636数学分析考研真题答案08

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2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准

科目代码： 636 科目名称：数学分析

一、（20分）解答以下三个小题：

（1）用分析定义证明：如果limxn?0，则limn??n??x1?x2???xn?0.（13分）

n（2）如果limn??x1?x2???xn?0，是否一定有limxn?0？为什么？（3分）

n??n1?1?1???123n.（4分）（3）计算极限limn??n证：（1）∵limxn?0，∴???0,?N?N?，?n?N：xn??n??2. …… 2分

利用三角不等式，得

x1?x2???xnx?x???xNx?xN?2???xn?12?N?1 …… 5分

nnn而limn??x1?x2???xN?0（∵x1?x2???xN?c常数） …… 7分

nx1?x2???xN??. …… 9分

n2对上述的??0，?N1?N?，n?N1：

xN?1?xN?2???xn?n?N????. …… 11分

nn22?取N??max?N,N1?，则???0,?N??N，当n?N?时，有

x1?x2???xn??????.

n22∴limn??x1?x2???xn?0. …… 13分

nx1?x2???xn?0，但数列{xn}发散. …… 3分

n（2）不一定. …… 1分反例：数列xn?(?1)n?1，n??.有 limn??（3） ∵ limn??1?0 …… 2分

n1?1?1???123n?0 …… 4分 ∴ limn??n第 1 页（共6页）

二、（12分）如果函数f(x)在[0,??)上可导，且f?(x)??1，f(0)?1，试证：在区间(0,1)内存在唯一的?，使得f(?)?0.

证：由已知，f(x)在?0,1?上可导.在?0,1?上应用Lagrange中值定理，得

f?1??f(0)?f?(?1)?f(0)，?1?(0,1)， …… 5分

f?1??f(0)?f?(?1)f(0)?f(0)?f(0)?0， …… 7分

由零点存在定理，存在??(0,1)，使f(?)?0. …… 9分再证零点唯一，只要证函数f(x)在[0,??)上单调，而由f?(x)??1?0，即知f(x)在

[0,??)上严格单调减少，从而上述?是唯一的. …… 12分

?x2　，x?0三、（12分）求函数f(x)??的不定积分.

?sinx,x?03x解：x?0时，?xdx??C1 …… 3分 32 x?0时，sinxdx??cosx?C2 …… 6分得出 C1??1?C2?C …… 8分

?f??x3?C,x?0?x?dx??3 …… 12分

???cosx?1?C,x?0x0x0??四、（10分）计算limx???edu2u2u2?2.

?edux2x0u2解：lim??edu?ex02u2x0u2?2x???du?lim2e?eduex2x???2x2 …… 4分

?lim2?0euduex2x??? …… 5分

第 2 页（共6页）

?lim2ex2xe2x2x??? …… 9分

?lim1?0 …… 10分 x???x五、（12分）设函数f(x)???x，0?x?1?2?x，1?x?2，试求

（1）a2n??0f(x)e?nxdx　　(n?1，，2?)；

（8分）（2）limn2n??an.（4分）解：（1）a1?nx2?nxn??0xedx??1?2?x?edx　 ??e?n?1?2n2 （2）lim22n??nan?limn???e?n?1??1 六、（10分）证明积分

???e?xy01?x2dx关于y??0,???一致收敛.

证： ∵ e?xy11?x2?1?x ， 0?x???20?y??? 而

???101?x2dx?arctanx??0??2 收敛，由Weierstrass判别法，知积分对y??0,???一致收敛. 七、（21分）判断下列三个小题中级数的敛散性.（每小题7分） ??(1)

??n?,(??0)； (2)

1. n?1??nn?1nn?1； (3) n?1(n?1)?n?1n1?1n解:(1) 由 liman?1n??a?1 n?知??1收敛；??1发散； ???1时?n????1??,??1收敛，??1发散. n?1n?1n …… 3分 …… 8分

…… 4分

……… 4分 ……… 8分 ……… 10分 ……… 3分……… 5分

……… 7分第 3 页（共6页）

nn?1(n?1)n?1?1，（2）由 lim（或 0?un?1） ……… 4分 2n??1en2n而

?n?1?nn?1收敛. ……… 7分 1收敛，知?n?1n2n?1(n?1)1?1n?1（3）由 limnn??1n?1, ………4分

??n?1?1发散，知

?nn?1n1?1n1发散. ……… 7分

1??x2?y2?sin,?x,y???0,0??22八、（25分）设函数f?x,y??? x?y??x,y???0,0??0,（1）计算函数f?x,y?的偏导数；（10分）

（2）问函数f?x,y?在?0，0?点是否连续？是否可微？为什么？（8分）（3）问偏导函数在?0,0?点是否连续？为什么？（7分）解:(1)fx??0,0??lim?x?0f?0??x,0??f?0,0??lim?xsin12?0 …… 3分 ?x?0?x??x?1x1?2xsin?cos,?x,y???0,0??222222 …… 8分 fx??x,y?=?x?yx?yx?y??x,y???0,0??0,y11?2ysin?cos,?x,y???0,0??222222?对称地，fy?x,y??? …… 10分 x?yx?yx?y??x,y???0,0??0,(2)f?x,y?在?0，0?点可微，从而在?0，0?点也连续 …… 3分因为?f?f?0??x,0???yf0???,0??f?,，y?fx??0,0??0?x，fy??0,0??0.

第 4 页（共6页）

????x????y?22 ，

f??x,?y?12211.

????x??ysin??sin???????????x?2???y?2所以 lim??0f??x,?y??lim?sin1?0， …… 7分 ??0??即 lim??0?f???fx??0,0??x?fy??0,0??y???0.

??f?fx??0,0??x?fy??0,0??y?????,???0?

∴f?x,y?在?0，0?点可微 . …… 8分（3）偏导函数在?0,0?点不连续. …… 2分

?1x1?cos因为极限limfx??x,y??lim?2xsinx?0x?0x2?y2x2?y2x2?y2y?0y?0?由limfx??x,x??lim2xsinx?0???不存在： ??x?0???1?1cos1?不存在，即知

2x22x?? （或由沿直线y?0,x?0?时极限不存在，即知）

所以fx??x,y?在在?0,0?点不连续 . …… 6分同理，fy??x,y?在?0,0?点也不连续 . …… 7分九、（12分）计算曲线积分（R?1），取逆时针方向.

xdy?ydx??L4x2?y2，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周

?yy2?4x2?Qx?P,Q?解：P?2，则，(x,y)?(0,0) ???y(4x2?y2)2?x4x?y24x2?y2在不含原点的区域上积分I?xdy?ydx?Lx2?y2与路径无关. …… 2分

当R?1时，由Green公式，得