2012数学分析第三学期期末总复习题

数学分析（Ⅲ）期末总复习题

一、填空题

1、抛物面z?2x2?3y2在点 处的切平面平行于平面4x?6y?z?1?0。[答案：(1,1,5)] 2、设f(x,y,z)?x?y2?z3，则f在点P0(1,1,1)沿方向l:(2,?2,1)的方向导数为 。[答案：

1] 33、函数f(x,y,z)?xy2?yz3在点P0(2,?1,1)处的梯度为 [答案：(1,?3,?3)] 4、已知方程e?xy?2z?ez?0确定隐函数z?z(x,y)，则

?z?z? ，? 。 ?x?yye?xyxe?xy[答案：z，]

e?2ez?24、设S是平面x?y?z?1与三个坐标面所围成的四面体的全表面外侧，则曲面积分

1222(2x?yz)dydz?(y?zx)dzdx?(z?xy)dxdy? 。[答案：] ??3S5、设曲线细棒L:x?1,y?t,z?[答案：(22?1)] 6、设曲线积分

12t(0?t?1)的线密度为??2z，则其质量为 。 213?Lxy2dx?yf(x)dy与路径无关，其中f(x)具有连续导数，且f(0)?0，则

f(x)? 。[答案：x2]

7、设L是圆周x?y?2的正向，则8、若积分

二、单项选择题

22?Lxy2dx?(x2y?2x)dy? 。

???1xp1dx收敛，则p 。

xsiny21、二重极限lim? 。 [ B ]

(x,y)?(0,0)x2?y2

1

（A）不存在。 （B） 0。 （C） 1。 （D） 2。

2、若函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数存在，则在该点处f(x,y) [ D ]

（A）极限存在。 （B）连续。 （C）可微。 （D）（A）、（B）和（C）都不对。

3、函数f(x,y)在(x0,y0)存在二重极限是f(x,y)在(x0,y0)处存在累次极限的 ．[答案：D] （A）必要条件； （B）充分条件；

（C）充分必要条件； （D）既不是充分条件也不是必要条件。

4、函数f(x,y)在(x0,y0)处可微是f(x,y)在(x0,y0)处存在偏导数的 ．[答案：B] （A）必要条件； （B）充分条件；

（C）充分必要条件； （D）既不是充分条件也不是必要条件。

5、已知 (sinx?ay)dx?xdy 为某函数的全微分，则a等于 [答案：C ]

（A）-1； （B） 0； （C） 1； （D） 2。

6、笛卡尔线2(x3?y3)?9xy在点(2,1)处的 ．[答案：B]

（A）切线方程为4x?5y?13?0； （B）法线方程为4x?5y?13?0； （C）切线方程为4x?5y?13?0； （D）法线方程为4x?5y?13?0。

?7、累次积分

1?20d??0cos?f(rcos?,rsin?)rdr可以写成 [ 答案：D ]

11?y2 （A） （C）

?0dy?011y?y2f(x,y)dx （B）?0dy?01f(x,y)dx

?0dx?0f(x,y)dy。 （D）?0dx?0x?x2f(x,y)dy。

8、设L是有界闭区域D的边界曲线的正向，F(x,y),G(x,y)都在D上连续且有连续偏导数，则 ．[答案：B] （A）

??(D?F?G?F?G?)dxdy??Fdx?Gdy； （B）??(?)dxdy??Gdx?Fdy； ?x?y?x?yLDL （C）

??(D?G?F?F?G?)dxdy??Gdx?Fdy； （D）??(?)dxdy??Gdx?Fdy。 ?x?y?x?yLDL9、设f(t)为连续函数，则重积分

|x|?|y|?1??f(x?y)dxdy可化为单积分 。[答案：A]

111f(t)dt； （D）??f(t)dt。 ??1?12 （A）

?1?1f(t)dt； （B）2?1?1f(t)dt； （C）

2

三、计算题

?2z1、设z?f(x?y,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求

?x?y解

?z?f1?yf2 （3分） ?x?2z ?(f11?f12)?f2?y(f21?f22)?f11?(x?y)f12?xyf22?f2 （8分） ?x?y2、 3、计算

??y?xD3dxdy，其中D?{(x,y):0?x?1,0?y?1}。

解 如图所示：当(x,y)?D1,y?x3;当(x,y)?D2,y?x3. 所以,

333??y?xd????(y?x)d????(x?y)d? (3分) DD13D2 ?4、计算

?10dx?3(y?x)dy??dx?(x3?y)dy?x0011x311 (8分) 2822，其中S为立体x2?y2?z?1的边界曲面。 (x?y)dS??S解

22222222(x?y)ds?(x?y)dxdy?(x?y)1?z?zxydxdy （2分） ??????SDDzx?xx2?y2,zy?yx2?y222,1?zx?zy?2 （4分）

22222222(x?y)ds?(x?y)dxdy?(x?y)1?z?zxydxdy ??????SDD?(1?2)??(x2?y2)dxdy?(1?2)?d??r3dr?D002?11?2? （8分） 2

5、验证曲线积分

?(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy

L与路线无关，并求被积表达式的原函数。

解 令P?2xcosy?y2sinx,Q?2ycosx?x2siny，则

3

?P?Q??2xsiny?2ysinx,??2ysinx?2xsiny ?y?x从而，

?P?Q，故积分与路径无关， （4分） ??y?x22(2xcosy?ysinx)dx?(2ycosx?xsiny)dy ?Lxy

??2xdx??(2ycosx?x2siny)dy?y2cosx?x2cosy （8分）

00

6、计算曲线积分

?Lxydx?(x?y)dy?x2dz，其中L是螺旋线：x?acost,y?asint,z?bt

t?0到t?? 的一段．

7、计算曲线积分逆时钟方向． 8、计算Iyy?Lx?1dx?(ln(x?1)?4x?e)dy，其中L是曲线：x?y?1，方向是

?22222，其中S是由球面x?y?z?R的外侧。 xdydz?zdxdy??S解 由Gauss公式，得

I?2xdydz?zdxdy????(1?2z)dxdydz ??SV ?R?R?R(1?2z)dz2x?y2?R?z2??dxdy??(1?2z)??(R?z2)dz

?RR2 ?2??(R?z)dz?04?3R 39、计算

dz??2xzdy?Syz?d2zdx，z其d中xSy是d由曲面

z?x2?y2与

z?2?x2?y2所围立体表面的外侧。

四、应用题

1．要设计一个容量为V的长方体开口水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？

4

解 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z，其表面积为S，则 S?S(x,y,z)?xy?2(zx?yz)

依题意，约束条件为：xyz?V和x?0,y?0,z?0。这时所求问题的Lagrange函数是 L(x,y,z,?)?xy?2(zx?yz)??(xyz?V) 对L求偏导数并令它们都等于0：

Lx?y?2z??yz?0； Ly?x?2z??xz?0 Lz?2(x?y)??xy?0 L??xyz?V?0 解由以上四个方程构成的方程组，得 x?y?2z?32V，???4 32V根据问题的实际意义，水箱的表面积的最小值必在其唯一稳定点处达到，当高为323V，长与宽为4高的2倍时，表面积最小，最小值为3(2V)。 五、证明题

xy?,?1．证明函数f(x,y)??x2?y2?0,?

xyx2?y2?0x?y?0在原点处存在偏导数但不可微．

2．证明曲面z?xe 的每一切平面都通过原点．

3．求证：球面的每个切平面垂直于过切点的半径．

4．证明(x?2xy?y)dx?(x?2xy?y)dy 是某一函数的全微分，并求原函数．

5．设D是圆盘：(x?1)?(y?1)?1，L为其正向边界，证明： （1）

222222??Lxy2dy?xy2dy?ydx?x2?L?x2ydx?xdy； y2（2）

Lydx?2?。 x25

证 （1）由Green公式，知

?lxy2dy?y1x1222，dx?(y?)dxdy?xydx?dy?(x?)dxdy 2222?????lxxyyDD根据积分区域D的对称性，可知

2(y???D112)dxdy?(x?)dxdy 22??xyD故（1）得证。 （2）由（1）知

?lxy2dy?y1111222dx?(y?)dxdy?[(y?)?(x?)dxdy]?2? 2222????xx2DxyD 6

证 （1）由Green公式，知

?lxy2dy?y1x1222，dx?(y?)dxdy?xydx?dy?(x?)dxdy 2222?????lxxyyDD根据积分区域D的对称性，可知

2(y???D112)dxdy?(x?)dxdy 22??xyD故（1）得证。 （2）由（1）知

?lxy2dy?y1111222dx?(y?)dxdy?[(y?)?(x?)dxdy]?2? 2222????xx2DxyD 6

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