新北师大版小学六年级数学上册单元教案（含板书设计及教学反思）

本单元是在学生已经直观地认识了圆的基础上,进一步了解圆各部分的名称,认识圆的轴对称特征,然后继续探究圆的周长计算公式及圆的面积计算公式,为今后圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积与体积计算、圆锥的体积计算打下基础。圆是小学阶段要学习的最后一个平面图形,与之前学习的由线段围成的平面图形有所不同,在探究周长计算公式的过程中,渗透着“化曲为直”的数学转换思想;在探究圆的面积计算公式的过程中,除了渗透转换的数学思想外,还涉及了极限的数学思想的渗透。同时“圆周率的历史”的介绍是很好的德育教材,有助于增强学生的民族自豪感,要充分发挥学科的整合教育功能。本单元学习的内容主要是圆的认识(一)、圆的认识(二)、欣赏与设计、圆的周长、圆周率的历史、圆的面积。

学生在第一学段已经直观地认识了圆,并学习了长方形、正方形等平面图形及它们的周长、面积计算,在此基础上本单元进一步学习圆的知识。学生在学习平行四边形、三角形、梯形等面积计算公式的推导过程中,已经接触过“转换”的数学思想,这些都为本单元研究探讨圆的周长计算公式、圆的面积计算公式奠定了基础。

1.结合生活实际,通过观察、操作等活动认识圆及圆的对称性,认识半径、直径,理解同一圆中半径和直径的关系,体会圆的特征及圆心和半径的作用,会用圆规画圆。

2.结合具体情境,通过动手拼摆等活动,探索并掌握圆的周长和面积的计算方法,体会“化曲为直”的思想。

3.结合欣赏与绘制图案的过程,体会圆在图案设计中的应用,能用圆规设计简单的图案,感受图案的美,发展想象力和创造力。

4.通过观察、操作、想象图案设计等活动,发展空间观念。

5.结合具体情境,体验数学与日常生活的密切联系,能用圆的知识来解释生活中的简单现象,解决一些简单的实际问题。

6.结合圆周率发展历史的阅读,体会人类对数学知识的不断探索过程,感受数学文化的魅力,激发民族自豪感,形成热爱数学的积极情感。

1.结合具体情境,通过丰富多彩的活动,促进学生对圆的特征和圆的对称性的认识。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合,这是圆的本质特征。在渗透圆的本质特征时,要遵循“借助生活经验—利用动手操作—解释生活现象”的线索。可以通过“套圈”游戏情境,引导学生思考哪一种方式更公平,借助学生的生活经验,使学生初步感受圆的本质特征及圆与正方形的不同。在此基础上安排“画圆”活动,在学生探索如何画圆及亲自动手画圆的过程中,体会圆的本质特征,目的是让学生在进一步巩固用圆规画圆的过程中,认识到同一个圆中半径与半径、直径与直径的关系,并且感受到圆心和半径对确定圆的位置和大小的作用,这实际上是对圆的本质特征的又一次体会。进而引导学生思考和研究,运用所学的知识解释生活中的一些现象,进一步体会圆的本质特征。

2.开展测量活动,探索圆周率的意义及圆周长的计算方法。

引导学生根据周长的意义,想办法测量不同圆的周长,并测量不同圆的直径,然后组织学生开展实验探究活动,探究“圆的周长与什么有关,有什么关系”。最后让学生利用测量得到的数据,计算每个圆的周长与直径的倍数关系,把不同圆的有关数据通过表格的形式呈现出来,发现圆的周长总是直径长的3倍多一些。在实验探究的基础上,了解圆周率并得出圆周长的计算公式。

3.经历探索圆面积计算公式的过程,体会“化曲为直”的思想。

圆是学生第一次接触的曲线围成的图形,研究曲线图形的一个基本思想是“化曲为直”。教材力图通过不同情境,不断引导学生体会这一思想。在“圆周率的历史”中,教材介绍了运用正多边形逼近圆计算圆周率的方法,使学生体会了“化曲为直”的思想。特别是在探索圆面积的计算公式的过程中,教材集中体现了“化曲为直”的思想。

4.结合适当的素材体现数学的文化价值,引导学生感悟数学文化的魅力。

数学是人类的一种文化,要注重结合适当的素材体现数学的文化价值,引导学生感悟数学文化的魅力。如挖掘圆周率蕴含的教育价值,让学生了解自古以来人类对圆周率的研究历程,领略与圆周率有关的方法,从而感受到人类对数学知识的探索过程,感受数学的魅力。同时结合刘徽、祖冲之等数学家研究圆周率取得的成就的介绍,激发学生的民族自豪感。

1 2 3 4 5 6 7 8

圆的认识(一) 1课时 圆的认识(二) 1课时 欣赏与设计 1课时 圆的周长 1课时 圆周率的历史 1课时 圆的面积(一) 1课时 圆的面积(二) 1课时 练习一 1课时

圆的认识(一)。(教材第2~4页)

1.结合生活实际,在观察、操作、交流等活动中,经历认识圆的过程。知道圆各部分的名称,了解“同一个圆中半径都相等、直径都相等”,体会圆的特征及圆心和半径的作用,会用圆规画圆。

2.结合具体的情境,体验数学与日常生活密切相关,能用圆的知识来解释生活中的简单现象。

3.对周围环境中与圆有关的事物有好奇心,发展初步的空间观念。

重点:理解同一圆中半径和直径的关系。

难点:用圆的知识来解释生活中的一些简单现象。

课件、圆规、直尺。

师:小朋友们,你们玩过套圈游戏吗?看看图中的小朋友们玩套圈游戏,比谁能套中小旗,对于这样的站立方式,你有什么想法?同桌先交流一下。(课件出示:教材第2页图一)

生1:我觉得像第一幅图中那样站立,比赛是不公平的。因为站在中间的小朋友距离目标比较近,站在边上的小朋友距离目标比较远,这样每个小朋友和小旗的距离是不相等的,所以大家站成一条直线进行套圈时,比赛是不公平的。

生2:我觉得像第二幅图中那样站立,比赛也是不公平的。因为站在正方形边上的四个人距离目标比较近,站在正方形顶点上的四个人距离目标比较远,这样每个小朋友和小旗的距离也是不相等的,所以大家站成正方形进行套圈时,比赛也是不公平的。

生3:我觉得像第三幅图中那样站立,比赛是公平的,因为每个小朋友和小旗的距离是相等的,所以游戏才是公平的。

师:看来“圆”确实与正方形等图形有不同之处,今天我们就一起来认识圆,研究圆的特征。

【设计意图:借助学生的生活经验让学生初步感受圆的本质特征及圆与正方形的不同。这样的问题情境对学生来说,具有一定的趣味性和挑战性,容易激发学生探究的兴趣,激发学生学习的主动性。】

1.画圆。

师:你们自己能想办法画一个圆吗?试一试。 学生尝试自己动手画圆。

师:谁能展示你自己画的圆?说说你是怎么画的。 学生可能会说:

? 我用一个图钉套住一根线钉在白纸上,线的另一端拴在笔上,线拉紧画一圈就得到一个圆。

? 我用圆规画了一个圆,把圆规的一脚的针尖固定在一点上,另一只脚旋转一周就可以了。

? 我可以用手指画圆,把拇指和食指张开,拇指摁住不动,食指旋转一周就画好了一个圆。

……

师:这些方法都能画出一个圆,很好。同学们好好想一想画圆的时候我们要注意什么。 生1:中间的点要固定,不能动。

生2:用线画圆时,线要拉直,线的长度不能变。 ……

师:为什么中间的点要固定不动,线要拉直呢?如果线没有拉直,会怎么样呢?

生:如果中间的点动了,就没有办法把圆画好,如果线没有拉直,圆就不圆了,可能会成为椭圆等其他图形。

2.认识圆各部分的名称。

圆各部分的名称:①圆中间的一点是圆心,一般用字母O表示。②连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径,如线段OA是半径,通常用字母r表示。③通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径,如线段BC是直径,通常用字母d表示。

3.想一想。

师:半径之间、直径之间、半径与直径之间有什么关系呢?可以在小组里研究讨论一下。 学生进行小组探究活动。

师:谁愿意把你的想法告诉大家呢? 学生可能会说:

? 圆有无数条直径,有无数条半径。

? 同一个圆中所有的半径都相等,所有的直径都相等。 ? 同一个圆中,直径是半径的2倍,用字母表示是d=2r。 ……

师:说得非常棒!请大家再画一画,想一想圆的大小与什么有关,圆的位置与什么有关。 生1:圆的大小与半径的长短有关。 生2:圆的大小与直径的长短有关。 生3:圆的位置与圆心的位置有关。 4.试一试。

师:我们日常生活中的车轮是什么形状的? 生:车轮一般都是圆形的。

师:如果把车轮做成正方形、椭圆形的形状,在平面上滚动起来又会怎么样呢?现在老师把车轮分别做成了圆形、正方形和椭圆形的形状,车轴装在了点A的位置,大家仔细看看车轮在平面上滚动时点A留下的痕迹。想象一下假如你坐在这样的车上会有什么感觉。(课件演示)

生1:只有圆心的痕迹是直线的,坐在圆形轮子的车上,运行起来比较平稳、比较舒服。 生2:其他形状的轮子运行起来比较颠簸,坐在这样的车上一定很不舒服。 师:现在谁知道车轮为什么是圆的?为什么圆心的痕迹是直线?

生:因为从圆心到圆上任意一点的距离都相等,所以圆形车轮在平面上运行时,圆心的运动轨迹是一条直线,坐在这样的车上感觉比较舒服。

师:说一说圆和其他图形有什么不同。

生:圆是由曲线围成的,没有顶点没有角;像长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形等这些学过的图形,都是由线段围成的,有顶点也有角。

【设计意图:联系生活实际学习数学,是课程标准的一个基本要求。从生活常见的图形中探究学习,知道了圆各部分的名称,掌握了圆的特征,理解半径和直径之间的相互关系,使学生体验了数学与生活的联系,激发了学生的求知欲。】

师:在本节课的学习中,你有什么感受?有哪些收获? 学生可能会说:

? 圆真是奇妙啊!可以用我们学到的关于圆的知识解释很多生活中的现象。

? 通过学习,我知道了数学与生活的联系很紧密,我们只有好好学习数学,才能用我们学到的知识更好地解决生活中的问题。

……

【设计意图:引导学生回顾一节课的内容,既可以促使学生加深对知识点的印象,又能够在一定程度上帮助学生总结学习经验,培养学生的综合数学素养。】

圆的认识(一)

画圆

同一圆中,直径是半径的2倍,半径是直径的一半错误！未找到引用源。

1.联系生活经验,激发学生的求知欲。从学生熟悉的“套圈”游戏引入,抛出学生感兴趣的问题,引导学生思考游戏怎样才公平,调动了学生学习的积极性,使全体学生积极参与到数学学习中。

2.引导学生在活动中不断感悟圆的本质特征。“套圈游戏的公平性”“车轮为什么是圆的”这些问题的探讨都是为了让学生充分体会“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”。

3.生活化的问题情境,能激起学生的生活体验,让学生感受到数学在生活中无处不在,从而能培养学生自觉地用数学的思维方式,来观察和解决生活中的实际问题。

A类

1.体育课上老师组织同学们做游戏,想画一个直径为10米的圆,你能运用学过的知识,帮老师解决这个问题吗?

(考查知识点:画圆;能力要求:能结合实际情况灵活地按要求画圆。)

2.想一想为什么瓶盖都是圆形的,结合我们所学知识写出你的想法。

(考查知识点:圆是由封闭曲线围成的图形;能力要求:能运用所学知识解释生活中的一些问题或现象。)

B类

3.分别量出圆内三条线段的长度(如右图)。你发现了什么?

(考查知识点:认识直径,知道直径是圆内最长的线段;能力要求:能准确测量直径的长度,知道圆内最长的线段是直径。)

课堂作业新设计

A类:

1.找一根长为5米的绳子,把绳子的一端固定做圆心,拉直绳子用另一端绕固定的一端旋转一周,就画好了直径为10米的圆。

2.因为圆是由封闭的曲线围成的,瓶盖是圆形的没有棱角容易拧,安全美观,而且瓶口是圆形的,圆心到圆上任意一点的距离都相等,容易往外倒水,且每个角度往外倒的流量都一样。

B类: 3.测量略。

发现:直径是圆内最长的线段。 教材第3页“练一练”

1.圆的半径都是相等的,当人们围成圆形时,表演者就处于圆心的位置,那么每个人与表演者的距离就是相等的,可以让每个人看得都很清楚。

2.画图略。

3. 半径:2.5米 4.16米 直径:4分米 1.2厘米 3.6分米 4.骑上这样的自行车会比较颠簸。做一做略。

5.4厘米 8厘米 3厘米 6厘米 4厘米 2厘米 6.系绳画圆法、实物画圆法等等。

7. (1)圆形的井盖边缘到圆心的距离处处相等,无论井盖怎样旋转井盖也不会掉到井中。如果井盖是方形的,方形的一边要比其对角线短,一旦井盖翻转,就有可能落入井中。

(2)水的涟漪是圆形的,是因为物体落入水中的位置就是圆心,这时水受到的力是均匀的,就会等距离向四周扩散,就形成了圆形。

8.略

圆的认识(二)。(教材第5~6页)

1.通过“折一折”活动,探索并发现圆是轴对称图形,理解同一个圆中半径与直径的关系。 2.进一步理解轴对称图形的特征,体会圆的对称性。

3.在“折纸找圆心、验证圆是对称轴图形”等活动中,发展空间观念。

重点:进一步理解轴对称图形的特征,体会圆的对称性。 难点:在折纸的过程中体会圆的特征。

课件,圆形纸片、长方形纸片、正方形纸片、平行四边形纸片等。

师:同学们,通过上一节课的学习,我们已经知道了圆的各部分名称,知道同一圆中所有的直径都相等,所有的半径都相等,且直径是半径的2倍,今天这节课我们就一起来研究圆的特征,看看圆是不是轴对称图形。

学生大胆猜测。

师:我们通过怎样的活动,来验证我们的猜测呢? (折纸活动,通过折一折,看折痕两侧是否能完全重合)

【设计意图:在学生初步认识圆的基础上,引导学生动手折纸,借助折纸游戏调动学生参与数学活动的积极性,为本节课探究圆的特征创设民主和谐的课堂氛围。】

1.圆是轴对称图形。

师:我们一起来做一个小游戏,将圆形纸片对折,打开,换个方向再对折,打开,反复几次。试试看,你发现了什么?

学生动手折纸后,交流汇报。

生1:将圆沿直径对折,正好完全重合,圆是轴对称图形。

生2:圆是轴对称图形,这些折痕都是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 生3:圆的所有对称轴相交于圆中心的一点。 2.其他轴对称图形。

师:我们学过的图形中哪些是轴对称图形?有几条对称轴?拿出我们的学具做一做,把结果填在教材第5页的表格中。

学生动手操作,填写表格。

教师组织交流汇报,师生共同完成表格。(课件出示:教材第5页表格) 图形名称 正方形 长方形 等边三角形 等腰三角形 等腰梯形 平行四边形 有几条对称轴 4 2 3 1 1 0 3.找圆心。

师:你有办法找出一个圆的圆心吗?先跟同桌讨论一下。 同桌之间进行讨论交流。

师:谁愿意把自己的办法告诉大家呢? 学生可能会说:

? 我们可以把圆形纸片对折,再对折,打开后两条折痕的交点就是圆心。 ? 我们可以在圆内从不同角度画两条最长的线段,这两条线段的交点就是圆心。 …… 4.画一画。

师:请打开教材第5页,找出最下面各图的对称轴。画一画,并与同伴进行交流。 学生尝试画图,并与同伴进行交流。 教师组织学生交流展示结果。

【设计意图:在动手操作、观察实践活动中,使学生认识圆的轴对称性。让学生在独立思考的基础上表达自己的观点和思考的策略,让更多的学生参与交流,锻炼学生的综合能力。】

师:今天这节课,你知道了什么?是怎样获得这些收获的? 学生可能会说:

? 我知道了圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,所有的对称轴都相交于圆心。 ? 我学会了找出一个圆的圆心的方法。 ? 我觉得知识的获得离不开动手操作。 ? 动手操作是我们获取知识的有效途径。 ……

【设计意图:引导学生回顾一节课知识点的同时,教会学生总结探究的方法,掌握获取知识的策略和有效途径,培养学生的学习能力。】

1.通过创设一个“找圆心”的情境,引导学生开展折纸活动,利用经验找出这个圆的圆心,进一步理解圆的轴对称特征。

2.教学时,让学生回忆已经学习过的平面图形,想一想,画一画,折一折。引导学生对已学过的轴对称图形进行整理,进一步理解轴对称图形的特征,在统计对称轴数量的对比中,发现这些轴对称图形的不同特点,突出圆具有很好的轴对称性。

A类

1.你有办法测量出下面没有标出圆心的圆的直径吗?试一试。

(考查知识点:找圆心测量直径;能力要求:能运用所学知识测量没有标出圆心的圆的直径。)

B类

2.某工厂的车工师傅接到一项加工圆形轮子的任务,其图样只有圆形残破轮子的部分(如图),请你帮助车工师傅测量一下:

(1)找圆心,请你写出找圆心的方法,并在图中标出圆心。 (2)量出它的直径d=( )。w

(3)请你用所学知识帮车工师傅把图样复原。在图上补画出来。

(考查知识点:找圆心,测量直径,画圆;能力要求:能综合运用所学知识解决生活中的一些实际问题。)

课堂作业新设计

图1

图2

图3

A类:

1.方法1:可以根据“直径所在的直线就是圆的对称轴”,把圆对折,折痕就是圆的直径。(这种方法只有在圆是纸片等可以折叠的物体时才能使用)

方法2:把直尺的0刻度固定在圆周上的任意一点,慢慢移动直尺的另一端,测量出圆内最长的线段就是直径。

方法3:在圆的两侧画两条相互平行的直线(像书中那样在圆的两侧放好两个直角三角板,两直角边互相平行。),把这两条平行线与圆的两个交点(AB)用线连起来,这条线段AB就是圆的直径。(如图1)

方法4:在圆内画一个长方形(或最大的正方形),使长方形的四个顶点都在圆上,连接长方形(或最大的正方形)的对角线,对角线就是圆的直径(两条对角线的交点就是圆的圆心)。(如图2)

方法5:在圆内画一个直角三角形,使三角形的三个顶点都在圆上,那么直角三角形的斜边就是圆的直径。(如图3)

B类:

2.(1)利用完整的边缘,过两点作圆内最长的线段并画出来,换两点再测量一次并画出来,两条线段的交点就是圆心。如下图(左侧)。

(2)2.2厘米 (3)复原图样如下图(右侧)所示。

教材第6页“练一练”

1.

2. (1)25毫米 (2)1角硬币的直径是18毫米;5角硬币的直径是20毫米。 3. (1)右 4 右 6 (2)下 3 左 2

(3)(答案不唯一)从位置A向右平移8格,再向下平移2格到位置F。

4.发现:(1)正方形旋转90°后与原图形重合;等边三角形旋转120°后与原图形重合;圆无论旋转多少度都与原图形重合,所以圆有很好的旋转对称性。

(2)正方形旋转一周,与原图形重合4次;等边三角形旋转一周,与原图形重合3次;圆旋转一周,与原图形重合无数次。

欣赏与设计。(教材第7~8页)

1.在欣赏与绘制图案的过程中,体会圆在图案设计中的应用,能用圆规设计简单的图案。 2.在设计图案的活动中,进一步体会圆的对称性等特征。 3.感受图案的美,发展想象力和创造力。

重点:进一步巩固对所学图形特征的认识。

难点:运用所学的图形设计图案,培养学生的想象力和创造力,使学生体会到图形世界的神奇和美丽。

课件、圆规、直尺等。

师:同学们,在很早以前,我们的祖先就开始利用圆形设计美丽的图案,装饰自己的生活。在我们的日常生活中,也有大量用圆构成的图案;在数学中,也有很多美丽的图案不一定是很复杂的,有时简单也是一种美。请大家好好欣赏下面的图案。(课件出示:教材第7页最上面的图案)

学生欣赏图案,说说这些图案分别像什么,它们的名字是怎样来的?

【设计意图:使学生体会到图案名字与其形状之间的关系,暗示学生可以根据生活中的物品或图形的形状设计图案,为下面图案设计的教学做好铺垫。】

师:这些图案漂亮吗?你有自己设计的漂亮图案并展示给大家看吗?这节课我们一起来欣赏图案,设计图案!

【设计意图:借助多媒体课件,把美丽的图案展示给学生欣赏,调动学生的积极性,激发学生探究、设计漂亮图案的兴趣。】

1.图案的形成。

师:说一说刚才我们看到的这些图案是怎样形成的。(课件出示:教材第7页最上面的图案)

学生可能会说:

? 风车图是由1个大圆和4个相同的小的半圆组成的。

? 太极图是由1个大圆和2个小的半圆,还有2个更小的圆组成的。 ? 心脏线是由4对大小相同的圆和3个最大的圆组成的。

? 螺旋线是由2个相等的四分之一圆和4个越来越大的四分之一圆组成的。 师:同学们观察得很仔细,说得较有条理。接下来,我们就要学习图案的画法。 2.图案的画法。

师:看一看下面的图案是怎样画出来的,先跟同桌说一说。(课件出示:教材第7页中间的图案)

生1:第一个图案的画法是先画一个大圆,再画一条水平的直径和一条竖直的直径(要使两条直径相互垂直),这样圆就被平均分成了四份;接着分别以大圆的四条半径为直径,顺次画出四个小半圆;最后照书中的样子,给图案涂色就可以了。

生2:第二个图案的画法是先画一个圆,然后画一条竖直的直径,接着分别以大圆的两条半径为直径,在大圆内的上、下各画一个小半圆,最后照书中的样子给图案涂色就可以了。

师:画法说得不错,一定要注意画的图案要涂色才会更美丽。现在请同学们按照这样的步骤,自己试着画一画。

学生尝试画图案,教师巡视,指导个别学习有困难的学生。

教师组织学生展示交流画图案的结果,对于优秀的作品要给予肯定和表扬。 3.图案的设计。

师:你能画出下面的图案吗?自己试一试,然后和小组同学互相看一看,选出画的最棒的一幅。(课件出示:教材第7页最下面的图案)

学生尝试自己画图案,并与小组同学交流,选出小组内画得最好的作品。

师:现在请每个小组把自己的代表作品展示给大家看,选出咱们班里最棒的作品。 学生欣赏作品,评选优秀作品。

师:你能自己设计一个有趣的图案并与同伴交流吗?试一试。 学生尝试自己设计图案,然后组织交流展示。教师可以以参与者的身份,展示下面的图案设计,启发学生的设计灵感。

【设计意图:在分析图案的形成、画法的基础上,引导学生自己设计图案,经历图案创作的过程,充分发展空间想象力。】

师:在本节课的学习中,你有哪些收获呢?

生1:原来生活中许多复杂的图案,都是由我们数学中的简单图形经过平移或旋转得到的,数学知识在生活中很常见啊。

生2:我掌握了用圆形设计漂亮图案的方法。 ……

师:是啊,生活中处处有数学,所以我们一定要学好数学,才能用数学帮助我们解决生活中更多的问题。

【设计意图:让学生感受到现实生活不仅离不开数学,而且数学给我们的生活带来了美,感受数学与生活的密切联系,激发学生学习数学的动力。】

1.运用所学的图形设计图案,不仅能培养学生的想象力和创造力,使学生体会到图形世界的神奇和美丽,而且在分析图案和创造图案时,学生还将进一步巩固对所学图形特征的认识。因此,在认识圆后,学习“欣赏与设计”的内容,教学中要给予充分地重视。

2.从学生已有的知识基础出发,让学生感受到对称图案的美,并体验到美丽的复杂图案,其实是由简单的图形经过平移、旋转得到的。通过小组合作探究、交流,让学生感受数学与实际生活密不可分。

3.随着年龄的增长和视野的开拓,六年级的学生已经具有一定的审美和想象能力,在学生初步认识圆的基础上,让学生通过观察、操作、想象和设计,进一步体会圆的对称性。同时也培养学生感受美的能力,发展学生的想象力和创造力。

A类

1.右图是太极图。

圆圆的太极图,一条黑眼阳鱼,一条白眼阴鱼。鱼头鱼尾互相环抱,它们相互依存、相互制约、亲亲和和交游互回,共处于一个有机整体“太极”里。太极图是我们中华民族的骄傲。它所蕴含的哲学意义和科学价值早已举世公认,不仅成为中华文化的象征,而且也成为东方文化的象征,更成为人类文化与地球文明的标志。它是我们祖先奉献给全人类的无价之宝。

(1)量出有关圆的直径的数据。(提示:两个黑、白小圆一样大) (2)根据以上的数据画出同样的太极图。

(考查知识点:测量直径和图案的欣赏与设计;能力要求:能根据实际要求画出图案。)

B类

2.在下面的圆中添上几笔,设计成生活中的物品或标志。

(考查知识点:图案的欣赏与设计;能力要求:能运用圆形设计符合要求的图案。)

课堂作业新设计

A类:

1. (1)大圆直径2.8厘米,半圆直径1.4厘米,小圆直径0.5厘米。 (2)画图略。 B类:

2.

教材第8页“练一练”

1. (1)先画逗号左下角上边的弧线,也就是圆的四分之一,再画一个圆的四分之三是逗号上面的部分,最后画圆的四分之一是逗号最下面的弧线。(画图略)

(2)先用圆规画一个大圆,再分别画两条互相垂直的直径,然后以大圆的半径为小圆的直径在水平方向并排画两个小圆,以同样的半径在竖直方向画两个小圆,最后照书中的样子进行涂色。(画图略)

2.略

3.我的设计:

4. (1)运用直线包络画圆:由正方形(正四边形)变成正八边形,然后是正十六边形,正三十二边形……边数越多越接近圆形。

(2)发现:当正多边形的边数增加得越多,它的形状就越接近圆。

圆的周长。(教材第9~11页)

1.认识圆的周长,能用滚动、绕绳等方法测量圆的周长。在观察、测量、讨论等活动中,经历探索圆的周长公式的过程。

2.理解并掌握圆的周长公式,会用字母表示,能运用周长公式进行计算并解决一些简单的实际问题。

3.体验圆与日常生活的密切联系,探索圆周长的计算方法。

重点:理解并掌握圆的周长公式。

难点:能运用周长公式进行计算,并解决一些简单的实际问题。

课件,1元、5角、1角的硬币各一枚,直尺,细绳,圆片。

师:同学们,谁能告诉大家什么是图形的周长?举例说明。

生:图形的周长就是围成图形所用线段的长度之和,如长方形的周长就是围成长方形的所有边长的总和。

师:圆的周长是指哪儿呢?指给同学们看看,告诉大家。

生:(边指圆片边讲解)圆形的周长就是围成圆形的曲线的长度。

师:请看下面的两辆车子,车轮转动一周,哪辆车子行驶的路程远?为什么?(课件出示:教材第9页最上面图)

生:车轮大的车子行驶的路程远,因为轮子越大,滚一圈就越远。

师:人们很早就发现,轮子越大,滚一圈就越远。车轮滚一周的长度就是它的周长。今天我们就一起来研究“圆的周长”。

【设计意图:心理学实验证明“理解的知识才能牢固掌握,理解的标志是学生能用自己的话说出来。”让学生观察并揭示圆周长的概念,在此过程中,学生加深理解圆的周长的概念,初步感受车轮的周长与直径的关系,体会数学与生活的密切联系,感受数学就在自己的身边。这样既激发了学生的学习兴趣,又为下面测量圆的周长指出了方法。】

1.测量周长。

师:我们该如何测量车轮的周长呢?用手中的圆片试试看。可以小组合作。 学生在小组内合作,测量圆片的周长 师:说说你是怎样测量圆片周长的。 学生可能会说:

? 我们可以在圆片的边缘做一个记号,把这个记号与直尺上的0刻度对齐,然后把圆片在直尺的边缘上向右滚动一周,就能测量出圆片的周长。

? 我们也可以用细绳绕圆片一周,然后把细绳拉直,用直尺测量出细绳的长度,就是圆片的周长。

师:不管是用“滚动法”,还是“绕绳法”,我们都可以成功地测量出圆片的周长。在这个过程中,其实质就是我们把曲线转化成直线,进而测量其长度。这种“化曲为直”的方法,有效地帮我们解决了测量圆的周长的问题。

2.提出猜想。

师:你觉得圆的周长可能与什么有关呢? 生1:圆的周长可能与直径有关。 生2:圆的周长可能与半径有关。 3.验证猜想。

师:圆的周长真的与其直径或半径有关吗?正方形的周长是边长的4倍,圆的周长与直径或半径也有倍数关系吗?这些问题只有经过实验才能得出正确的结论。现在请同学们在小组里进行合作,分别测量1元、5角和1角硬币的周长和直径,并完成下面的表格。(课件出示:教材第9页表格)

学生进行小组活动,分别测量3枚硬币的周长和直径,计算并完成表格。 教师组织学生交流汇报,师生共同完成表格的填写。 师:观察上表,你能发现圆的周长与直径有什么关系吗? 生:圆的周长总是直径的3倍多一些。

师:实际上,圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫作圆周率,用字母“π”表示,计算时通常取3.14。

4.总结公式。

师:你能根据圆的周长与直径之间的关系,写出圆的周长的计算方法吗? 学生可能会说:

? 可以用直径乘圆周率。

? 因为同一个圆中,直径是半径的2倍,所以如果已知半径,可以先让半径乘2再乘圆周率。

师:如果用C表示圆的周长,那么C=πd或C=2πr。 5.运用公式。

(1)师:自行车车轮的直径是70厘米,滚一圈有多远?试试自己解答。 学生尝试自己解答,教师巡视指导个别学习有困难的学生。 师:谁愿意把自己的想法告诉大家?

生:求车轮滚一圈的距离就是计算车轮的周长,根据圆的周长公式C=πd,可知3.14×70=219.8(厘米)。

(2)师:你能计算出下面图形的周长吗?(课件出示:教材第10页“试一试”第3题图)可以跟同桌讨论。

同桌讨论,共同解决问题。

师:谁能告诉大家,怎样计算这个图形的周长?

生:这个图形的周长是指一个大圆周长的一半和一个小圆的周长之和,所以应该是3.14×(3×2)÷2+3.14×3=18.84(厘米)。

教师对于解答正确的学生要适时给予肯定表扬。

【设计意图:这部分内容主要是让学生动手操作、自主探讨,并通过观察发现问题,参与合作交流,归纳总结,获取解决问题的方法,让学生获得一定的情感体验,享受成功的愉悦。提高学生分析、推理、概括的能力,发展学生的空间观念。】

师:今天的学习,你有什么收获呢? 学生可能会说:

? 我知道了圆的周长公式是C=πd或C=2πr。

? 我们用“化曲为直”的方法,测量出了圆的周长,进而总结出了圆的周长公式。 ? 我们可以根据圆的周长公式,解决一些简单的实际问题。 ……

【设计意图:不仅关注了本课的知识重点,更关注了学生的情感体验,有效地激励了学生学好数学的信心。】

圆 的 周 长

1.“圆的周长”是学生在已经初步认识圆、了解圆的特征的基础上,进一步探索圆的相关知识。在此之前,学生已经理解“周长”的内涵,并具有了长方形、正方形周长计算的经验,

而且接触过一些转化的数学思想,这都为本节课的教学奠定了基础。本节课的重点就是让学生经历圆周率的探索过程,明白圆周率是一个固定不变的值,从而为理解圆的周长公式做好铺垫。

2.在引导学生测量时,把教材中要求学生“测量三个大小不同的纸片”换成了“分别测量1元、5角、1角的硬币”。这样就有效地避免了因纸片过薄不容易测量周长而产生误差的可能性,再就是考虑到三种规格的硬币测量结果误差较小,并且容易使学生理解“测量中人为因素”在一定程度上会影响计算结果。这样在后面的计算中,学生更容易概括出“圆的周长是其直径的3倍多一些”。

3.按照“带领学生走向知识”的理念,培养学生的动手操作能力和创新精神,让学生经历知识生成的过程,引出学生数学思考,促进学生主动沟通知识的内在联系,让我们的数学课堂深刻起来。促使学生切实体会到数学就在我们身边,数学学习是有价值的。让学生对所学知识做到灵活运用,培养学生活学活用的本领。特意安排了由易到难的分层次针对性练习,通过圆周长公式的应用,使得学生内化了公式,掌握了新知,并充分体会到数学来源于生活又运用于生活的思想。

A类

1.求右图半圆的周长。(单位:分米)

(考查知识点:半圆周长的计算;能力要求:能灵活运用圆的周长公式解决简单的问题。)

B类

2.从一块边长是40厘米正方形的铁皮中剪去一个最大的圆,这个圆的周长是多少厘米? (考查知识点:圆周长的计算;能力要求:运用圆的周长公式解决简单的实际问题。)

课堂作业新设计

A类:

1. 3.14×5+5×2=25.7(分米) B类:

2. 3.14×40=125.6(厘米) 教材第10~11页“练一练”

1.画图略。 (1)3.14×10=31.4(厘米) (2)略 (3)略 2. 4 4

3. 3.14×(3×2)=18.84(厘米) 18.84>18 18厘米长的丝带不够。 4. 3.14×(0.3×2)=1.884(米) 1.884×1000=1884(米) 5. 62.8÷3.14=20(米) 6. 3.14×6÷2=9.42(米)

7.先测量出直径为2厘米,寻找出圆心后把圆画完整,然后计算圆的周长。(画图略) 3.14×2=6.28(厘米)

8. 3.14×10=31.4(厘米)

9.甲:2×4=8(厘米) 乙:3.14×2=6.28(厘米) 8>6.28 甲走的路程长。

10.略

圆周率的历史。(教材第12~13页)

1.阅读圆周率发展的历史,体会人类对数学知识不断探索的过程,感受数学文化的魅力。 2.了解圆周率的历史,激发民族自豪感和探索精神。

重点:了解圆周率的历史。

难点:体验数学研究方法的发展过程,为今后的数学学习提供参考价值。

课件。

师:同学们,在研究圆的周长计算公式时,我们知道圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫作圆周率,用字母π表示,计算时通常取3.14。关于“圆周率”你还想了解什么呢?

学生可能会说:

? 人类是怎样发现圆周率的? ? 圆周率的值究竟是多少呢? ? 计算圆周率的方法有哪些? ……

师:同学们的问题还真多。这节课我们就一起来了解圆周率的历史。

【设计意图:引导学生质疑,激发学生学习的兴趣,为本节课阅读了解圆周率的历史营造良好的学习氛围】

1.测量的方法计算圆周率。

师:请同学们认真阅读下面的文字,看看人类解决关于圆周率问题的最早方案是什么。(课件出示:教材第12页第1、2、3段文字及图)

学生独立阅读。

师:从中你了解了什么?跟大家分享一下。 学生可能会说:

? 由于轮子等的广泛应用,人们很自然想到了圆周的周长与直径之间的关系,可见很多数学问题都来源于生活。

? 最早的解决方案是测量,通过测量得到了圆的周长和直径之间有一定的关系。 ? 在我国,现存有关圆周率的最早记载是2000多年前的《周髀算经》。

? 用测量的方法计算圆周率,圆周率的精确程度取决于测量的精确程度,而许多实际困难限制了测量的精度,这就是测量方法的局限性。

……

2.正多边形逼近圆的方法计算圆周率。

师:除此之外,后来的人们有什么好的办法吗?请继续阅读,可以在小组里交流自己的想法。(课件出示:教材第12页第4、5段文字及图)

学生独立阅读。

师:说说读过之后你有什么收获。

生1:我知道了古希腊的阿基米德和我国古代的刘徽想到的计算圆周率的方法,从本质上都是一致的,都是用正多边形逼近圆的方法。

生2:这两种方法不同的是阿基米德的方法是从两个方向同时逼近圆,而刘徽的方法是从一个方向逼近圆。

……

3.祖冲之的贡献。

师:在研究圆周率的问题上,我国南北朝时期著名的数学家祖冲之做出了伟大的贡献,我们一起来了解一下吧!(课件出示:教材第13页第1段文字及图)

学生独立阅读。

师:祖冲之做出了怎样的伟大贡献呢?

生1:他算出了π的值在3.1415926和3.1415927之间,这一成就在世界上领先了约1000年。

生2:我通过搜集还知道,祖冲之取得的这一非凡成果,正是基于对刘徽割圆术的继承与发展,他自己是否还用了其他的巧妙办法呢?这已经不得而知,祖冲之的这一研究成果享有世界声誉,巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上介绍了祖冲之求的圆周率,莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像,月球上有以祖冲之命名的环形山……

师:是啊,祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人,在研究圆周率方面做出了伟大的贡献,取得了非凡的成就。圆周率的研究在不断地前进,用正多边形逼近圆,计算量很大,再向前推进,必须在方法上有所突破。随着数学的不断发展,人类开始摆脱求正多边形周长的繁难计算,求圆周率的方法也日新月异。电子计算机的出现带来了计算方面的革命,π的小数点后面的精确数字越来越多。2000年,已经可以计算到小数点后12411亿位。

4.交流汇报。

师:阅读这些之后,与同学交流阅读后的感受,你又知道了哪些有关圆周率的知识? 生1:我知道了刘徽用割圆术得到了π的近似值。

生2:电子计算机太神奇了,能算到这么多位!我们可以再去查查资料。 师:你还收集到了其他哪些有关圆周率的历史资料?跟大家分享一下。 学生可能会说:

? 英国数学家首先使用错误！未找到引用源。表示圆周率。π是希腊文圆周的第一个字母,而d是希腊文直径

? 1736年以后开始普遍用“π”表示圆周率。

【设计意图:将课内外相结合,把学生收集的有关人类研究圆及圆周率的资料,与教材内容相结合,使学生体会到人类对计算圆周率的探索一直没有停止过。】

师:通过今天的阅读与交流,你有哪些收获呢? 学生可能会说:

? 人类对圆周率的探索真是执着,一直没有停止过,真了不起!

? 我国南北朝时期的数学家祖冲之,在研究圆周率方面取得的成就竟然在世界上领先了约1000年,真令人感到骄傲和自豪。

? 我知道了在研究圆周率的过程中出现了不同的方法,今后我们研究问题也要多角度考虑,寻求解决问题的最佳策略。

……

【设计意图:引导学生总结收获,回顾阅读所得,既培养学生善于总结归纳的能力,又能使学生在回忆总结的过程中增强民族自豪感,培养学生的综合数学素养。】

1.通过阅读“圆周率的历史”,挖掘圆周率蕴含的教育价值,让学生了解自古以来人类对圆周率的研究历程,领略与计算圆周率有关的方法(从测量—正多边形逼近—近代的一些方法),以及π的计算的价值(如计算π值已成为评价电脑性能的最佳方法之一),从而了解数学的悠久历史和人类对数学知识的不断探索过程,感受数学的魅力,激发研究数学的兴趣。同时,结合刘徽、祖冲之等数学家研究圆周率取得的成就的介绍,激发学生的民族自豪感。

2.将课内外相结合,课前鼓励学生收集有关人类研究圆及圆周率的资料,并分小组把这些资料集中起来,加以整理。课上在组织全班交流阅读的过程中,可以穿插学生自己搜集的资料,最后交流时讲给大家听,通过文字叙述和讲解交流,展现人们探索圆周率的过程及方法的演变,体会人类对计算圆周率的探索一直没有停止过。

A类

1.判断并说明理由。

(1)大圆的圆周率大,小圆的圆周率小。( ) 理由:

(2)π=3.14。( ) 理由:

(考查知识点:圆周率;能力要求:理解并掌握圆周率。)

B类

2.根据你了解的信息,以“我来说说圆周率”为话题,写一篇数学小日记。

(考查知识点:圆周率;能力要求:具有搜集资料、整理资料、语言表达等多种综合能力。)

课堂作业新设计 A类:

1.(1)? 理由:圆周率是一个固定不变的数。

(2)? 理由:π是一个无限不循环小数,计算时通常取近似值3.14,但它并不是等于3.14。

B类: 2.略

圆的面积(一)。(教材第14~15页)

1.了解圆的面积的含义,经历估算和小组操作、讨论等探索圆的面积公式的过程。 2.理解并掌握圆的面积公式,能正确运用公式进行计算,解决一些简单的实际问题。 3.体验推导圆面积公式时的探索性和结论的确定性,感受“化曲为直”的转化的数学思想和方法。

重点:经历圆的面积公式的推导过程,理解并掌握圆的面积公式,能运用公式解决简单的实际问题。

难点:推导圆的面积计算公式。

课件,大小相等的圆形纸片(8等分的圆形纸片、16等分的圆形纸片)。

师:同学们,上节课我们学习了“圆的周长”,谁能告诉大家圆的周长公式是什么? (C=πd或C=2πr)

师:这节课我们主要研究“圆的面积”。谁能说说什么是图形的面积?圆的面积指什么? (明确:圆所占平面的大小就是圆的面积)

师:你还记得当初我们用什么方法推导出平行四边形、三角形、梯形的面积公式吗? 学生可能会说:

? 我们用割补的方法推导出了平行四边形的面积公式,就是沿着平行四边形的一条高剪下一个三角形,平移后补在另一边就可以转化成长方形,长方形的长就是平行四边形的底,长方形的宽就是平行四边形的高,所以平行四边形的面积=底×高。

? 推导三角形的面积公式,我们也用到了转化的方法,用两个完全相同的三角形就可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底就是三角形的底,平行四边形的高就是三角形的高,而一个三角形的面积是平行四边形面积的一半,所以三角形的面积=底×高÷2。

? 梯形面积公式的推导,我们同样用到了转化的方法,用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底是梯形上底与下底的和,平行四边形的高是梯形的高,而一个梯形的面积是平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。

师:这三种图形面积公式的推导方法有什么共同之处?

生:都是借助转化的方法,把不能解决的问题转变成我们会解决的问题,也就是把我们不会计算面积的图形,转化成我们会计算面积的图形。

师:你能比较出这两个图形面积的大小吗?遇到了什么问题?(课件出示:圆形与正方形) 生1:不能直观地看出这两个图形的大小。能不能把“圆”转化成我们学过的图形,进而推算圆的面积呢?

生2:圆的面积是否也有计算公式呢?

【设计意图:“温故而知新”,引导学生回忆之前接触过的图形面积公式的推导过程,唤起学生已有的图形转化法推导面积公式的经验,渗透着要求圆的面积也需从转化的思想入手,既为新课教学做好充分的准备,又在潜移默化中培养学生的迁移类推能力。】

1.估算圆的面积。

师:是啊,怎样知道一个圆的面积呢?(课件出示:教材第14页最上面图)

生1:根据第一幅图只能求出圆内最大正方形的面积,剩下的面积只能估算出来。 生2:根据第二幅图可以数整方格,但不是整格的就只能估算,这样圆的面积也只能估算出来。

师:是啊,用这样的方法我们只能估算出圆的面积,根本不能知道圆的实际面积。所以要想知道圆的面积,我们应该探究圆的面积计算公式,这样才比较准确。

2.推导圆的面积公式。

师:请大家先猜一猜圆的面积与什么有关,并说说这样猜想的根据。 学生可能会说:

? 圆的面积与半径有关,因为半径决定圆的大小。

? 圆的面积可能与直径有关,因为圆的大小与直径有关。

师:同学们说得似乎很有道理,那么圆的面积可以怎么计算呢?和它的半径或直径究竟有什么关系呢?

【设计意图:因为学生已经知道圆的大小由圆的半径决定,所以让学生展开有根有据的猜想,既为下面的教学做铺垫,又培养他们合理的猜想意识。】

师:我们之前研究平行四边形、三角形、梯形面积公式时,都是把未知的问题转化成已知的问题,那么能否将圆转化成以前学过的图形呢?试一试。跟小组同学合作并交流。

学生进行小组合作。

师:谁愿意把你们小组的研究发现告诉大家呢?

生1:我们把8等分的圆形纸片经过剪拼,可以得到近似的平行四边形。 生2:我们把16等分的圆形纸片经过剪拼,也可以得到近似的平行四边形。

生3:我们把拼成的这两组图形经过对比发现,圆形纸片分的份数越多,拼出的图形越接近平行四边形。

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