椭圆及其标准方程教案1

椭圆及其标准方程

第一课时

教学设计

数学与统计学院2010级 杨双喜

一、教材分析

《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后，运用“曲线和方程”工具解决二次曲线的又一个实例，从知识上讲，它是对前面所学运用坐标法研究曲线几何性质的一次演练，同时又是进一步研究椭圆几何性质的基础，从方法上讲，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。从教材的编排上，椭圆的重要性犹为突出，有承上启下的作用，是本节、本章的重点。 二、学情分析

学习本节之前，学生已经学过直线和圆的方程，对直线和圆的方程的知识有了一定的了解和运用的经验，对用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，在老师的合理引导下，学生有独立研究有关点的轨迹问题和基础知识的能力，但学生学习解析几何的时间不长，程度也较浅，研究中可能遇到一些困难。另外学生的运算能力不够强，对有两个根号式子的化简较陌生，是学生学习的一个难点，需老师合理引导，学生加强合作。

三．教学目标： 1．知识与技能目标： ①理解椭圆的定义

②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力

2．过程与方法目标：

①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力

②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程

③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识

3．情感态度价值观目标：

①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识 ②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣

③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风 ④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美

⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心

四．教学过程

3、思考(给学生足够得时间):

在概念的理解上，先

改变细绳两端的距离，使其与绳长相等 突出“和”, 在此基础上 及小于绳长，画出的图形还是椭圆吗？ 再完善“常数”取值范 还能画出图形吗？讨论得三个结论：| MF1 | + | MF2 |> | F1F2 |

围. 在变化的过程中 建立起用联系与发展 的观点看问题。

椭圆 线段 不存在

形成概念

| MF1 | + | MF2 |= | F1 F2 | | MF1 | + | MF2 |< | F1F2 |

4、归纳： 深化概念

准确理解椭圆的定

学生尝试归纳椭圆的定义，教师多媒体 义，深化概念: 演示 5、联系生活： 1、平面内. 2 若

情境 1、生活中,你见过哪些类似椭圆的 | PF1 | + | PF2 |>| F1 F2 | ,则 图形或物体? 情境 2、让学生观察倾斜的圆柱形水杯 的水面边界线， 并从中抽象出数学模型. (教师用多媒体演示) 情境 3、观看天体运行的轨道图片. 渗透数学源于生活,圆 锥曲线在生产和技术 中有着广泛的应用. 点 P 的轨迹为椭圆.

1、回顾：求曲线方程的一般步骤：建 系、设点、列式、化简. 推导 回顾求曲线方程的基

2、提问：如何建系，使求出的方程最 本步骤;加强知识的贯 简？ 穿

方程

由各小组讨论，请小组代表汇报研讨结 果. 选定一种方案： 以 F1 , F2 所在直线为 x 轴，以线段 F1 F2 的 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系。

3、活动过程: 点拨----- 板演 ----- 点 通过设问、点拨“怎么 评 化简带根式的式子”突

请学生按设点、列式、化简的步骤推 破难点 导方程 推导 A、 请一位基础较好， 书写规范的同学 板演 方程 培养学生战胜困难的

B、 教师在巡视过程中及时发现问题给 意志品质并感受数学 予点拨 的简洁美、对称美.相

C、 针对学生对含有两个根式方程的化 应的结合定义及图形 简能力薄弱给予点拨 D、 点评板演， 强调对含有两个根式方 程的化简 4、得椭圆的标准方程，讨论：以 F1 , F2 养成学生扎实严谨的 所在直线为 y 轴，以线段 F1 F2 的垂直 科学态度. 平分线为 x 轴，建立直角坐标系，得 椭圆的标准方程如何？x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2 y2 x2 + = 1(a > b > 0) a2 b2

理解 a, b, c !

焦点位置的判断 焦点位置的判断

y2 例 1、(1) 椭圆 x + = 1 的焦点坐标 42

应用

为？x2 y2 (2) 椭圆 + = 1 的焦距为 4, 求 9 m

明确椭圆两种标准方 程的形式及特

征：焦

m

点位置决定标准方程 的形式！

举例

的值 活动过程：(生)思考 -----(生)解 答 ----- (师)点评 练习：方程x2 y2 + = 1 表示焦点在 x 轴 a 3

上的椭圆，则 a 的取值范围为？

例 2 、 已 知 椭 圆 焦 点 的 坐 标 分 别 是 运用椭圆的定义,掌 (-4,0)、 (4,0), 椭圆上一点 P 到两 握椭圆的标准方程. 焦点的距离的和等于 10,求椭圆 的标准方程 应用 活动过程：(生)思考 ----- (师)解 答 ----- (生)点评 掌握求椭圆的标准

变式(1):已知椭圆焦点的坐标分别 方程的两种方法： 是(-4,0)(4,0),且经过点 2, 举例 4 5 , 5

求椭 (1)定义法 (2)待定系数法.

圆的标准方程 活动过程：(生)思考 -----(生)解 答-----(师) 点评 变式(2):已知中心在原点，焦点在 坐标轴上，且过点 1, 3 7 3 、 , 2 4 , 2

(1)分类讨论 (2) mx 2 + ny 2 = 1

(m, n ∈ R用的简洁！

+

,m ≠ n

)

求椭圆的标准方程。 (简单解释椭圆中 学生体会到灵活应 心概念) 活动过程：(生)思考 -----(生)板 变式 演 (对比) ----- (师)点评；给足时间！ 定义的简单应用； 巩 例 3、已知经过椭圆x2 y2 固 + = 1 的右焦 25 16

巩固

点 F2 作垂直于 x 轴的直线 AB ,交椭圆

辨析概念

于 A, B 两点， 1 是椭圆的左焦点。 (1) 求 F (2) 如果 AB 不垂直于 x AF1 B 的周长； 轴， AF1 B 的周长有变化吗？为什么？ 活动过程：(生)讨论，解答----(师) 点评

五、评价设计

1、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，充分利用教具演示，并运用“实验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理。我认为这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。

2、在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物

和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。

3、在创设情境、推导椭圆的标准方程的过程中，培养学生的实验、归纳能力，在辨析几种建系方法所得到方程的繁简，比较两个标准方程的特点过程中培养学生的分析、判别能力，在运用标准方程中，培养学生解决实际问题的能力；另外，通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习双曲线和抛物线作好辅垫。

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