浙江理工大学2011-2012(2)线性代数试题

座位号 考试时间 浙江理工大学2011—2012学年第二学期(11级)

《线性代数A》期末试卷（A）卷

本人郑重承诺：本人已阅读并且透彻地理解《浙江理工大学考场规则》，愿意在考试中自觉遵守这些规定，保证按规定的程序和要求参加考试，如有违反，自愿按《浙江理工大学学生违纪处分规定》有关条款接受处理。

承诺人签名： 学号： 班级：

题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（每小题4分，共24分）

1. 设A、B为n阶矩阵，且AB?0，则下面必成立的是（ ）。. （A）A?0或B?0 （B）A?B?0 （C） A?0或B?0 （D）A?B?0

2. 已知向量组?1，。 ?2，?3，?4线性无关，则下列向量组相性无关的是（ ）（A）?1??2，?2??3，?3??4，?4??1 （B）?1-?2，?2-?3，?3-?4，?4-?1 （C）?1??2，?2??3，?3??4，?4-?1 （D）?1??2，?2??3，?3-?4，?4-?1

3. 设A是m?n矩阵，齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充分必要条件是（ ）. （A）A的列向量组相性无关 （B）A的列向量组相性相关 （C）A的行向量组相性无关 （D）A的行向量组相性相关

4. 若n阶可逆阵A的一个特征值为?，则它的伴随矩阵A必有一个特征值（ ）.

? （A）??1A （B）??1A （C）?A （D）?A

nn第 1 页 共 9 页

5．若A，B均为n阶方阵，且A,B相似， E为n阶单位矩阵，则（ ）. （A）?E?A??E?B； （B）A，B有相同的特征值和特征向量； （C）A，B相似于同一个对角阵； （D）对于任意的t，tE?A和tE?B相似。

2226. 二次型f(x1,x2,x3)?ax1为正定二次型，则（ ）. ?bx2?2cx1x3?ax3 （A）a?0,b?0,c?a （B）a?0,b?0,a?c （C） a?0,b?0,a?c （D）a?0,b?0,a?c 二、填空题（每小题4分，共24分）

1. 设?1,?2,?3,?1,?2是四维列向量，且?1,?2,?3,?1?m，

?2,?1,?2,?3?n，

则?1,?1??2,?2,?3?__________.

2. 矩阵A为3阶方阵，且A?1?1?，则?3A??2A?_________。 2?1?2?3. 设方阵A??2a????4?24. 向量组???7?4??500???相似，则

?2?与对角阵??0b0a?_____，b?______。 ????1???00?4??TTTT-2k?,?1??235?,?2??378?,?3??1-61?,若

?可由?1，?2，?3线性表示，则k?_____。

?2?12?T?a3?5. 若???11-1?是矩阵A??5?的一个特征向量，则?对应的特征值

???1b-2???=_____，a=______， b?______ 。

?1??1???6. 若矩阵A??12是正定矩阵，则??______。 ?????125??三、计算题（共42分）

第 2 页 共 9 页

?100??011?????1. （5分）已知矩阵A??110?，B??101??111??110?????AXA?BXB?AXB?BXA?E，这里E为三阶单位，求X.

. 矩阵X满足

2.（6分）求向量组α1??1-203?，α2??2-5-36?，α2??0130?，

TTTα4??2?147?，的秩与一个极大线性无关组，并把其他向量用这个极大无关组线性表

示.

第 3 页 共 9 页

???3. （10分）a,b为何值时非齐次线性方程组????x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1

（1）有唯一解；（2）无解；(3) 有无数多个解.并且在方程组有无数多个解时，用该方程组的一个特解及对应齐次线性方程组的基础解系表示其通解.

4. （11分）已知二次型f(xx2221,2,x3)?xTAx?ax1?2x2?2x3?2bx2x3二次型矩阵A的特征值之和等于1，特征值的积等于 -12； （1）求a,b的值；

（2）用正交变换把f化为标准形并写出相应的正交变换和对应的正交矩阵.

第 4 页 共 9 页

(b?0)，其中

5. （10分）设三阶实对称矩阵A的秩为2，?1??2?6是A的二重特征值，且向量

?1??2???1???????ξ1??1?,ξ2??1?,ξ3??2?,均为A的属于特征值6的特征向量，

?0??1???3???????（1）求A的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵A.

四、证明题（6+4=10分）

1. 设A与B为n阶方矩阵，若AB?0，则R(A)?R(B)?n.

B均为n阶正交矩阵，证明：AB也为正交矩阵. 2. 设A，

第 5 页 共 9 页

浙江理工大学2011—2012学年第二学期(11级)

《线性代数A》期末试卷（B）卷答案与评分标准

三、选择题（每小题4分，共24分） 1. C 2. C 3. A 4. B 5．D 6. C 二、 填空题（每小题4分，共24分） 1.m?n 2. ?164b?5. 4. 15。 3. a?4，5. ?=?1， b?0. 6. -???0 a=?3，

275三、计算题（共42分）

2. （5分）解：由AXA?BXB?AXB?BXA?E，得(A?B)X(A?B)?E………1分

?1?1?1???因为A?B?01?1 可知A?B?1?0 所以A?B可逆………2分 ????001??且(A?B)?1?112?? ………3分 可得X?(A?B)?1??011????001????2?125?? ………5分

??012????001??2． （6分）解：对A施行初等行变换变成行最简形，

?12?-2-5A???0-3??3601302??1?0-1?r??????04???7??0020?1-10?? ………3分 001??000?所以R(A)?3，A的前三列α1,α2,α4是A的列向量组的最大无关组， ………5分

且α3?2α1?α2， ………6分

3. （10分）解：用初等行变换将增广矩阵A化成阶梯型为

~?1?0~A??A?b????0??311?1212a?3112?2a0??1?01????b??0???1??01110?1221?? ………4分由阶梯型矩阵 0a?10b?1??00a?10?第 6 页 共 9 页

（1） 当a??1时，RA?R?A??4，此时方程组有唯一解；………6分

（2） 当a?1但 b??1时，R(A)?3，R(A)?2，故此时方程组无解；……7分 （3） 当a?1但 b??1时，RA?R?A??2?4故此时方程组有无穷多组解。此时

增广矩阵可以进一步化为

?~?~?~??1?~?0A??0??00-1-1-1?x1??1?x3?x41221??，由此得方程组的解为?，??0000?x2?1?2x3?2x4?0000??x3,x4为自由未知量?。………9分

?x1???1??1??1??x?????2???2?12即方程组的解为：x???????k1???k2?? k1,k2为任意常数。……10分

?x3??0??1??0?????????00x???1??4????a0b???………1分

4. （11分）解：（1）二次型的矩阵为A?020????b0?2??设A的特征值为?1,?2,?3， 则由题意得

?1??2??3?1?a?2?(?2)

a0b?1?2?3??12?020b0?2??4a?2b2 因此有 a?1,b?2 ………3分;

?-10?22(2) 由矩阵A的特征多项式0??20?(??2)???3? ;

?20??2得矩阵A的特征值为?1??2?2，?,3?-3 ………5分

?2??0?????当?1??2?2时，解方程组(2E-A)X?0，得基础解系?11??0?，?12??1?.

?1??0?????第 7 页 共 9 页

当?3?3时，解方程组(3E?A)X?0，得基础解系?21?1?????0? ………7分 ??2???由于?11，?12，?21已经是正交向量组，只需将其单位化可得

?2??1?????0???5??5????1??0?， ?2??1?， ?3??0?………9分

?2??1??0????????-????5??5?则U???1?2?3?为正交矩阵，在正交变换x?Uy下有

?200??且二次型的标准型为

UTAU??020f?2y1?2y2?3y3 ………11分

????00?3??5. （10分）解：（1）因为A的秩为2，所以有A?0设另一个特征值为?3，

?c1???则?3?0………2分 设对应于?3?0的一个特征向量为p??c2?，

?c??3?因为?1??2?6是A的二重特征值，则属于特征值6的线性无关的特征向量只有两个，设

?1,?2为属于特征值6的线性无关的特征向量。

因为A为实对称矩阵，则p与?1,?2均正交， 即??0?c1?c2，其基础解系为

?2c1?c2?c3?0??1???ξ3??1?,k?0………4分，

?1?????1???所以对应于?3?0的特征向量是k?3?k?1?. ………5分

?1????600????1（2）取P?(?1,?2,?3)，则PAP??060?. ………6分

?000???第 8 页 共 9 页

则P?1????01?1??112? ………8分 ????333??111????3??332??600??42???1??所以， A?P?060?P??24?2?. ………10分

?000??2?24?????四、证明题（6+4=10分） 1. 证：分两种情况：

（1）A?0，则R(A)?0，此时有R(A)?R(B)?R(B)?n ………2分 （2）A?0， 有已知AB?0可知：

矩阵B的列向量?1,?2,?,?n中每一个向量均为方程组AX?0的解向量。………3分 若R(A)?n，则方程组AX?0仅有零解，即?1??2????n?0， 也就是说B?0，此时R(A)?R(B)?n………4分

若R(A)?n，令方程组AX?0的基础解系为?1,?2,?,?r，这里r?n?R(A) 此时向量组?1,?2,?,?n可由向量组?1,?2,?,?r线性表示。 则R(B)?r?n?R(A)，因此有R(A)?R(B)?n ………6分

B均为n阶正交矩阵 2. 证：因为A，则 A?1?AT,B?1?BT ………2分 因此有(AB)?1?B?1A?1?BTAT?(AB)T

所以，AB也为正交矩阵. ………4分

第 9 页 共 9 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ihfa.html