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第四章 数字控制器的直接设计

4

数字控制器的直接设计

本章要求： 本章要求：掌握数字控制直接设计的概念和步骤； 掌握数字控制直接设计的概念和步骤； 直接设计的概念和步骤 掌握最少拍无差系统的设计和最少拍无波纹系统的 掌握最少拍无差系统的设计和最少拍无波纹系统的 最少拍无差系统的设计和最少拍无波纹系统 设计方法。 设计方法。

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第四章 数字控制器的直接设计

4.1 概述 4.2 最少拍无差系统的设计 4.3 最少拍无波纹系统的设计 4.4 W变换法设计 (略) 变换法设计 4.5 纯滞后对象的控制算法 大林算法 纯滞后对象的控制算法—大林算法 作业

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第四章 数字控制器的直接设计

4.1 概述章中讨论了数字控制器的模拟化设计方法 第3章中讨论了数字控制器的模拟化设计方法，它立足于连 章中讨论了数字控制器的模拟化设计方法， 续系统的设计，并在计算机上采用数字模拟的方法来实现。 续系统的设计，并在计算机上采用数字模拟的方法来实现。其优 点： 将设计者所熟悉的各种连续系统的设计方法和经验移植到数 字计算机上实现，达到满意的控制效果。 字计算机上实现，达到满意的控制效果。 缺点： 缺点： 采样周期T较大、对控制的质量要求较高、 采样周期 较大、对控制的质量要求较高、用一台计算机实 较大 现多回路控制时，很难满足要求。 现多回路控制时，很难满足要求。 从被控对象的特性出发，直接根据采样系统理论来设计数字 从被控对象的特性出发，直接根据采样系统理论来设计数字 采样系统 控制器。 控制器。

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第四章 数字控制器的直接设计

直接设计法： 直接设计法：又称为离散设计法。把计算机控制系统经过适当变换， 又称为离散设计法。把计算机控制系统经过适当变换，变成纯粹 的离散系统， 变换等工具进行分析设计， 的离散系统，用Z变换等工具进行分析设计，直接设计出控制算 变换等工具进行分析设计 法。

直接设计法与模拟化设计法比较： 直接设计法与模拟化设计法比较：直接设计法完全根据采样系统的特点进行分析与综合， 直接设计法完全根据采样系统的特点进行分析与综合，并导出相 应的控制规律，所以它比模拟化设计具有更一般的意义。 应的控制规律，所以它比模拟化设计具有更一般的意义。

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第四章 数字控制器的直接设计

直接设计法的基本原理和设计步骤： 直接设计法的基本原理和设计步骤：系统的闭环 脉冲传递函数 广义对象的 脉冲传递函数

要求设计的 数字控制器 的脉冲传函

零阶保持器 图4-1离散控制系统结构简图

被控对象

D(z)对应连续控制系统的串联校正元件

实现所需要的采样控制规律 对应连续控制系统的串联校正元件,实现所需要的采样控制规律 对应连续控制系统的串联校正元件 实现所需要的采样控制规律u*(t); u*(t)转变为连续信号作用于被控对象，必须有采样保持环节。 转变为连续信号作用于被控对象， 转变为连续信号作用于被控对象 必须有采样保持环节。

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第四章 数字控制器的直接设计

由图4-1得 系统的闭环脉冲传递函数 由图 得，系统的闭环脉冲传递函数Φ(z)为： 为Φ(z) = C(z) D(z)G(z) = R(z) 1+ D(z)G(z)

(式4-1)

D(z) =

设计对象

Φ(z) 1 G(z) 1 Φ(z)

(式4-2)

由式( ),当已知G(z)时，只要根据设计要求选择好 ),当已知 由式(4-2),当已知 时 只要根据设计要求选择好φ(z),就 ， 可以求得D(z)。 可以求得 。

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第四章 数字控制器的直接设计

D(z) =

Φ(z) 1 G(z) 1 Φ(z)

在已知对象特性的前提下，设计步骤为： 在已知对象特性的前提下，设计步骤为： 1)求得带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传递函数G(z); )求得带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传递函数 ； 2)根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环 2)根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环z传递 构造闭环z传递 函数φ(z); ; 函数 3)依据式(4-2)确定数字控制器的传递函数 )依据式( )确定数字控制器的传递函数D(z); ; 4)由D(z)确定控制算法并编制程序。 确定控制算法并编制程序。 ) 确定控制算法并编制程序

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第四章 数字控制器的直接设计

4.2 最少拍无差系统的设计4.2.1 最少拍无差系统 4.2.2 典型输入下最少拍系统的设计方法 4.2.3 最少拍控制器的可实现性和稳定性要求 4.2.4 最少拍快速有波纹系统设计的一般方法

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第四章 数字控制器的直接设计

4.2.1 最少拍无差系统1、最少拍无差系统 、在数字随动控制系统中， 在数字随动控制系统中，要求系统输出值尽快地跟踪给定值的变 最少拍控制就是为满足这一要求提出的一种离散化设计方法。 化，最少拍控制就是为满足这一要求提出的一种离散化设计方法。

定义： 定义：在典型的控制输入信号作用下能在最少几个采样周期内达到稳态无静差的系统。其闭环z传递函数具有如下形式： 达到稳态无静差的系统。其闭环 传递函数具有如下形式： 传递函数具有如下形式Φ(z) = m z 1+ m2 z 2 + m3 z 3+L + mn z n L 1

(式4-3)

上式表明：闭环系统的脉冲响应在 个采样周期后变为零 个采样周期后变为零， 上式表明：闭环系统的脉冲响应在n个采样周期后变为零，即系 统在n拍后到达稳态 拍后到达稳态。 统在 拍后到达稳态。

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2、对最少拍控制系统设计的具体要求： 、对最少拍控制系统设计的具体要求：准确性要求——稳定后，输出值与输入值不存在静差； 稳定后，输出值与输入值不存在静差； 准确性要求 稳定后 快速性要求——到达稳定的周期数有限； 到达稳定的周期数有限； 快速性要求 到达稳定的周期数有限 稳定性要求——D(z)在物理上可实现且闭环系统稳定。 在物理上可实现且闭环系统稳定。 稳定性要求 在物理上可实现且闭环系统稳定

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第四章 数字控制器的直接设计

4.2.2 典型输入下最少拍系统的设计方法由图( ),系统的误差传递函数为: ),系统的误差传递函数为 由图(4-1),系统的误差传递函数为E(z) R(z) C(z) = =1 Φ(z) Φe (z) = R(z) R(z)E(z) = φe (z)R(z) = [1 φ(z)]R(z)

(式4-4)

根据准确性要求，系统无稳态误差。 终值定理得 根据准确性要求，系统无稳态误差。由终值定理得：e(∞) = lim [(1 z 1)E(z)] 0 即：e(∞) = lim [(1 z 1)φe(z)R(z)] 0 (式4-5) z →1 z →1

又因：对于时间 为幂函数的典型输入 其函数的z变换通式为 为幂函数的典型输入， 变换通式为: 又因：对于时间t为幂函数的典型输入，其函数的 变换通式为2 L r(t) = A + A t + A t +L + 0 1 2! (q 1)!t 2 q 1

A

q 1

R(z) =

A(z) q (1 z 1)

(式4-6)

1 1 t Tz 1(t) 2 (1 z 1) 1 z 1 2 2 1 1 t T z (1+ z ) 3 2! 2(1 z 1)

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第四章 数字控制器的直接设计2 r(t) = A + A t + A t +L + L 0 1 2! (q 1)!t 2 q 1

A

q 1

R(z) =

A(z) q (1 z 1)

(式4-6)

e(∞) = lim [(1 z 1)E(z)] 0 即：e(∞) = lim [(1 z 1)φe (z)R(z)] 0(式4-5) z →1 z →1E(z) = φe (z)R(z) = φe (z) A(z) q (1 z 1)

(式4-7)

为了使稳态误差为零， 为了使稳态误差为零，应有下式成立p φe (z) = (1 z 1) F(z)

p≥q

(式4-8)

根据快速性要求，要使系统的稳态误差尽快为零；并且使数字 根据快速性要求，要使系统的稳态误差尽快为零； 控制器结构简单，阶数最低，则： 控制器结构简单，阶数最低，p = q, F(z) =1 且

不含z 才能使E(z)中关于 -1的项数 中关于z 即：只有使F(z)不含 -1的因子，φe(z)才能使 只有使 不含 的因子， 才能使 中关于 最少。 最少。 所以，对于典型的输入来说， 所以，对于典型的输入来说，有φe (z) = (1 z 1)qq

(式4-9) (式4-10)

φ(z) =1 φe(z) =1 (1 z 1)

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1、单位阶跃输入 、已知：r(t) =1(t),即R(z) = z 1 = (q =1 ) 1 z 1 1 z

由式( )、( )、(4-10)得 由式(4-9)、( )

φ(z) =1 φe(z) = z 1

φe (z) =1 z 1

}

E(z) = R(z) Φe (z) =

1 1 z 1

(1

z 1) =1

即 E(z) =1+ 0 z 1+ 0 z 2 +L : L

e(0) =1 e(1) = e(2) = L = 0 , L

这说明系统只需一拍(一个 ),输出就能跟随输入。 ),输出就能跟随输入 这说明系统只需一拍(一个T),输出就能跟随输入。

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第四章 数字控制器的直接设计

此时，输出为： 此时，输出为：z 1 = 1+ 2 + 3+L C(z) = R(z)Φ(z) = L z z z 1 1 z

C(0) = 0,C(1) = C(2) = C(3) = LL=1

输出序列如右图4- 所示 所示。 输出序列如右图 -2所示。1 Φ(z) 1 z 1 D(z) = = G(z) Φe(z) G(z) 1 z 1

c(t) 1 0 1T 2T t图4-2 单位阶跃输入时的输出

3T

4T

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第四章 数字控制器的直接设计

2、单位速度输入 、(z 1)2 由式( )、( )、(4-10)得 由式(4-9)、( ) 2 φe (z) = (1 z 1) φ(z) =1 φe(z) = 2 z 1 z 2 已 ： (t) = t, R(z) = 知 r 即 Tz = ( =2 q ) 2 (1 z 1)2 (1 z 1) = T z 1 2 (1 z 1) T z 1

T z 1

}

E(z) = R(z) Φe(z) =

即 E(z) = 0 +T z 1+ 0 z 2 + 0 z 3+L : L

e(0) =1 e(1) = T,e(2) = e(3) = L = 0 , L

这说明系统只需两拍(两个 ),输出就能跟随输入。 ),输出就能跟随输入 这说明系统只需两拍(两个T),输出就能跟随输入。

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第四章 数字控制器的直接设计

此时，输出为： 此时，输出为：

T 1(2 z 1 z 2) C(z) = R(z)Φ(z) = z = 2T z 2 + 3T z 3+ 4T z 4 +L L 2 (1 z 1)

C(0) = 0,C(1) = 0,C(2) = 2T,C(3) = 3T,C(4) = 4T, L L

输出序列如右图4- 所示 所示。 输出序列如右图 -3所示。1 Φ(z) 1 z 1(2 z 1) = D(z) = 2 G(z) Φe(z) G(z) (1 z 1)

4 3 2 1 0 1T 2T t图4-3 单位速度输入时的输出

c(t)

3T

4T

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第四章 数字控制器的直接设计

例4-1

设计计算机单位反馈控制系统。 设计计算机单位反馈控制系统。已知被控对象传递函数为10 Gc (s) = s(s +1)

1 e Ts 使用零阶保持器， 使用零阶保持器， H0 (s) = s

采样周期T=1秒，当单位速度输入时，按最少拍法设计D (z)。 秒 当单位速度输入时，按最少拍法设计 采样周期 。 解： 广义对象脉冲传递函数 1 e Ts 10 3.68z 1(1+ 0.718z 1) G(z) = Z[H0 (s)Gc (s)] = Z = s(s +1) (1 z 1)(1 0.368z 1) s 1 2 由输入信号形式选 Φe (z) = (1 z )

因此求得： 因此求得：

1 Φe (z) 0.543(1 0.5z 1)(1 0.368z 1) D(z) = = Φe (z)G(z) (1 z 1)(1 0.718z 1)

系统输出脉冲传递函数为： 系统输出脉冲传递函数为： 1 2

Tz 1 C(z) = Φ(z)R(z) = (2z z ) = 2z 2 + 3z 3 + 4z 4 + 5z 5 + L L 1 2 (1 z )

结论：输出 经过2T后 与输入R(nT)重合。 重合。 结论：输出C(nT)经过 后，与输入 经过 重合

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第四章 数字控制器的直接设计

例4-1

设计计算机单位反馈控制系统。 设计计算机单位反馈控制系统。已知

被控对象传递函数为10 Gc (s) = s(s +1)

1 e Ts 使用零阶保持器， 使用零阶保持器， H0 (s) = s

采样周期T=1秒，当单位速度输入时，按最少拍法设计D (z)。 秒 当单位速度输入时，按最少拍法设计 采样周期 。 按照单位速度输入设计的最少拍控制器，对于其他输入时情况： 按照单位速度输入设计的最少拍控制器，对于其他输入时情况：Φ(z) = 2z 1 z 2C(z) = Φ(z)R(z)

结论： 结论：由上述分析可以看到按某种典 型输入设计的最少拍系统， 型输入设计的最少拍系统，对于其他 1 C(z) = (2z 1 z 2 ) = 2z 1 + z 2 + z 3 +L L 1 1 z 形式的输入时，系统就不是最少拍了， 形式的输入时，系统就不是最少拍了， c(0) = 0, c(T) = 2, c(2T) = c(3T)而且调节品质变坏。 = L+ c(nT) = 1 而且调节品质变坏。 系统经过2T后 时超调量达到100% 。 系统经过 后C(nT)=R(nT), t =T时超调量达到 时超调量达到 ①单位阶跃输入时 ②单位加速度输入时T 2 z 1(1+ z 1) C(z) = Φ(z)R(z) = (2z z ) 2(1 z 1)3 1 2

可以看到， 可以看到，C(nT)与R(nT) 与 = z 2 + 3.5z 3 + 7z 4 +11.5z 5 +17z 6 +L R(nT) = 0 0.5 2 4.5 8 12.5 始终存在偏差。 始终存在偏差。 返回本节C(nT) = 0 0 1 3.5 7 11.5

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第四章 数字控制器的直接设计

4.2.3 最少拍控制器的可实现性和稳定性要求1、物理上的可实现性要求 、控制器当前的输出信号，只与当前时刻的输入信号、 控制器当前的输出信号，只与当前时刻的输入信号、以前的输入 信号和输出信号有关，而与将来的输入信号无关。 信号和输出信号有关，而与将来的输入信号无关。这就要求数字 控制器的z传递函数 传递函数D(z)不能有 的正幂项。 不能有z的正幂项 控制器的 传递函数 不能有 的正幂项。U(z) b0 zm + b1 zm 1 +L+ bm D(z) = = E(z) a0 zn + a1 zn 1 +L+ an

(式4-11)

要求： 要求：

n≥m。若n<m,则分子会出现 的正幂项； 。 的正幂项； ,则分子会出现z的正幂项 a0≠0。若a0=0,相当于分母中的多项式降了一阶，同上； 。 ,相当于分母中的多项式降了一阶，同上；

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第四章 数字控制器的直接设计

如果被控对象G(z)含有纯滞后环节 -p ,则φ(z)中必须含有 含有纯滞后环节Z 如果被控对象 含有纯滞后环节 中必须含有 Z-p ,才能把滞后保留下来。此时 才能把滞后保留下来。Φ(z) = z p (m1 z 1 + m2 z 2 +L+ ml z l)( 因为D(z) =

1 Φ(z) ) G(z) 1 Φ(z)

2、稳定性要求 、最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳定， 最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保 证控制变量收敛。由图4-1得 证控制变量收敛。由图 得，G(z) = C(z) U(z) C(z) Φ(z) = R(z)

}

U(z) =

C(z) Φ(z)R(z)

= G(z) G(z)

提示：介绍 平面 提示：介绍z平面 内的稳定性要求 绪方胜彦著494) (绪方胜彦著 )

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第四章 数字控制器的直接设计G(z) = C(z) U(z) C(z) Φ(z) = R(z)

}

U(z) =

C(z) Φ(z)R(z) = G(z) G(z)

如果被控对象G(z)的所有零极点都在单位圆内，则系统是稳定的。 的所有零极点都在单位圆内，则系统是稳定的。 如果被控对象 的所有零极点都在单位圆内 离散系统稳定性) (离散系统稳定性)Φ(z) = C(z) D(z)G(z) = R(z) 1+ D(z)G(z)D(z) = 1 Φ(z) 1 Φ(z) = G(z) 1 Φ(z) G(z) Φe (z)

为避免G(z)在单位圆外或圆上的零极点与 在单位圆外或圆上的零极点与D(z)的零极点抵消，需： 的零极点抵消， 为避免 在单位圆外或圆上的零极点与 的零极点抵消 表达式中将这些零 当G(z)有单位圆上或圆外的零点时，φ(z)表达式中将这些零 有单位圆上或圆外的零点时 点作为其零点而保留； 点作为其零点而保留； 当G(z)有单位圆上或圆外的极点时，φe(z)表达式中将这些 有单位圆上或圆外的极点时 表达式中将这些 极点作为其零点而保留。 极点作为其零点而保留。最少拍系统设计的稳定性约束条件

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