12级高二数学5月13日周末练习

高2012级数学13周练习

班级 姓名

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

a1. 集合AB ?{3,2},?{a,b},若A?B?{2},则A?B?A.?1?B.?2?C.?1,2?D.?1,2,3?

2. 函数f(x)=sinx cosx的最小正周期为（ ） A.

p2 B. p C. 2p D. 4p

1x3.函数y=-A.的图象与其反函数的图象的交点坐标不可能为( )B.(1,?1)c.(1,1）D.(?2,)21

(?1,1)?x?y?5?0?4.已知满足约束条件?x?y?0，则z?2x?4y的最小值是( )

?x?3?A．5 B．－6 C．10 D．－10

5已知命题p:x?1≥2，命题q:x?Z；如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为( )

A.?x?1?x?3,x?Z?B.?xx??1或x?3,x?Z?C.??1,0,1,2,3?D.?0,1,2?

6.由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有（ ） A. 48 个 B. 72 个 C. 96 个 D. 120 个

?a??337．等差数列{an}共有2m项，其中奇数项之和为90，偶数项之和为72，且a，2m1则该数列的公差为( ) A．?1

B．?2

C．?3

D．3.

?8.要得到函数y=lnx的图象，只需将函数y?f(x)的图象按向量a=(2,3)平移即可，则f(x)?(A.)B.ln(x?2）?3C.ln(x?2)?3D.ln(x?2)?3

ln(x?2)?39．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色， 要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，

则不同的着色方法共有( )

A.24种 B.30种 C.36种 D.48种

9题图

1

uuruur10. 在平面直角坐标系中， A为平面内一个动点，B(2,0). 若OA?BAuuur|OB|（O为坐标

原点），则动点A的轨迹是（ ）

A. 椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D. 圆

?211．设f(x)是(x?在区间?)展开式的中间项，若f(x)?mx,2x2?216?2?上恒成立，则?实数m的取值范围是

学科( )网A．?? B．0,???5??5? C． D．??5,??,????4?4,5?????学科网12、函数f (x)的定义域为D，若对于任意x1,x2?D，当x1

○

则f()+f()等于（ ）

3811A.

34 B.

12 C. 1 D.

23

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13. 某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 为了调查他们的身体情况，用分层

抽样的方法从他们中抽取了n个人进行体检，其中有6名老年人，那么n=_________.

10714.在(x?a)的展开式中，x的系数是15，则实数a?__________ .

15．正四棱形锥S—ABCD的5个顶点都在球O的表面上，

过球心O的一个截面如图，棱锥的底面边长为1， 则球O的表面积为

16,已知点C为y?的准线与x轴的交点,点F为焦点，点A,B为抛物线上两2px(p?0)?FB?2FC?0个点，若FA，则向量FA与FB的夹角为 。

2学科网

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一、选择题答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题答案： 13、 14、 15、 16、

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分） 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知向量

m?(a?c,b?,a)n?(a?c,b),且m?n．

（Ⅰ）求角C的大小; （Ⅱ）若sinA?sinB?

18.（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

日销售量 频数 频率 ⑴填充上表； ⑵若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立． ①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；

②(理科)已知每吨该商品的销售利润为2千元，?表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求?的分布列和数学期望．

3

62,求角A的值．

1 1.5 25 2 10 0.2 15 19．（本题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC1上。

（1）试确定点N的位置，使AB1⊥MN；

（2）当AB1⊥MN时，求二面角M—AB1—N的大小。

20.（本题满分12分）函数f(x)?12?lg1?x1?x.

(1)计算f(0)

(2)求此函数的定义域，并判断该函数的单调性； (3)解关于x的不等式f??1??x?x???2??1???. ?2

4

21．（本小题满分13分）

设f(x)?x3，等差数列?an?中a3?7，a，记Sn=f?a?a?12123b?aS，数列{nnn1bn}的前n项和为Tn.

13?a?，令

3n?1（Ⅰ）求?an?的通项公式和Sn； （Ⅱ）求证：Tn?；

（Ⅲ）是否存在正整数m,n，且1，使得T求出m,n?m?n,Tm,Tn成等比数列？若存在，1的值，若不存在，说明理由.

5

22.（本小题满分13分）设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆ya22?xb22?1(a?b?0)上的两点.?????x1y1?x2y23m?(,)，n?(,),且m?n?0.椭圆的离心率e?，短轴长为2，O为坐标原点baba2 (I)求椭圆的方程

（II）若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F(0,C),(C为半焦距)，求直线AB的斜率k的值

（III）若直线AB 为y?kx?m,求证：⊿ABO的面积为定值

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试题参考解答

1.D.?A?B??2?,?2?2?a?1,?A??3,2?,B??1,b?,?A?B??1,2,3?

a2.B

3.C.函数y=-1x与其反函数是相同的函数,经验证（1，1）不在图象上

4.B.画出可行域，求出两个最优点（3，2），（3，-3），因此目标函数的最小值为-6

5. D因为“p且q”与“非q”同时为假命题，所以q为真命题，p为假命题，非p为真命题 由x?1?2??1?x?3,?x?Z,?x??0,1,2?

6. B

72?90?md??18?7.C.有题意可知：?d??3 ?a?a?(2m?1)d??331?2m8.C.将函数y=ln(x+2)-3的图象向右平移2个单位,向上平移3个单位得到y=lnx函数的图象

9.D.分两种情况（1）四种色全用有C4C3C2C1?24种；（2)只用三种色有CCC?24种，所以共有48种方法。3413121111

10．D

326?33311．D.∵f，∴(x)?C(x)()?x61552x2?23x?mx在区间?,2?2?2?上恒成立，即?5?22x?m在区间?,2?2?2?上恒成立，∴m?5，故选D。 ?12.A.

13.36

14.?312.在Tr?1?C10x18?a??r10?r(?a)中，令10?r?7?r?3,由C10(?a)?15r33?a??12

15.2?.由题意可知，球的半径为22，因此球的表面积为2?.

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216．解析：∵FA，∴FA，∵点C为y?FB?2FC?0?FB??2FC?2px(p?0)的

准线与x轴的交点，由向量的加法法则及抛物线的对称性可知，点A,B为抛物线上关于轴对称的两点且做出图形如右图，其中AD为点A到准线的距离，四边形AFBG为菱形，∴FG，∴?2FE??2FCFE?FC?p，∴

?AFB?2?3AF?AD?2p，∴?AFE?2?3?3，∴

，∴向量FA与FB的夹角为

。

17. （本小题满分12分）

解: （Ⅰ）由m?n得(a?c)(a?c)?(b?a)b?0；．．．．2分 整理得a2?b2?c2?ab?0．即a2?b2?c2?ab．

a?b?c2ab222 又cosC??ab2ab?12． ．．．．4分

又因为0?C??, 所以C?（Ⅱ）因为C??3?3． ．．．．6分

2?3，所以A?B?62, 故B?2?32?3?A． ．．．7分

由sinA?sinB?,得sinA?sin(?A)?62．

即sinA?32cosA?12sinA?62,所以3sinA?cosA?2．

即sin(A? 故A??6??6)?22．．．．．10分 因为0?A???3?23?，所以

7?12?6?A??6?5?6,

?46418.⑴从左至右两空格依次是0.5、0.3……2分

或A?． 所以A??12或A?．．．13分

⑵①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p?0.5……3分 设5天中该种商品有X天的销售量为1.6吨，则X～B(5 , 0.5)……4分 ?0.3125P(X?2)?C?0.5?(1?0.5)……6分 5223②?的可能取值为4，5，6，7，8……8分

(??4)?0.2?0.04 P， P (?5)?2?0.2?0.5?0.22? 8

2 P P (?6)?0.5?2?0.2?0.3?0.37(?7)?2?0.5?0.3?0.32 P……10分（对2、3、4个给1分，全对给2分） (??8)?0.3?0.09?? ?的分布列

……10分

? P 4 0.04 5 0.2 6 0.37 7 0.3 8 0.09 为

（千元） ?的数学期望为E?4?0.04?5?0.2?6?0.37?7?0.3?8?0.09?6.2?……12分（列式1分，计算1分）．

19．（本题满分12分）

解法1：（1）连结MA、B1M，过M作MN⊥B1M，且MN交CC1点N，

在正△ABC中，AM⊥BC， 又∵平面ABC⊥平面BB1C1C， 平面ABC∩平面BB1C1C=BC， ∴AM⊥平面BB1C1C， ∵MN?平面BB1C1C， ∴MN⊥AM。

∵AM∩B1M=M，

∴MN⊥平面AMB1，∴MN⊥AB1。 ∵在Rt△B1BM与Rt△MCN中， 易知?NMC??BB1M,

?tan?NMC?NCMC,?NC?tan?BB1

1M?2,即N为C1C四等分点（靠近点C）。 ……………………6分

（2）过点M作ME⊥AB1，垂足为R，连结EN，

由（1）知MN⊥平面AMB1， ∴EN⊥AB1，

∴∠MEN为二面角M—AB1—N的平面角。 ∵正三棱柱ABC—A1B1C1，BB1=BC=2， ?AB1?22,AM?3,B1M?5.由AM?平面BC1,知AM?B1M.在Rt?AMBAM?B1M51中,ME?AB?3?122?304,又MN?1?(125

2)?2,故在Rt?EMN中,tan?MEN?MN6ME?3,故二面角M?AB61?N的大小为arctan3.????12分

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解法2：（1）以点M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则M(0,0,0),B(1,0,0),A(0,?3,0),B1(1,0,2),令N(?1,0,z).则AB1?(1,3,2),MN?(?1,0,z).由AB?MN,知AB1?MN??1?2z?0,?z?12,即NC?12.

∴N点是C1C的四等分点（靠近点C）。 ………………6分 （2）∵AM⊥BC，平面ABC⊥平面BB1C1C，

且平面ABC∩平面BB1C1C=BC， ∴AM⊥平面BB1C1C，

∵MN?平面BB1C1，∴AM⊥MN， ∵MN⊥AB1，∴MN⊥平面AMB1， 1得MN?(?1,0,).2设平面AB1N的法向量为n?(x,y,1),

????????????????1又?n?AB1,n?AN,且AB1?(1,3,2),AN?(?1,3,),2?x?3y?2?0,???解得1??x?3y??0,?2故n?(?34,?5133?x??,?4???y??53,??1212?????MN?n??cos???????|MN|?|n|?????5,1),?MN?n?4155,155

故二面角M?AB1?N的大小为arccos.????12分20. 解：（1）函数定义域满足条件

1?x1?x?0.

∴－1?x?1. ∴函数的定义域为?x?1?x?1?. 令u?1?x1?x，则u?21?x1?x1?x?1. ∵ x?(?1.1)时(1+x)是增函数，∴u是减函数. 又

y=lgu是增函数，∴y?lg是减函数， ∴y?12?lg1?x1?x在（-1.1）上是减函数.

注：用定义证明其是减函数也应给3分.

10

（2）∵ f(0)?12，∴ f[x(x?12)]?12?f(0) ∵f(x)在(－1,1)上减函数，

1?x(x?)?0,?11?171?17?2解得或?x?. ?x?0?244?x(x?1)?1.?2? 故原不等式的解集为?x??1?417?x?0或12?x?1?17?? 4?21.解：（Ⅰ）设数列?an?的公差为d，由a,a. ?a?2d?7?a?a?3a?3d?12311231解得a1?1，d=3 ∴a∵f(x)?x3 ?3n?2n

∴Sn=f?a?=a3n?1n?1.…4分 ?3n?111111 ??(?)b(3n?2)(3n?1)33n?23n?1n(Ⅱ) b ∴?aS?(3n?2)(3n?1)nnn111)?…8分

33n?13

1mnn(Ⅲ)由(2)知，T ∴， T?,T??T?1mnn43m?13n?13n?1∴T?(1?n,Tm,Tn成等比数列. ∵T1 ∴ (1n6m?13n?42 即 )??23m?143n?1nm3n?4当m?1时，7?，n=1，不合题意；

n133n?4当m?2时，，n=16，符合题意； ?4n193n?4?当m?3时，，n无正整数解； 9n253n?4?当m?4时，，n无正整数解； 16n313n?4?当m?5时，，n无正整数解； 25n373n?4?当m?6时，，n无正整数解； 36nmm?6m?1?(m?3)?10?0当m?7时， ，则

226m?1m2?1，而

3n?44?3??3， nn,Tm,Tn成等比数列. 所以，此时不存在正整数m,n,且1

11

22.解：（1)?2b?2,?b?1,?e??椭圆的方程为y232?ca,?a?2,c?3,4?x?1?2分3代入23kk?4222（2）设AB的方程为y?kx???16k?16?0,x1?x2??y1y2?(kx1?3)(kx2?2y24?x?1,得（k?4)x?23kx?1?0222

?1k?43??4k?12k?4222,x1x2?3)?kx1x2?3k(x1?x2)?2???y1y2?1?4k?122又?m?n?0,?x1x2??0,即2??0,?k?2,k??2?6分24k?44(k?4)（3）设直线AB的方程为y?kx?m代入y242xxyy(kx1?m)(kx2?m)2mkm?4????????0,x1?x2??2,x1x2?2,?m?n?122?122?x1x2?k?4k?4ba4?(k?4)x1x2?km(x1?x2）+m42222?x?1,得（k?4)x?2mkx?m?4?02222?8m?4k?164(k?4)222?0,?2m?k?4?9分m1?k2222AB?1?k12m2m22216k?16m?64k?42,设O到直线AB的距离为d,则d?22?S?ABO?ABd?121?k?216k?16m?64k?42?m1?k2?2?mk?4?mk?422?2m??1,?S?ABO为定值1.?13分

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