二次函数与等腰三角形、直角三角形的综合

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二次函数的综合应用㈠

一、典例精析

考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线y?12x?x?c与x轴有交点． 2(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c＜0 解得c＞

1 211 ∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1 221∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限

2(2)∵c＞

2.(2011南京)已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 解：⑴当x=0时，y?1．

2所以不论m为何值，函数y?mx?6x?1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）．

2

⑵①当m?0时，函数y??6x?1的图象与x轴只有一个交点；

②当m?0时，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2?6x?1?0有两个相等的实数根，所以(?6)?4m?0，m?9．

2综上，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题

223、如图，二次函数y??12x?bx?c的图像经过点A?4,0?,B??4,?4?，且与y轴交于点C. 4（1）试求此二次函数的解析式；

（2）试证明：?BAO??CAO（其中O是原点）；

（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图像及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使PH?2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵点A?4,0?与B??4,?4?在二次函数图像上，

1??0??4?4b?c?b?∴?，解得?2， ??4??4?4b?c??c?2∴二次函数解析式为y??121x?x?2. 42（2）过B作BD?x轴于点D，由（1）得C?0,2?， 则在Rt?AOC中，tan?CAO?CO21??， AO42精品资料 欢迎下载

BD41??， ∵tan?CAO?tan?BAD，∴?CAO??BAO. AD821（3）由A?4,0?与B??4,?4?，可得直线AB的解析式为y?x?2，

2又在Rt?ABD中，tan?BAD?设P?x,??111???x?2?,??4?x?4?，则Q?x,?x2?x?2?， 242???1111111x?2?2?x,QH??x2?x?2.∴2?x?2?x2?x?2. 2242242∴PH?当2?5?11?，∴P??1,??. x??x2?x?4，解得 x1??1,x2?4（舍去）

2?22?7?11?，∴P??3,??. x?x2?x?4，解得 x1??3,x2?4（舍去）

2?22???5??7?与?3,????. 2??2?当2?综上所述，存在满足条件的点，它们是??1,?4.（2011安顺）如图，抛物线y=

12

x+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． 2⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 解：（1）b =?313325 解析式y=x2-x-2. 顶点D (, -).

22228（2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。

∴B (4,0) ∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. △ABC是直角三角形.

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴

m2OMOC?24 ∴，∴m =． ??325EMED41?m28解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n ,

?n?24141?则?325，解得n = 2, k?? .∴y??x?2 .

k?n??1212?8?2∴当y = 0时， ?412424 . ∴m?. x?2?0， x?12414125、（09江津）如图，抛物线y??x?bx?c与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，

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（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代y??x?bx?c中得

C2??1?b?c＝0?b??2 ∴ ???9?3b?c?0c?3??∴抛物线解析式为：y??x?2x?3

(2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x??1对称 ∴直线BC与x??1的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小

22BA ∵y??x?2x?3 ∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为：y?x?3 Q点坐标即为?（3）答：存在

2?x??1的解

?y?x?3理由如下：

∴??x??1 ∴Q(－1，2)

?y?2?x?2x?3) (?3?x?0) 设P点(x，∵S?BPC?S四边形BPCO?S?BOC?S四边形BPCO?若S四边形BPCO有最大值，则S?BPC就最大， ∴S四边形BPCO＝SRt?BPE?S直角梯形PEOC

9 2

11BE?PE?OE(PE?OC) 221133927＝(x?3)(?x2?2x?3)?(?x)(?x2?2x?3?3)＝?(x?)2?? 2222283927 当x??时，S四边形BPCO最大值＝?

228927927 ∴S?BPC最大＝? ??2828315 当x??时，?x2?2x?3?

24315 ∴点P坐标为(?， )

24?6．（2010常德）如图，已知抛物线y?12与y轴交于C点． x?bx?c与x轴交于A (－4,0) 和B(1,0)两点，

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（1）求此抛物线的解析式；

（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时， 求E点的坐标;

（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么

位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．

y

123 x?x?2．

22BF1BF1（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴ ?,?. A

CF2BC3 ∵EF//AC, ∴?BEF??BAC, ?BFE??BCA,△BEF～△BAC,

52BEBF1∴ ??,得BE?, E点的坐标为(?,0).

33BABC331?1? （3）AC的解析式为y?－x?2．若设P点的坐标为?a,a2?a?2?，

22?2?解：（1）故所求二次函数的解析式为y?B

O

C

x

又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，则Q点的坐标为（a,?a?2)．则有：

PQ?[?(a2?a?2)]?(?a?2)＝?a2?2a＝?12131112?a?2??2

22222即当a??2时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（－2，－3）

考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形

7.（2011湘潭）如图，直线y?3x?3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）∴抛物线的解析式为：y=-x+2x+3．

（2）∵y=-x+2x+3= ?(x?1)?4，∴该抛物线的对称轴为x=1．

2

2

y 2B 设Q点坐标为（1，m），则AQ?又AB?10. 24?m2,BQ?1?(3?m)2，

A O C x 当AB=AQ时， 4?m?10，解得：m??6， ∴Q点坐标为（1，6）或（1，?6）；

当AB=BQ时，10?1?(3?m)2，解得：m1?0,m2?6， ∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；

当AQ=BQ时，4?m2?1?(3?m)2，解得：m?1， ∴Q点坐标为（1，1）．

∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，6）、（1，?6）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．

8．（2010鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．

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（1）求点C的坐标．

（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．

（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值． （4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标． 解：（1）点C的坐标是（4，0）； （2）y= ?123x+x+2．

22（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．

以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．

①若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=25，∴t=5．

②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=254540?105t，∴t?25?t，解得t=． 551125PC， 5③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE=∴

325?40125t=（25-t），解得t=．

5112（4）当CQ=PC时，由（3）知t=5，∴点P的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：y=

因而有

1x， 2113x =?x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±5， 2221?51?5）和（1-5，）． 22∴直线OP与抛物线的交点坐标为（1+5，

9、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

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（1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），

∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5）， ∴ ﹣

，解得：b=﹣2，c=﹣3；

（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5）， ∴直线AB的解析式为：y=x+1，∵二次函数y=x2﹣2x﹣3， ∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3）， ∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+∴当t=时，EF的最大值为

， ，∴点E的坐标为（，）； （3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（，﹣），点D的坐标为（1，﹣4）

S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=②如图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3） 则有：m2﹣2m﹣2=，解得：m1=∴P1（

； ﹣ ，m2=， ﹣

，），P2（，），

，

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）则有：n2﹣2n﹣2=﹣解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），∴P3（，综上所述：所有点P的坐标：P1（

）， ﹣

，），P2（，），P3（，） 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形． 二、能力提升

1．（09深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.

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（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由. 解：⑴ B（1，3）

33223，因此y?x?x 333⑶如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.

⑵设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ，得a?3）?3k???k?b?3,??3设直线AB为y=kx+b.所以?， 解得??2k?b?0.?23??b??3?y B 因此直线AB为y?3233，当x=－1时，y?， x?333A C O 因此点C的坐标为（－1，3）.

⑷如图，过P作y轴的平行线交AB于D. 1S?PAB?S?PAD?S?PBD?(yD?yP)(xB?xA)21??323??3223?????x???3????3x?3x????32?3???????

323??x?x?3223?1?93???x???2?2?82x y B D A P O x 当x=－

?13?931?,?时，△PAB的面积的最大值为，此时P???2?. 482??2、（2011菏泽）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

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（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值． 解：（1）把点A（﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=x2+bx﹣2， 整理后解得

﹣

，

所以抛物线的解析式为 顶点D（

﹣ ﹣ ．（2分）

，）；（3分）

（2）AB=5．AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20， ∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形．（6分）

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2．连接C′D交x轴于点M， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小． 设抛物线的对称轴交x轴于点E， △C′OM∽△DEM．

， ∴ ， ﹣

∴∴m=

．（10分） 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形．

3.（2010孝感）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.

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（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）； （2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；

（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°. 由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.在Rt△ABF中，BF=2

2

2

2

AF2?AB2?102?82?6.∴FC=4.

在Rt△ECF中，4+（8-x）=x，解得x=5.∴CE=8-x=3.∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）. （2）分三种情形讨论：

若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6. 若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.

若AO=OF，在Rt△AOB中，AO=OB+AB=m+64， ∴（m+6）= m+64，解得m=综合得m=6或4或

2

2

2

2

2

2

7. 37. 3（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).

1?2??a?,?a(m?m?6)?h?8依题意，得?，解得?4 2???a(m?10?m?6)?h?3?h??1.∴M（m+6，﹣1）.设对称轴交AD于G. ∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9. ∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°， ∴∠OAB=∠MAG. 又∵∠ABO=∠MGA=90°， ∴△AOB∽△AMG. ∴

9

4．（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－，0)，点C(0，3)，点B是x轴上一

4点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C． ．．．．（1）求∠ACB的度数；

（2）已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；

OBABm8，即?. ∴m=12. ?MGAG96精品资料 欢迎下载

若不存在，请说明理由．

解： (1) ∵以AB为直径的圆恰好经过．．．．

点C ∴∠ACB=900 (2) ∵△AOC∽△ABC ∴OC2?AO?OB

∵A(－9

4，0)，点C(0，3)，∴AO?94 OC?3

∴32?94OB ∴ OB?4 ∴B(4,0) 把 A、B、C三点坐标代入得 y??13x2?712x?3

(3)

1）OD=OB , D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB,垂足是H DH=

12OC OH?12OB ∴D(2,32) 2) BD=BO 过D作DG⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG=45 DG=35 ∴D(435,5)

则H 是OB 中点。DG:OC=1:5

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