86届 普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

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微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

一．（本题满分30分）

（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ B ）

（A ）)4sin 4(cos

2π-πi （B ）)4

sin 4(cos 2π+πi （C ）)4cos 4(sin 2π-πi （D ）)4cos 4(sin 2π-π-i （2）函数1)2.0(+=-x y 的反函数是 （ C ）

（A ）1log 5+=x y （B ）15log +=x y

（C ）)1(log 5-=x y （D ）1log 5-=x y

（3）极坐标方程34cos =θρ表示 （ B ）

（A ）一条平行于x 轴的直线 （B ）一条垂直于x 轴的直线

（C ）一个圆 （D ）一条抛物线

（4）函数x x y 2cos 2sin 2=是 （ A ）

（A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2

π

的偶函数

（C ）周期为4π的奇函数 （D ）周期为4π的偶函数 （5）给出20个数： （ B ） 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是

（A ）1789 （B ）1799 （C ）1879 （D ）1899

（6）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ D ）

（A ）充分条件 （B ）必要条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要的条件

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（7）如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F ＞0)所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有 （ A ） （A ）D=E （B ）D=F （C ）E=F （D ）D=E=F

（8）在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1 、

G 2 、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S-EFG 中必有 （ A ）

（A ）SG ⊥△EFG 所在平面 （B ）SD ⊥△EFG 所在平面 （C ）GF ⊥△SEF 所在平面 （D ）GD ⊥△SEF 所在平面

（9）在下列各图中，y=ax 2+bx 与y=ax+b(ab ≠0）的图象只可能是 （ D ）

]0,1[-∈x C ） （A ）21arcsin )arccos(x x -=--π （B ）21arccos )arcsin(x x -=--π （C ）21arcsin arccos x x -=-π （D ）21arccos arcsin x x -=-π 二．（本题满分24分） （1）求方程4)5.0(5252

=-+x x 的解

S 3

F

G 1 G 2 E

（A ） （B ） （C ） （D ） X X

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: AA-teacher 答：.2

3,21

21-==x x （注：仅写出其中一个解的，给2分） （2）已知1,2

312+ω+ω--=

ω求i 的值 答：0 . （3）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）x 轴旋转一周所得到的几何体的体积 答：π3

25 （4）求11)

2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n n n n 答：31

（5）求52

312(x x -展开式中的常数项答：-40 （6）已知θ-θ=θ-θ33cos sin ,2

1

cos sin 求的值 答：.6

11 三．（本题满分10分）

如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC

证：设圆O 所在平面为α，由已知条

件，

PA ⊥平面α，又BC 在平面α内，

因此PA ⊥BC 因为∠BCA 是直角，因此BC ⊥AC

P

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而PA 与AC 是△PAC 所在平面内的相交直线，因此BC ⊥△PAC 所在平面，从而证得，

△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直四．（本题满分12分）

当sin2x ＞0,求不等式)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 的解集

解：满足sin2x ＞0的x 取值范围是,,2

Z k k x k ∈π+π<<π （1） 而由)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 得

??

???>+>--+<--)

4(013)3(0152)2(131522

2x x x x x x 解得：-4＜x ＜-3,5＜x ＜7 (5)

由（1）、（5）可知所求解集为).7,2()3,(π?-π- 五．（本题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B 试在x 轴的正半轴

（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值

解：设点A 的坐标为（0，a )、点B 的坐标为（0，b ），0＜b ＜a ，又设所求点C 的坐标为（x,0)

记β+α=∠β=∠α=∠OCA OCB BCA 则,, 显然，.2

0π

<α<现在有

Y A

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微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher .1)(1)(]

)[(2???

? ??+-=+-=+-=ββ+α+β-β+α=β-β+α=αx ab ab x ab b a x ab x b a x

ab x b x a tg tg tg tg tg tg 记x

ab ab x

y +=，那么，当ab x =时，y 取得最小值2 因此，当ab x =时，αtg 取得最大值

.2ab b a - 因为在)2,0(π

内αtg 是增函数，所以当ab x =时，∠ACB 取最大值

.2ab b

a arctg -故所求点C 的坐标为（,a

b 0）

六．（本题满分10分）

已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）B A C ??且C 中含有3个元素，（2）φ≠?A C （φ表示空集）

解：因为A 、B 各含12个元素，A ∩B 含有4个元素，因此

A ∪

B 元素的个数是12+12-4=20

故满足题目条件（1）的集合的个数是320C ，在上面集合中，还满

足A ∩C=φ的集合C 的个数是38C

因此，所求集合C 的个数是320C -38C =1084

（解二略）

七．（本题满分12分）

过点M （-1，0）的直线L 1与抛物线y 2=4x 交于P 1、P 2两点记：线

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段P 1P 2的中点为P;过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为L 2;L 1的斜率为k 试把直线L 2的斜率与直线L 1的斜率之比表示为k 的函数，并指

出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数

解：由已知条件可知，直线L 1的方程是 y=k(x+1) ① 把①代入抛物线方程y 2=4x ， 整理后得到

0)42(2222=+-+k x k x k ②

因此，直线L 1与该抛物线有两个交的充要条件是：

04)42(2222>?--k k k ③

及.0≠k ④ 解出③与④得到)1,0()0,1(?-∈k 现设点P 的坐标为(y x ， 则直线L 1的斜率,1+=x y k 而直线L 2的斜率,1

2-=x y k 记,)(2k

k k f =

则11

)(-+=x x k f 今记L 1与抛物线的两个交点P 1与P 2的横坐标

分别为x 1和x 2，由韦达定理及②得

))1,0()0,1((,242

2

21?-∈-=+k k

k x x )

1,0()0,1(,11

)(,222

2221?--=-=+=定义域是由此得到因此k k f k k x x x

L 2

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微信公众号: 数学第六感 ； 微信号: AA-teacher 显然，1-k 2在（-1，0）内递增，在（0，1）内递减所以， 211)(k

k f -=在（0，1）内为增函数，在（-1，0）内为减函数 八．（本题满分12分）

已知x 1＞0,x 1≠1，且).,2,1(,1

3)3(221 =++=+n x x x x n n n n 试证：数列{x n }或者对任意自然数n 都满足x n ＜x n+1,或者对任意自然数n 都满足x n ＞x n+1. 证：首先，,1

3)1(213)3(22221+-=-++=-+n n n n n n n n n x x x x x x x x x 由于x 1＞0，由数列{x n }的定义可知 x n ＞0，（n=1,2,…）

所以，x n+1-x n 与1-x n 2的符号相同

（1）假定x 1<1,我们用数学归纳法证明1-x n 2＞0（N n ∈) 显然，n=1时，1-x 12＞0

设n=k 时1-x k 2＞0,那么当n=k+1时

,0)13()1(13)3(1122322

2221>+-=??????++-=-+k k k k k k x x x x x x 因此，对一切自然数n 都有1-x n 2＞0，

从而对一切自然数n 都有x n ＜x n+1

（2）若x 1＞1,用理可证，一切自然数n 都有x n ＞x n+1.

九．（附加题，本题满分10分）

（1）求2xarctgx y =的导数

（2）求过点（-1，0）并与曲线2

1++=

x x y 相切的直线方程解：（1）.1242

2x x arctgx y ++='

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2(12+='x y 而点（-1，0）在曲线2

1++=x x y 上，,1|1='-=x y 所以所求的切线方程为y=x+1

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