，将各分子展开。 ⑤. 将得到的结果化成最简分式（整式）。

§16.3 可化为一元一次方程的分式方程(1)

教学目标：

1、知识与技能：使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元 一次方程的分式方程.

2、过程与方法：使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分 式方程须验根并掌握验根的方法.

3、情感态度与价值观：使学生领会“ 转化”的思想方法，认识到解分式方

程的关键在于将它转化为整式方程来解；培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。 教学重点：

使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程. 教学难点：

- 5 -

使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根

并掌握验根的方法. 教学过程：

一、问题情境导入

轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.

分 析：

设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得

8060?. （1） x?3x?3概 括：

方程(1)中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 思 考：

怎样解分式方程呢？有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？试动手解一解方程（1）.

方程（1）可以解答如下：

方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，得

80（x-3）=60(x+3).

解这个整式方程，得

x=21.

所以轮船在静水中的速度为21千米/时. 概 括：

上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.

二、例题：

12?21、例1 解方程：. x?1x?1解 方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得

x+1=2.

解这个整式方程，得

x=1.

解到这儿，我们能不能说x=1就是原分式方程的解（或根）呢？细心的同学可能会发现，

2

当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.

我们看到，在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.

10030?2、例2 解方程：. xx?7解 方程两边同乘以x(x-7)，约去分母，得

100（x-7）=30x.

解这个整式方程，得

x=10.

检验：把x=10代入x(x-7)，得

10×（10-7）≠0

所以，x=10是原方程的解.

- 6 -

三、练习：P14第1题 四、作业：

P14 习题17.3第1题（1）（2）、第2题 五、课后反思：

⑴、什么是分式方程？举例说明；

⑵、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．

⑶、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？

§16.3 可化为一元一次方程的分式方程(2)

教学目标：

1、知识与技能：进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。 2、过程与方法：通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识。

3、情感态度与价值观：使学生领会“ 转化”的思想方法，认识到解分式方

程的关键在于将它转化为整式方程来解；培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。 教学重点：

让学生学习审明题意设未知数，列分式方程 教学难点：

在不同的实际问题中，设元列分式方程 教学过程：

一、复习并问题导入 1、复习练习

3?x4?x237??2 （2）??解下列方程：（1） x?1x?1x?322x?62、列方程解应用题的一般步骤？

[概括]：这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。这节课，我们将学习

列分式方程解应用题。

二、实践与探索：列分式方程解应用题

例3某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？

解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得

26402640?2?60. ＝

2xx解得 x＝11.

经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.

- 7 -

答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩. 强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意； 三、练习： P14 第2、3题 四、作业：

P14 习题17.3第1题（3）（4），第3题 五、教学反思：

列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；

（2）设未知数（要有单位）；

（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； （5）写出答案（要有单位）。

§16.4零指数幂与负整指数幂 §16.4.1零指数幂与负整指数幂

教学目标：

1、知识与技能：使学生掌握不等于零的零次幂的意义。

12、过程与方法：使学生掌握a?n?n（a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算。

a3、情感态度与价值观：通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。

教学重点、难点：

不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。

教学过程：

一、复习并问题导入

问题1 在§13.1中介绍同底数幂的除法公式am?an?am?n时，有一个附加

条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m = n或m＜n时，情况怎样呢？

二、探索1：不等于零的零次幂的意义

先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式：

52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).

一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

52÷52＝52-2＝50，103÷103＝103-3＝100，a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).

另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1. [概 括]:

由此启发，我们规定：50=1，100=1，a0=1（a≠0）. 零的零次幂这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1. 没有意义！ 三、探索2：负指数幂

我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：

- 8 -

52÷55， 103÷107，

一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4. 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为

11525210310337

5÷5＝5＝23＝3 10÷10＝7＝3＝

10455?51010?10452

5

[概 括]：

由此启发，我们规定： 5-3＝一般地，我们规定：a?n?11-4

， 10＝.

104531 (a≠0，n是正整数) na这就是说，任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数. 四、例题：

?1?1、例1计算：（1）3； （2）???10?1

?3?-2

02、例2 用小数表示下列各数：

（1）10-4； （2）2.1×10-5.

1解（1）10-4＝4＝0.0001.

101（2）2.1×10-5＝2.1×5＝2.1×0.00001＝0.000021.

10五、练习：P18 练习：1 六、探 索

现在，我们已经引进了零指数幂和负整指数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那么，在§13.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断下列式子是否成立.

（1）a2?a?3?a2?(?3)； （2）(a·b)-3=a-3b-3； （3）(a-3)2=a(-3)×2 (4) a2?a?3?a2?(?3)

七、作业：P18 习题17.4第1题，练习第2题。 八、课后反思：

1、引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质 仍然成立。

同底数幂的除法公式am÷an=am-n (a≠0,m>n)当m = n时，am÷an = ；当m < n 时，am÷an = 。

2、任何数的零次幂都等于1吗？(注意：零的零次幂无意义。)

13、规定a?n?n其中a、n有没有限制，如何限制。

a

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