必修二圆与方程导学案

高二必修二圆与方程导学案

§4.1.1圆的标准方程

1.结合问题导学自已复习课本必修II的P118页至P120页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。

2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。

3、联想学习直线方程的过程体会用代数的方法研究几何问题的思想，品味解析几何的妙处。

4、教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”， 【学习目标】

1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。

2.通过本节的学习，由问题情景入手，我们要学会分析问题的方法；通过自主学习，合作交流，体验探究新知的过程，培养“我参与我快乐”的学习精神。 【重点难点】

重点：圆的标准方程的求法及其应用。

难点：会根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择合适的坐标系解决与圆有关的实际问题。

一【问题导学】 1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是 圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是

2.圆定义

3.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 4.圆心为A(a,b)，半径为r的圆的标准方程为 . 特别的：若圆心为坐标原点，这时

a b 0

，则圆的方程是

探究：确定圆的标准方程的基本要素是 二【小试牛刀】

1. 判断下列方程是否为圆的方程？如果是，写出下列各圆的圆心坐标和半径

（1）x2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a2 (a≠0)

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(3)x2+(y+3)2=0 （4）(x+a)2+y2=a2 2、写出下列各圆的方程：

(1)圆心在原点，半径是6 (2) 经过点P(6,3),圆心为C(2,-2) 三【合作、探究、展示】

例1:写出圆心为A(2, 3)，半径长为 5 的圆的方程，并判断

点

M1(5, 7),M2( 1) 是否在这个圆上.

【规律方法总结】

点M(x0,y0)与(x a)2 (y b)2 r2的关系的判断方法： ⑴(x0 a)2 (y0 b)2 r2， 点在； ⑵ ，点在圆上； ⑶ ，点在圆内.

例 2: ABC三个顶点的坐标是A(5,1),B(7, 3),C(2, 8)，求它的外接圆的方程.

【规律方法总结】_________________________________________________ 例 ３： 已知圆C 经过点A(1,1)和B(2, 2),且圆心在直线l:x y 1 0上,求此圆的标准方程.

【规律方法总结】_________________________________________________ 变式训练： 求下列条件所决定的圆的方程：

(1) 圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；

(2) 过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切． 四【达标训练】

1. 已知A(2,4),B( 4,0)，则以AB为直径的圆的方程（ ）. A．(x 1)2 (y 2)2 52 B．(x 1)2 (y 2)2 52 C．(x 1)2 (y 2)2 52 D．(x 1)2 (y 2)2 52 2.点P(m,5)与圆的x2 y2 24的位置关系是 A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定

3.圆心在直线x 2上的圆 C 与 y 轴交于两点A(0, 4),B(0, 2)，则圆C 的方程

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为（ ）

A．(x 2)2 (y 3)2 5 B．(x 2)2 (y 3)2 25 C．(x 2)2 (y 3)2 5 D．(x 2)2 (y 3)2 25

4.圆(x 2)2 y2 5关于原点(0,0)对称的圆的方程5.过点A(2,4)向圆x2 y2 4所引的切线方程6. 已知圆经过点P(5,1)，圆心在点C(8, 3)的圆的标准方程. 7.求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x 4y 7 0相切的圆的方程. 五【课后练笔】

1.已知圆的圆心在直线2x y 0上，且与直线x y 1 0切于点(2, 1)求圆的标准方程.

2.已知圆x2 y2 25求：⑴过点A(4, 3)的切线方程. ⑵过点B( 5,2)的切线方程

3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)． 证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．

六【本节小结】

感悟： ____________________________________________________

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§4.1.2 圆的一般方程

【使用说明及学法指导】

1.结合问题导学自已复习课本必修II的P１２１页至P１２３页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。

2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。

3. 通过本节的学习，掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径。 ４. “要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是 正号 还是 负号 ，倘若是 + ，则进步；倘若是 一 ，就得吸取教训，采取措施。” 【学习目标】

1.理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件

2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法.

【重点难点】

教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.

教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

一【问题导学】

１．圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程是_______________________.

２．将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得__________________

３．能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢? 新知探究：

问题1．方程x2 y2 2x 4y 1 0表示什么图形？方程x2 y2 2x 4y 6 0表示什么图形？

问题2．方程x2 y2 Dx Ey F 0在什么条件下表示圆？ 结论：方程x2 y2 Dx Ey F 0 表示的轨迹：

（

1）当_____________时，方程表示以(

D2, E2

),y

E2为半径的圆

D2, E2)

（2）当_____________时，方程只有实数解x

D2

，即只表示一个点(

（3）______________________时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

小结：方程x2 y2 Dx Ey F 0表示的曲线不一定是圆，只有当

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D E 4F 0时，它表示的曲线才是圆，形如x y Dx Ey F 0

2

2

22

的方程称

为圆的一般方程。 思考：

1．圆的一般方程的特点？

2．圆的标准方程与一般方程的区别？ 二【小试牛刀】

１．圆x2 y2 2x 4y 2 0的圆心坐标和半径分别为 ( )

(A)( 1,2),3 (B)(1, 2),3 (C)

( 1, (D)

(1, 2．如果圆x2 y2 Dx Ey F 0圆心在直线y 2x上，则（ ） (A)D 2E (B)E 2D (C)E 2D 0 (D)D E 3.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是( ) A.a＜-2或a＞

23

23

23

B.-＜a＜0 C.-2＜a＜0 D.-2＜a＜

三【合作、探究、展示】

例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,求出圆的圆心及半径. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0; (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.

【规律方法总结】_________________________________________________ 变式训练：求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x2+y2-8x+6y=0; (2)x2+y2+2by=0.

例 2：求过点Ｏ（０，０）Ｍ１（１，１）Ｍ２（４，２）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标

【规律方法总结】_________________________________________________ 例３：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上(x 1)2 y2 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

【规律方法总结】_________________________________________________ 变式训练：

已知圆C：(x-1)2+y2=1，过坐标原点O作弦OA，求OA中点的轨迹方程 四【达标训练】

1. 若方程x2 y2 x y m 0表示一个圆，则有（ ）. A．m 2 B. m 2 C．m

12

D．m

12

2. 圆x2 y2 4x 1 0的圆心和半径分别为 （ ）.

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A．(2,0),5 B．(0, 2), 5 C．(0,2), 5 D．(2,2) ,5

3. 动圆x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心轨迹是（ ）. A．2x y 1 0 B．x 2y 1 0 C．2x y 1 0 D．x 2y 1 0

4. 过点C( 1,1),D(1,3)，圆心在 x轴上的圆的方程是. 5. 已知一个圆的直径端点是A(x1,y1),B(x2,y2)，试求此圆的方程.

６.已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.

五【课后练笔】

1. 直线2x 3y 1 0和圆x2 y2 2x 3 0相交于A,B，求弦AB的垂直平分线方程.

２．求经过点A( 2, 4)且与直线l:x 3y 26 0相切于点B(8,6)的圆的方程. ３.一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方

21

程.

４.若圆x2 y2 Dx Ey F 0过点(0,0)，(1,1)，且圆心在直线x y 3 0上，求该圆的方程,并写出它的圆心坐标和半径． 六【本节小结】

感悟： ____________________________________________________

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§4.2.1 直线与圆的位置关系

1.结合问题导学自已复习课本必修II的P１２６页至P１２８页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。

2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。

3、通过例题的分析讨论，提高学生的综合运用知识的能力；通过自主学习，合作交流，体验探究新知的过程，培养“我参与我快乐”的学习精神。 4大发明家爱迪生在谈天才时用一个加号来描述，他说：“天才=1％的灵感+99％的血汗。” 【学习目标】

理解直线与圆的位置关系；会利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；会判断直线和圆的位置关系

【重点难点】重点是直线与圆的位置关系；难点是直线与圆的位置关系的判定. 一【问题导学】

1、直线与圆有三种位置关系：

（1）相交，有两个公共点；（2）相切，只有一个公共点；（3）相离，无公共点。 2、直线与圆位置关系的判定

①利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r

（a）点在圆外

（b）点在圆上 （c） 点在圆内 ②看直线与圆组成的方程组有无实数解:

有解,直线与圆有公共点，有一组则相切；有两组,则相交；无解,则相离。 3、探究：

新知1：设直线的方程为l:ax by c 0，圆的方程为C:x2 y2 Dx Ey F 0 圆的半径为r ，圆心(

D2, E2)

到直线的距离为d ， 则判别直线与圆的位置关

系的依据有以下几点：

⑴当d r时，直线l 与圆C相离； ⑵当d r时，直线l 与圆C相切； ⑶当d r时，直线l 与圆C相交；

新知 2：如果直线的方程为y kx m，圆的方程为(x a)2 (y b)2

r

2

，将直线

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方程代入圆的方程，消去y得到x的一元二次方程式Px2 Qx R 0，那么：

⑴当 0时，直线与圆没有公共点；

⑵当 0时，直线与圆有且只有一个公共点； ⑶当 0时，直线与圆有两个不同的公共点； 二【小试牛刀】

1、已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b，当b为何值时， （1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点.

2、直线y x与圆x2 y 1 r2相切,求r的值

2

3、求圆心在直线2x y 3 0上,且与两坐标轴相切的圆的方程. 三【合作、探究、展示】

例1 用两种方法来判断直线3x 4y 6 0与圆(x 2)2 (y 3)2 4的位置关系.

【规律方法总结】_________________________________________________ 例2 如图，已知直线l ：3x + y – 6 = 0和圆心为C的圆x2 + y2 –2y – 4 = 0，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.

【规律方法总结】_________________________________________________ 变式训练：求直线x y 5 0截圆x2 y2 4x 4y 6 0所得的弦长. 例3 已知过点M (–3，–3)的直线l 被圆x2 + y2 + 4y –21 = 0

所截得的弦长为求直线l 的方程.

【规律方法总结】_________________________________________________ 变式训练：

已知直线l y 0,圆C:x y 4

2

2

求直线l被圆C截得的弦长

四【达标训练】

1. 直线3x 4y 6 0与圆(x 2)2 (y 3)2

4

（ ）

A．相切 B．相离 C．过圆心 D．相交不过圆心

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2. 若直线x y m 0与圆x2

y m

2

相切，则m的值为（ ）.

A．0 或 2 B．2 C

． D．无解 3 已 知 直 线l过 点 (- 2,0) ， 当 直 线l与圆x2 斜率k的取值范围是（ ）.

A

．( B

．( C

．(

4,4

y 2x

2

有两个交点时，其

D．( ,)

88

11

4、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是（ ） A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定

5、直线 x+y+a=0与 y= x 有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ） A. [1,

2 ) B.[1,

2 ] C.[ -2 , -1] D ( -2 ,-1]

y 8的切线方程为2

2

6 过点M(2,2)的圆x2 7. 圆x2

2

.

.

y 16上的点到直线x y 3的距离的最大值为

五【课后练笔】

1、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是( ) A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0

2、从点P(x.3)向圆（x+2)2 +(y+2)2 =1作切线，则切线长度的最小值是（ ） A. 4 B.26 C.5 D. 5.5

3、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是

4．求圆x2 y2 2x 4y 3 0上到直线l:x y 1

0的点的坐标. 5. 若直线4x 3y a 0与圆x2 y2 100⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数

a 的取值范围.

6、求圆上的点到的最远、最近的距离

六【本节小结】

感悟： ____________________________________________________

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§4.2.2 圆与圆的位置关系

1.结合问题导学自已复习课本必修II的P１２９页至P１３０页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。

2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。

3．能综合运用所学知识解决问题，通过对例题的分析讨论，强调数学思想方法的运用，提高学生解决问题的能力；观察图形，培养学生的数形结合的思想；加强合作意识

4 “在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决。” 【学习目标】

1、通过演示两圆的位置关系，让学生从运动的观点，来研究两圆内含、内切、相交、外切、 相离的关系。使学生关注知识的生成过程，养成勇于发现、积极探索、主动提问、交流 、合作的学习态度

2、应用数形结合的思想来分析问题，进一步培养、巩固学生使用代数方法，解决几何问题的能力

3、让学生经历用代数方法刻画两圆位置关系的过程；能根据给定的两圆的方程，判断它们的位置关系

【重点难点】

重点是判断圆与圆的位置关系；难点是用坐标法判断圆与圆的位置关系。

一【问题导学】

1. 两圆位置关系：相离、外切、相交，内切、内含

2、判断两圆位置关系的方法：

法1：代数法：将两圆的方程联立成方程组，消元变换成一元二次方程，判断根的情况 （1）如果有解，则两圆，有公共点

①方程组有两组实数解时，两圆

②方程组有一组实数解

（2）如果无解，则两圆， ，此时，两圆 法 二 ：几何法： (1) 如果d > R + r , 则： （2）如果 d < R - r ，则：两圆 （3）如果 d = R - r ，则：

（4）如果 R - r < d < R - r ，则：

(5) 如果d = R + r , 则： 3.判断两圆位置关系的方法的步骤：

交点 ---- 联立方程组的解 ---- 根的判别式 ---- 代数法 距离 ---- 与半径的比较 ------ 大小的关系 ---- 几何法

二【小试牛刀】

1、直线x y 5 0截圆x y 4y 6 0所得的弦长是 .

2

2

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例1已知圆C1:x2 y2 2x 8y 8 0圆C2:x2 y2 4x 4y 2 0 试判断圆C1与圆C

2的位置关系？ 说明：用两种方法判定。

【规律方法总结】_________________________________________________

变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？

例2.已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时，

（1）圆C1与圆C2相外切； （2）圆C1与圆C2内含？

【规律方法总结】_________________________________________________ 变式训练：

已知两圆x2 y2

6y 0与x2 y2 4y m，问m取何值时，两圆相切. 四【达标训练】

1.

已知0 r 1，则两圆x2

y r

2

2

与(x 1)2 (y 1)2 2的位置关系是（ ）.

A．外切 B．相交 C．外离 D．内含

22

2. 两圆x y 2x 0与x y 4y 0的公共弦长（ ）.

22

A．

5

B．1 C5

D．2

3. 两圆x2 y2 4x 2y 1 0与x2 y2 4x 4y 1 0的公切线有（ ）. A．1 条 B．2 条 C．4 条 D．3 条

4. 两圆x2 y2 4x 4y 0,x2 y2 2x 12 0相交于 A, B 两点，则直线AB 的方程是

高二必修二圆与方程导学案

5. 两圆x2 y2 1和(x 3)2 y2 4的外公切线方程 6.求经过点M(2, 2),且与圆x2 y2 6x 0与x2 y2 4交点的圆的方程. 判断两圆：C1:x2 y2 2x 3y 1 0，C2:x2 y2 4x 3y 2 0的位置关系

五【课后练笔】

1. 已知圆C与圆x2 y2 2x 0相外切,

并且与直线x

0相切于点Q(3,,求圆C的方程.

2. 求过两圆C1:x2 y2 4x 2y 0和圆C2:x2 y2 2y 4 0的交点,且圆心在直线

l:2x 4y 1 0上的圆的方程.

3.圆C1 的方程是 : x2 y2 2mx 4y m2 5 0，圆C2的方程是:

x y 2x 2my m 3 0,m为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.

2

2

2

六【本节小结】

感悟： ____________________________________________________

高二必修二圆与方程导学案

§4.2.3 直线与圆的方程的应用

1.结合问题导学自已复习课本必修II的P130页至P132页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。

2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。 3、利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

4数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深.——高斯 (Gauss) 【学习目标】

掌握直线与圆，圆与圆的位置关系；利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题。

【重点难点】重点是直线的知识以及圆的知识；难点是用坐标法解决平面几何. 一【问题导学】

(1) 直线方程有几种形式? (2) 圆的方程有几种形式?

(3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? (4) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ (5) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?

二【小试牛刀】

1、若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围为 . 2.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为 . 3．求圆4.求圆

与圆

关于点

的公共弦的长

对称的圆的方程

三【合作、探究、展示】

例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．

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【规律方法总结】_________________________________________________ 变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？

例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，PE AD于E，求证： PE

【规律方法总结】

12BC

.

解决应用问题的步骤： (1)审题(2)建模 (3)解模(4) 还原 流程图：

实际问题

数学问题 数学结论

实际问题结论

（审题） （建模） （解模） （还原） 注：用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：

第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果―翻译‖成几何结论

例3已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）. （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；

（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 

【规律方法总结】________________________________________________

例4从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程.

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【规律方法总结】_______________________________________________

例5.求过点轨迹方程

A(4,0)作直线l交圆

O:x y 4

22

于B,C两点,求线段BC的中点P的

【规律方法总结】________________________________________________ 四【达标训练】

2222

1、圆O1：x+y-2x=0和圆O2：x+y-4y=0的位置关系是 . 2．已知圆C：（x-a）2+(y-2)2=4 (a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2

3

时，则a= .

y 4 0，则x y

2

2

3、1．实数x，y满足方程x 的最小值为（ ）.

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4．如果实数满足(x 2)2

y 3，则

2

yx

的最大值为（ ）.

3

2

D.

3

5由动点P向圆x2 y 1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，

则动点P的轨迹方程为 .

6.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是 .

7.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+

五【课后练笔】

2

2

4 x

2

有两个不同的交点，则k的取值范围。

1.能够使得圆x+y-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为 .

2. .直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为 .

3.

如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，

切点为M、N，且使得|PM|= |PN|，试求点P的运动轨迹是什么曲线？

六【本节小结】

高二必修二圆与方程导学案

感悟： ____________________________________________________

§4.3.1 空间直角坐标系

【使用说明及学法指导】

1.结合问题导学自已复习课本必修II的P134页至P136页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。

2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。

3、初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法。 4 数学是规律和理论的裁判和主宰者。 【学习目标】

了解空间直角坐标系，.掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法。 【重点难点】

重点是在空间直角坐标系中确定点的坐标.

难点是通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.

一【问题导学】

1、一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就 于水平平面，它

的方向符合右手螺旋法则，即伸出右手，让大拇指指向x轴方向，食指指向 y轴的正方向，中指指向z轴正方向，则这个坐标系为 。

2、从空间某一定点O引三条 且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，O-xyz，点O叫做 ，x,y轴和z轴叫

做 ，这三条坐标轴中每两条确定一个 ，分别称为 平面， 平面， 平面。

3、在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用一个三元有序数组 表示，反之任何一个 （x,y,z）都可以确定空间中的一个点P，这样在空间直角坐标系中，点与三元有序数组之间建立了 的关系。 4．坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：

x轴上的点的坐标的特点：Ｐ（m，０，０），纵坐标和竖坐标都为零． y轴上的点的坐标的特点：Ｐ（０，m，０），横坐标和竖坐标都为零． z轴上的点的坐标的特点：Ｐ（０，０，m），横坐标和纵坐标都为零． xＯy坐标平面内的点的特点：Ｐ（m，n，０），竖坐标为零． xＯz坐标平面内的点的特点：Ｐ（m，０，n），纵坐标为零． yＯz坐标平面内的点的特点：Ｐ（０，m，n），横坐标为零． 5．已知两点的中点坐标：

平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设Ａ（x1，y1， z1），Ｂ（x2，

y2 z2），则

AB中点的坐标为（

x1 x2

2

,

y1 y2

2

,

z1 z2

2

）.

高二必修二圆与方程导学案

6．一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点

点P（x，y，ｚ）关于坐标原点的对称点为P1（-x，-y，-z）；

点P（x，y，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴）的对称点为P2（x，-y，-z）； 点P（x，y，ｚ）关于坐标纵轴（ｙ轴）的对称点为P3（-x，y，z）； 点P（x，y，ｚ）关于坐标竖轴（ｚ轴）的对称点为P4（-x，-y，-z）； 点P（x，y，ｚ）关于ｘＯｙ坐标平面的对称点为P5（x，y，-z）； 点P（x，y，ｚ）关于ｙＯｚ坐标平面的对称点为P6（-x，y，z；） 点P（x，y，ｚ）关于ｚＯｘ坐标平面的对称点为P7（x，-y，z）． 点评：其中记忆的方法为：关于谁谁不变，其余的相反．如关于横轴（ｘ轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于ｘＯｙ坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 二【小试牛刀】

1、画一个空间直角坐标系，标出下列各点。

A（0,1，-1） B(0,0,5) C(-1,1,2), D(-2,0,0) E(2,3,1) 2. 已知点Ｂ（１，１，１），分别求出该点关于ｘ轴、ｚ轴、原点和ｘＯｙ坐标平面的对称点的坐标.

3.在空间直角坐标系中，自点M（-4，-2,3）引各坐标平面和坐标轴的垂线，求各垂足的坐标。

三【合作、探究、展示】

例1 如图，在长方体OABC--D′A′B′C′中，|OA

z |OC|=4，|OD′|=2。写出D′，C，A′，B

.

【规律方法总结】______________________________________

，

y

变式训练：在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和D1B1,棱长为1,求E,F点的坐标.

z

例2 O—xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。

【规律方法总结】___________________________________________

高二必修二圆与方程导学案

四【达标训练】 1定点P（3，-2,1），求它分别关于坐标平面、各坐标轴和原点的对称点的坐标。 2. .在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x轴);③纵轴(y轴);④竖轴(z

轴);⑤xOy坐标平面;⑥yOz坐标平面;⑦zOx坐标平面的对称点的坐标是什么? 3.空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标是 （A）(A)( 1,2,3) (B)(1 ,2 , 3 )

, 3(C)( 1, 2,3) (D)( 1,2

4．空间直角坐标系中，P(3,5,1),Q( 3, 5, 1)两点的位置关系是

(A)关于x轴对称 (B)关于yOz平面对称 (C)关于坐标原点对称 (D)以上都不对

5动点P(x,y,z)的坐标始终满足y 3，则动点P的轨迹为 (A) y轴上一点 (B)坐标平面xOz

(C)与坐标平面xOz平行的一个平面 (D)平行于y轴的一条直线 6．空间中过点A( 2,1,3)，且与xOy坐标平面垂直的直线上点的坐标满足

(A)x 2 (B)y 1

(C)x 2或 y 1 (D)x 2且 y 1

7在空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ中，关于点（０，m2 2，ｍ）一定有下列结论（ ）

Ａ．在ｘＯｙ坐标平面上 Ｂ．在ｘＯｚ坐标平面上 Ｃ．在ｙＯｚ坐标平面上 Ｄ．以上都不对

8．点(2, 3,6)在x轴、y轴上的射影的坐标分别是

9．在空间直角坐标系中，点P的坐标是(7,4,2)，过点P向yOz平面作垂线PQ，则垂足Q的坐标是

五【课后练笔】

1．如图，正三棱柱ABC A B C 中，底面边长为2，侧棱长为3，试建立适当的空间直角

A坐标系，写出各顶点的坐标．

C

B

AC

2、正方体OABC D'A'B'C'的棱长为a，E、F、G、H、I、J分别是棱长C'D',D'A',AA',AB,BC,CC的中点，写出正六边形EFGHIJ的顶点的坐标。

B

六【本节小结】

感悟： ____________________________________________________

高二必修二圆与方程导学案

§4.3.2空间两点间的距离公式

【使用说明及学法指导】

1.结合问题导学自已复习课本必修II的P136页至P138页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。

2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。

3、培养观察、分析、联想的能力以及归纳概括的能力，认识新公式产生的过程和根源培养逻辑思维能力；运用类比的办法，体验从二维空间过度到三维空间的过程，激发学习兴趣和探求知识规律的愿望培养勇于探索的精神。

4数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。 【学习目标】

掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算和证明 【重点难点】重点：空间两点间的距离公式及应用；难点：公式的推导 一【问题导学】

1.平面两点的距离公式：_________________________________ 2.空间两点间的距离公式：_________________________________

3.点M(x,y,z)与坐标原点O(0,0,0)的距离_______________________________ 4.如果OP是定长r,那么x2 y2 z2 r2表示__________（图形）

5.思考：怎么推导空间两点间距离公式。 二【小试牛刀】

1 求点P1(1,0, 1)与P2(4,3, 1)之间的距离

2.求点A(3,-2,-4)到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。

3.已知点A在y轴 ，点B(0，1，2)且|AB|

，则点A

三【合作、探究、展示】

例1 坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.

【规律方法总结】________________________________________________

例2 在yOz平面上求与三个已知点A(3，1，2)，B(4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.

【规律方法总结】________________________________________________

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ihfm.html