2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0} B．{1} C．{1，2}

D．{0，1，2}

【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}， ∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选：C． 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ） A．﹣3﹣i

B．﹣3+i

C．3﹣i D．3+i

【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．故选：D．

3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．

故选：A．

4．（5分）若sinα=，则cos2α=（ ） A．

B．

C．﹣ D．﹣

【解答】解：∵sinα=，

∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．

5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（ ） A．10

B．20

C．40

D．80

【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为： Tr+1=

（x2）5r（）r=

﹣

，

由10﹣3r=4，解得r=2，

∴（x2+）5的展开式中x4的系数为

=40．故选：C．

6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ） A．[2，6]

B．[4，8]

C．[

，3

]

D．[2

，3

]

【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=

=2

，

，

），

∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+∴点P到直线x+y+2=0的距离：

d==，

∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，

∴△ABP面积的取值范围是： [

，

]=[2，6]．故选：A．

7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B． 函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1）， 由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0， 得x＜﹣

或0＜x＜

，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0， 得x＞

或﹣

＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，故选：D．

8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（ ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p）， P（x=4）＜P（X=6），可得

，可得1﹣2p＜0．即p

．

因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．故选：B． 9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为A．

B．

C．

D．

，则C=（ ）

【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． △ABC的面积为∴S△ABC=∴sinC=

∵0＜C＜π，∴C=

==cosC， ．故选：C．

，

，

，

10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ） A．12

B．18

C．24

D．54

，可得

，解得AB=6，

【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9

球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： O′C=

=

，OO′=

=2，

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6， 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：

=18

．故选：B．

11．（5分）设F1，F2是双曲线C：

﹣

=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C|OP|，则C的离心率为（ ）

的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=A．

B．2

C．

D．﹣

【解答】解：双曲线C：=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，

∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，

∴|OP|=∵|PF1|=∴|PF1|=

|OP|， a，

=

=a，cos∠PF2O=，

在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|COS∠PF2O， ∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2）， 即3a2=c2， 即

a=c，

，故选：C．

∴e==

12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（ ） A．a+b＜ab＜0

B．ab＜a+b＜0

C．a+b＜0＜ab ，b=log20.3=

D．ab＜0＜a+b ，

【解答】解：∵a=log0.20.3=

∴=，

，

∵

，

，

∴ab＜a+b＜0．故选：B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ= 【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2）， ∴

=（4，2），

．

∵=（1，λ），∥（2+）， ∴

，

解得λ=．故答案为：．

14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ﹣3 ． 【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex， 曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．

15．（5分）函数f（x）=cos（3x+【解答】解：∵f（x）=cos（3x+∴3x+∴x=

=

+kπ，k∈Z，

）在[0，π]的零点个数为 3 ． ）=0，

+kπ，k∈Z，

，

当k=0时，x=

当k=1时，x=π， 当k=2时，x=π， 当k=3时，x=∵x∈[0，π]， ∴x=

，或x=π，或x=π，

π，

故零点的个数为3，故答案为：3

16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= 2 ．

【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0）， ∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1）， 联立

可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x2=

，x1x2=1，

∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4， ∵M（﹣1，1）， ∴

=（x1+1，y1﹣1），

?

=（x2+1，y2﹣1）， =0

∵∠AMB=90°，∴

∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0， 整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0， ∴1+2+

﹣4﹣+2=0，

即k2﹣4k+4=0，∴k=2．故答案为：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m． 【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． ∴1×q4=4×（1×q2）， 解得q=±2， 当q=2时，an=2n1，

﹣

当q=﹣2时，an=（﹣2）n1，

﹣

∴{an}的通项公式为，an=2n1，或an=（﹣2）n1．

﹣

﹣

（2）记Sn为{an}的前n项和． 当a1=1，q=﹣2时，Sn=由Sm=63，得Sm=

=

=

，

=63，m∈N，无解；

当a1=1，q=2时，Sn==

=2n﹣1，

由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式 第二种生产方式 超过m 不超过m

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2=

P（K2≥k） k ， 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，

第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=由此填写列联表如下；

第一种生产方式 第二种生产方式 总计 超过m 15 5 20 不超过m 5 15 20 总计 20 20 40 =80；

（3）根据（2）中的列联表，计算 K2=

=

=10＞6.635，

∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．

19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC， ∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC， ∵AD∩DM=D， ∴MC⊥平面ADM， ∵MC?平面MBC， ∴平面AMD⊥平面BMC． （2）∵△ABC的面积为定值，

所在平面垂直，

所在平面垂直，M是

上异于C，D

∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大， 此时M为圆弧的中点，

建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 ∵正方形ABCD的边长为2，

∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1）， 则平面MCD的法向量=（1，0，0）， 设平面MAB的法向量为=（x，y，z） 则由?

=（0，2，0），=2y=0，?

=（﹣2，1，1）， =﹣2x+y+z=0，

令x=1，

则y=0，z=2，即=（1，0，2）， 则cos＜，＞=

=

=

，

则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα==．

20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：（m＞0）．

（1）证明：k＜﹣；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且数列的公差．

【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵线段AB的中点为M（1，m）， ∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将A，B代入椭圆C：

+

=1中，可得

+

+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）

+=．证明：||，||，||成等差数列，并求该

，

两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，

∴k==﹣=﹣

点M（1，m）在椭圆内，即解得0＜m∴

．

，

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）， 可得x1+x2=2， ∵

+

+

=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，

∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m

∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1

由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=． 则|FA|+|FB|=4﹣

，∴|FA|+|FB|=2|FP|，

联立

，可得|x1﹣x2|=

所以该数列的公差d满足2d=∴该数列的公差为±

．

|x1﹣x2|=，

21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．

（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0； （2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．

【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．

，

，

可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0 ∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增， ∴f′（x）≥f′（0）=0，

∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0． ∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0． （2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得

f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，

令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1）， h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．

当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， ∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意． 当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+显然h″（x）单调递减， ①令h″（0）=0，解得a=﹣．

∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0， ∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， ∴h′（x）≤h′（0）=0，

∴h（x）单调递减，又h（0）=0，

∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0， 当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， ∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意； ②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e

﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e

）＜0，

，

∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0， ∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增， ∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意； ③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（

﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，

∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1， ∴当x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减， ∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增， ∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，

∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意． 综上，a=﹣．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ii47.html