毕业论文 34 朱润

河南教育学院本科毕业论文（设计）

浅谈大数定律在生活中的应用

朱润

摘要：概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，后人称之为“大数定律”。大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性，是随机现象统计规律性的具体体现。大数定律是概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律，概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。从古至今，人们对大数定律的认识经历了一个漫长的过程，大数定律在概率论和理论统计学的发展中起到了重要的

【2】

作用。

如今在现实社会中的运用越来越广泛，这就不得不对大数定律的应用做一个系统的归纳。本文结合实际生活，从股票，保险，彩票等热门话题中来诠释了大数定律的意义及作用。

关键词：大数定律；概率；随机现象；稳定性；股票预测；保险业；彩票

Abstract:Probability theory in the history of the first limit theorem belongs to Be called \he law of large Numbers\s of arithmetic mean to constant convergence.One of the basic law of probability and mathematical statistics.Also known as the weak theory of large numbers.Historically, people awareness of the law of large Numbers, experienced a long process, the law of large Numbers in the development of theory of probability and statistics plays an important role.

Nowadays there are many different kinds of social law of large Numbers of actual problems, this paper research for later use simple law of large Numbers to solve practical problems have very much to help.In this paper, combined with the actual life, from the stock, insurance, lottery tickets, and other hot topic to interpret the meaning and the function of law of large Numbers.

Keywords: the law of large Numbers; The probability of; Stock prediction; insurance；lottery

概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的学科，是近代数学的一个重要组成部分,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验和观察才会呈现出来。随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生，但在大量的重复试验中随机事件的发生却呈现出明显的规律性，人们通过大量的实验认识到随机事件的频率具有稳定性这一客观规律，实际上，大量随机现象的一般平均结果也具有稳定性，大数定律以严格的数学形式阐

【3】述了这种稳定性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在联系。当然，人们会提

出这样的问题，稳定性的含义是什么？在什么样的条件下会有这种稳定性呢？这就是贝努

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利大数定律所要研究的问题。现今社会实际中的大数定律问题种类繁多，本文对以后运用大数定律解决实际问题有很多帮助。

一，常见的几种大数定律 1，契比雪夫大数定律

设随机变量X1,X2,X3,?相互独立，且有相同的期望和方差：E（Xi）=μ， D（Xi）=б2，i=1，2，?则对任意的ε＞0，有

?limp?Xn?μ＜ε

n???=1， （1）

1n其中Xn=?Xk.

nk?11n1证明：E（Xn）==μ D()=E(X)X?Knnk?1n2对Xn使用契比雪夫不等式，得到p?Xn?μ＜ε

σ2D(Xk)=?nk?1n

σ2?≥1-

n令n??，并注意到概率小于等于1，得（1）式 定理证毕

契比雪夫大数定律表明：具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望。当n足够大时，实验结果的算术平均几乎是一常数，可用独立重复实验结果的算术平均数来估算随机变量的数学期望。 2，贝努里大数定律

设μn是n次独立实验中事件A发生的次数，P是事件A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的正数ε，有limp?n??μn　-p＜εn?=1

伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的理论依据：当n趋于无穷大时，n重贝努里实验中事件A发生的频率几乎等于事件A在每次实验中发生的概率，贝努里大数定律以严格的数学形式诠释了频率的稳定性，所以，当实验次数足够大时，才能在实际中应用，这时便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

证明：作一次观察时，μn是定值，作多次观察时μn是随机变量，而且μn ~ B(n,p) Eμn=n p ， Dμn=n p q ， E（μn/n）= p ， D（μn/n）=p q/n

在契比雪夫不等式中，取ξ=μn/n ,则a=p ，б2 =p q/n 于是对任意给定的正数ε，有

1≥ p?

μn　-p＜εn?≥1-

pq?1 (n??) 2nε2

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?limp?n??μn　-p＜εn?=1 （证毕）

3，辛钦大数定律

设随机变量序列X1,X2,，?独立同分布，有有限的数学期E(Xi)=μ，i=1，2，?则对人给的ε＞0，有?limp?n??1n?Xi-μ＜εni?1?=1

一，大数定律的发展历史

贝努里是第一个研究大数定律这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。他所著的《猜度术》是概率论的奠基性著作，书中蕴含的概率思想具有划时代的理论意义。当时贝努里对大数定律的叙述所要探讨的问题是这样的：是否随着观测次数的增大，记录下来的赞成与不赞成例数的比值接近真实比值的概率也随之

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不断增加，使得这个概率最终将超过任意确信度。1817-1826年，泊松研究了法国这10

年间新生婴儿性别比，并且指出稳定性，第一次给出了大数定律的描述：观察大量具有相同性质，依赖恒定原因或规则变化的原因而发生的事件，将会发现这些时间数目间的比值几乎是恒定值，并且随着观察次数的增加，波动幅度也会随之越来越小。他认为大数定理

【6】可以解释各种各样的现象，只要有足够的耐心观察就能发现频率的稳定性。1844年，契

比雪夫在自己的硕士论文《试论概率论的基础分析》中给出了贝努里大数定理的严格证明，并把结果推广到泊松大数定理。1866年，契比雪夫在论文“论均值”中给出了泊松大数定

【7】理，契比雪夫是第一个给出贝努里大数定理和泊松大数定理严格证明的人。1907年，俄

国的马尔可夫发表了论文《大数定理对非独立随机变量的推广》，在文章中表现出了他不满足于契比雪夫要求随机变量方差值一致有界的条件，而是找到了两种更弱的条件，极大地改进了契比雪夫的结果。从贝努里，泊松，契比雪夫到马尔可夫，他们对大数定理的研究实质是首先发现大数定理的一般条件，然后逐步扩大满足大数定理的随机变量序列范围，从而揭示了平均值的统计稳定性。

二，大数定律的主要含义

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然必然中包含着必然。

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三，大数定律的意义及理解

大数法则又称“大数定律”或“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这类规律就是大数法则。在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的概率近似于它的概率。 大数法则反映了这世界的一个基本规律：在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章、毫无规律、难于预测的。但由于大数法则的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形态。

花瓶是由许许多多的分子组成的，每个分子都在时刻不规律地剧烈震动。但是你是否见过一只放在桌子上的花瓶，会忽然自己动起来？ 电流是由电子运动而形成的，每个电子的行为可谓是杂乱无章并且不可预测，但整体看来呈现出来的是一个稳定的电流强度。 一个封闭容器中的气体，它包含了大量的分子，它们各自在每时每刻的不同位置、速度和方向，都以一种偶然的方式在变化着，但容器中的气体仍能保有一个稳定的压力和温度，这些正是大数法则的体现。大数定律是指在随机试验中，每次出现的结果不同，但是大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值。其原因是，在大量的观察试验中，个别的、偶然的因素影响而产生的差异将会相互抵消，从而使现象的必然规律性

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显示出来。例如，观察个别或少数家庭的婴儿出生情况，发现有的生男，有的生女，没

有一定的规律性，但是通过大量的观察就会发现，男婴和女婴占婴儿总数的比重均会趋于50%。

四，大数定律与预测股票

股票在生活中的地位随着人们的喜好也变的越加重要，而在生活中有一些人预测股票非常的准，没有一次是失误的，我们称之为股神。经过多方面的考察和研究，我对股神的股票预测稍微的有了一种新的看法，先让我们看看股神的预测股票模式：

股神第一周发20000条短信给不同的人，预言某支股票的涨跌。其中10000条说某只股票会涨，而另10000条说这只股票会跌。

第二周，股神向其中说对的10000人再发一短信，其中5000条说某只股票会涨，5000条说某只股票会跌。

第三周，他再向说对的5000人发短信，其中2500条说某只股票会涨，2500条说某只股票会跌。

最后有2500人，发现这位股神连续3次说对某只股票的涨跌，简直太崇拜了。其中有700人真的把钱交给他投资了。当然，如果赚钱是要分成的。 股神拿到钱后会做什么呢？首先，他会给这700个不同的账户各买一只股票，尽量让这些股票各不相同。一段时间过后，股票有的涨，有的跌。当然，假如运气不错碰到一个大牛市，大部分时间里，大

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部分股票上涨概率大大超过了下跌。这时如果一个人的账户买了一只涨的股票，他就会对股神更加信赖，甚至还会追加投资。因此，股神大哥的这种模式是非常有“钱”途的。假如来了个大熊市，大部分股票在大部分时间下跌超过上涨，股神也不用负任何责，大不了暂时退出股票市场而已。

看完后，我们很容易就懂了，其实股神大哥也是猜不准股票是否会涨，只不过股神懂得运用大数定律，在一定大的基数下大数定律发挥出来的作用越来越明显，那所谓股票预测，只不过是大数定律在其中运行罢了。

五，大数定律与保险业

现实社会中人的工作，出行，不动财产，甚至是生命都与保险息息相关。例如人们出行坐飞机或大巴车时都会在买票的时候顺便给自己买一份保险，这样做的目的也就是为了防止意外事故的偶然发生。而保险公司正是借助于现实生活中的这一事实快速的发展起来的，这也就给了我们研究的方向，也值得我们去深思。

我们知道，保险所承担的风险都是有偶然性的，以个别风险而言，很难预测发生的规律。这就需要保险公司不得不对同类的事物经过长时间的观察与研究，找出接近正确的危险时间发生频率。例如人的死亡，对某一人而言，是无法预测其发生事故或死亡的时间，但尽可能多地汇集一定数量的人，在特定的一段时间内进行观察，则可测出发生事故或死亡人数的或然率。观察的人数越多，则其发生的或然率越准确、越规范化。

保险公司是一个从事对损失理赔的行业，它的运行模式是将分散的不确定性集中起来，转变为大致的确定性以分摊损失，然后再从中盈利。所以，在开展新的业务之前，保险公司需要通过大量的损失统计资料对风险损失概率进行精确地估算，根据大数法则，承保的风险单位越多，实际损失与预期损失概率的偏差就越小；相对而言，承保的风险单位越少，实际损失与预期损失概率的偏差就越大。我们知道，实际损失与预期损失概率的偏差又影响到保险公司的服务稳定和经营效益，因此，保险公司在根据大量的损失统计资料精算出预期损失概率并制定出合理的保险费率的基础上应尽可能地多承保风险单位，也就更有可能拥有充足的资金赔偿保险期内发生的所有索赔，从而使保险公司运营地更加平稳，同事也有利于投保人或被保险人。再者，保险业能准确预测危险的发生，既然能预测，就必然会设法和防备或避免其发生，结果就会是降低危险发生的或然率，达到营利和社会安定的目的。

例 某矿区为井下工人开展人身保险，规定每人年初向保险公司交纳保险金20元，一年的保险期内若工人死亡，保险公司向家属赔偿2000元，由大量的历史资料获知该矿井下工人的死亡率为0.0036，现矿区有10000名井下工人参加了人身保险，计算1）一年内

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井下工人死亡数不超过30人的概率；2）保险公司一年获利不少于86000元的概率.

1）解，设ξ表示一年内井下工人死亡数，则ξ~ B（10000，0.0036）

1）P（ξ≤30）=Ф{﹙30-10000×0.0036）÷√(10000×0.0036×0.9964)}－Φ{（0－10000×0.0036）÷√（10000×0.0036×0.9964）}=0.159

2）要使保险公司一年获利不少于86000元，必须满足 20×10000－2000ξ≥86000 ∴ξ≤57

P（ξ≤57）=Φ{（57-36）÷√（36×0.9964）} -Φ{（0-36）÷√（36×0.9964）} =0.99977【1】 六，大数定律与双色球

说起彩票中的双色球，无论是玩过的还是没接触过彩票的人基本上都会听说过，双色球的玩法其实很简单，即从红色球号码区的33个号码中选择6个号码，再从蓝色球号码区的16个号码中选择1个号码，组合成一注进行投注。由于大奖数额很大，而且双色球伴随着的小奖也不少，双区选号，并且只要是中一个篮球就会获奖，正是这些闪光点吸引了人们的目光，促使人们不由自主的去买几注碰碰运气，这更加增加了双色球的魅力，从而推动了双色球的发展。双色球玩法中奖率看起来貌似很可观，但事实上是怎么一回事呢？下面就结合实际谈一谈双色球玩法各个奖项的中奖的可能性。

从选球规则上可以看出，双色球玩法的中奖情况一共有 C633×C116=33×32×31×30×29×28÷6÷5÷4÷3÷2×16=17721088(种)

假设一等奖为500w，一等奖是每次1人中，一等奖需要6个红球，1个蓝球全中，即一种可能性，则中一等奖的概率为：1/17721088

二等奖按20w计算，二等奖每次也是1人中，二等奖需要6个红球全中，即C116-1种可能性，则二等奖有15中情况可以中奖，则中二等奖的概率为：15/17721088=1/1181405

三等奖按2500元计算，三等奖需要红球中5个，篮球也中，即C56×C327=162种情况可以中奖，则中三等奖的概率为162/11721088

四等奖按200元计算，四等奖分两种情况红中5，蓝不中或红中4，蓝也中，经计算，四等奖的概率为7695/17721108；五等奖按10元计算，五等奖也份两种情况红中4，蓝不中或红中3，蓝也中，经计算，五等奖的获得概率为137475/11721088；六等奖按5元计算，六等奖份三种情况，红中2或1或不中，蓝也中，经计算，六等奖的获得概率为1043640/17721088。

上面的数据以及概率计算的基本知识，经过中奖概率的计算，可以得出不中奖的概率：

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1-1/17721088-15/17721088-162/17721088-7695/17721088-137475/17721088-1043640/17721088=16532100/17721088=0.933 可以看出，理论上投注约16注则会中一注，每注彩票的面值是2，在个人较少的投资情况下，我们看不出自己会赔或赚，但是在经常购买彩票的情况下，在所有购买彩票的人构成一个大的基数的情况下，大数定律就开始发挥它的作用，在大数定律的运作下，随机现象趋于一个稳定的概率值，这时候可以根据期望公式算出一注彩票的期望收入约为0.84，这就说明了人在购买每一注的彩票时，有1.16元为国家福利事业做出了贡献。

七，大数定律在实际生活中的应用

随着社会的进步，科技的发展，大数定律在众多领域中运用的越来越广泛，也日益备受关注。本为以贝努里大数法则为研究对象，对独立条件下依概率收敛的大数定律进行了比较系统的讨论。同时也列举大数定律在赌博，股票，保险业，彩票等方面的列子以便于更加灵活的运用大数定律，从而对这些应用领域提供了理论依据。作为一名即将毕业的学生，我十分感谢我的论文老师对我的论文提出的建议和作出的重要指导，同时也希望此文章能够对以后的读者提供帮助。

由于学生水平有限，论文中难免有不足的地方，敬请各位老师批评指导。 参考文献

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[4]周概容. 概率论与数理统计[M]. 北京：高等教育出版社，1984 [5]雅各布-贝努里 《猜度术》.出版：1713

[6]泊松. 《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》 出版：1837 泊松分布 [7]布哈林 《均衡论》 1920：论证过渡时期的经济学 [8]契比雪夫 论文：《论均值》 发表：1866

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ihka.html