概率论与数理统计习题1及答案

概率论与数理统计习题及答案

习题 一

1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，

A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.” B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.” 【解】 （）1???1，2，3，4，5，6?，A??13，，5?；(2)???(i,j)|i,j?1,2,,6?,A??(1，2),(1，4),(1，6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2，2),(2，4),(2，6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?;(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,A??(正,正),(正,反)?,B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?,

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C

（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC

1

(5) ABC=ABC (6) ABC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC

5.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]

=1?[0.7?0.3]=0.6

7.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1） 在什么条件下P（AB （2） 在什么条件下P（AB 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 9. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=

115

=（）（亦可用独立性求解，下同） 577（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

P（A2）=5=()

77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1?P(A1)=1?(

15

)7

10. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率. 【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有C50种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共C45种取法;从5个次品中取1个,共C5种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为CC24532115种,所以所求概率为

21C45C5P?3.

C50

11.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

2

（1） n件是同时取出的； （2） n （3） n件是有放回逐件取出的.

mn?mn【解】（1） P（A）=CMCN?M/CN

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m

次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种，故

mn?mCmnPMPN?MP（A）= nPNmn?mmn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

n?mCmMCN?MP（A）= nCN可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n

次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故

mn?mP(A)?Cm/Nn nM(N?M)m此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为

M，则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??NN????mn?m

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太

弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱}

33P(A)?C110C3/C50?1 196013.

7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

3

1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3?

C73522 35故 P(A214.

A3)?P(A2)?P(A3)?0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

(1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1(3) P(A1A215.

A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94

A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38

3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

1131C1()()45212131224?2 【解】（1） p1?C5()() (2) p2??222325/325

18.

0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） p(A19.

B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7

3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男

为女是等可能的）.

【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

P(BA)?P(AB)6/86??

P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)?20.

6 75%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

4

P(AB)? ?21.

P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520 ?0.5?0.05?0.5?0.0025219∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30.

如图阴影部分所示.

3021P?2?

60422.

0，1）中随机地取两个数，求：

6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率.

4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0

6. 514417 p1?1?255??0.68

1251(2) xy=<.

4 p2?1???1?11dxdy11???ln2 ??4x?4?421 5

P(A2)?968?0.096,P(A4)??0.008. 1000100041.对任意的随机事件A，B，C

P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A). 【证】 P(A)?P[A(BC)]?P(ABAC)

?P(AB)?P(AC)?P(ABC) ?P(AB)?P(AC)?P(BC) 42.

3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.

【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

C33!3P(A1)?43?

48而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

C114P(A3)?3?

416因此 P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1?319?? 8161621C1C93C3? 或 P(A2)?43416 43.2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，

C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

P(A)?1?P(C) 2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

n1n1nP(C)?C2n()()

2211n 故 P(A)?[1?C2n2n]

2244.n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知

P（A）=P（B）

（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）

=0.5

(2) 当n为偶数时，由上题知

11

n112P(A)?[1?Cn()n]

2245.n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

=（甲正≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反） （甲正>乙正）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） 因此P(甲正>乙正)=46.

1 2Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）

≥P(B).

【证】由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(BC)?,

P(C)P(C)即有 P(AC)?P(BC) 同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),

故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率.

【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则

(n?1)k1kP(Ai)??(1?)knn2P(AiAj)?(1?)knP(Ai1Ai2Ain?1)?(1?n?1k)n

其中i1,i2,…,in?1是1，2，…，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是

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11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?122S2??P(AiAj)?Cn(1?)kn1?i?j?nnSn?1?Sn?01?i1?i2?in?1?n?P(Ai1Ai2?1Ain?1)?Cnn(1?n?1k)n

P(Ai)?S1?S2?S3?i?1n?(?1)n?1Sn2 ?Cn(1?)?Cn(1?)?故所求概率为

11nk2nkn?1?(?1)nCn(1?n?1k) n1k2i21?P(Ai)?1?C1(1?)?C(1?)?nni?1nnn?1?(?1)n?1Cnn(1?n?1k) n48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独

立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n次试验中，A至少出现一次的概率为

1?(1??)n?1(n??)

49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，

将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}

B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)?mn ,P(B)?m?nm?n1P(A|B)?r,P(A|B)?1

2则由贝叶斯公式知

P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)? P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)m1rmm?n2 ? ?rm1n?1m?2nrm?n2m?n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用

火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又

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【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)?P(B2)?1.（1）发现一盒已空，2另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求概率为

1n1n?r11nn p1?2C2()()?Cn?rn?r22222r?r式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.

（2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自B2盒，第2n?r次取自B1

盒，故概率为

p?11n?11n?r1n?112n?r?12?2Cn2n?r?1(2)(2)2?C2n?r?1(2) 51.n重伯努利试验中A出现奇数次的概率.

【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由

(q?p)n?C00n1n?1npq?Cnpq?C22qn?2np??Cnn0npq?1 (q?p)n?C00n1n?1npq?Cnpq?C22n?2npq??(?1)nCnpnq0n

以上两式相减得所求概率为

pC1n?1?C33n?31?npqnpq?

?12[1?(q?p)n] ?12[1?(1?2p)n] 若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

p?12[1?(1?2p)n2].

52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

所求 (A?B)(A?B)(A?B)(A?B) ?[(ABAB)(AB?AB)]

??

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A，B和C

ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【解】由P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

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?3P(A)?3[P(A)]?故P(A)?29 161311或,按题设P（A）<,故P（A）=. 442454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A

不发生的概率相等，求P（A）. 【解】 P(AB)?P(AB)?1?P(A1B?) ① 9P(AB)?P(AB) ②

故 P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)

故 P(A)?P(B) ③ 由A,B的独立性，及①、③式有

1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9 ?1?2P(A)?[P(A)] ?[1?P(A)]

故 1?P(A)??故 P(A)?即P（A）=

221 324或P(A)?（舍去） 332. 355.随机地向半圆0

2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与

区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

1πa2.阴影部分面积为 2π212a?a 42故所求概率为

π212a?a42?1?1 p?122ππa256.

10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}

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