《线性代数》科学出版社课后参考答案 李国王晓峰2012年七月第一版
更新时间:2023-08-15 02:15:01 阅读量: 人文社科 文档下载
第一章 矩阵与初等变换
1(3).
x1 3x4 4 x1 3x4 4 2x x x 0 2x x x 0 234234
3x 2x 1 3x 2x 12424 2x1 x2 4x3 5 x2 4x3 6x4 3 x1 3x4 4 x1 3x4 4 7x 13x 6 7x 13x 6 3434 12x3 20x4 8 2x3 6x4 4 x2 4x3 6x4 3 x2 4x3 6x4 3 x1 3x4 4 x1 3x4 4 7x 13x 6 8x 8 344 x3 3x4 2 x3 3x4 2 x2 6x4 5 x2 4x3 6x4 3 x1 3x4 4 x1 1 x 1 x 1 4 2 x3 3x4 2 x3 1 x2 6x4 5 x4 1
2(2).
3 12 2
k114 2 3 12 2 3 12 k114 01 3k14 6k ,
2
当1
2(3).
32
k 0,即k 时方程组有唯一解. 23
k4 11k4 11k4 11
1215 011 k1 011 k1 , 0 31 k 3 002(1 k)0 1 211
当k 1时,方程组有无穷多解,此时方程组的增广矩阵经初等行变换可变成阶梯型矩阵
1114 0101 , 0000
进而经过初等行变换变成矩阵最简型
1013 0101 , 0000
相应的方程组为
x z 3
,
y 1
令z k, 则x k 3, 所以方程组的解为( k 3,1,k), 其中k为任意实数. 5(2).
8 412 7 2022 13 28
39 5 2830 39 5 2830 8 130 96100 13 28
, 5254 001 5254 001
对应的方程组为
x 3y 96w 100
,
z 52w 54
则
x 3y 96w 100
.
z 52w 54
令y k1, w k2, 则x 3k1 96k2 100, z 52k2 54所以, 方程组的解为
3k1 96k2 100, k1, 52k2 54, k2 ,
其中k1, k2为任意实数.
5(3).
21 1 1
2 42
112 2
1
1
21 111 11
21 1 11
22
42 222 22
1 1
21 111 2
00020 00
00000 00
1 1 2 00 00
对应的方程组为
00
12
1210
1 2 0 0
00
12
1 2 10 , 00
0
111 x y z
222, w 0
则
111
x y z
222 w 0
令y k1, z k2, 则x
111
k1 k2 , 所以, 方程组的解为 22211 1 k k , k, k, 01212 ,
22 2
其中k1, k2为任意实数.
6(1).
1 11 1 11 1 11 102 210 03 2 011 011
02 3 00 5 11 2 02 3
齐次线性方程组仅有零解.
7.
1
211 1211 1 1432 0643 0 2 2 3
0 6 21 0当 2时对应的线性方程组有唯一解.
9.
2 9 0( 2)2 9 1
1 2 1
2 0要使方程组有非零解, 须使 2
4 5 0, 即 1, 5.
211 643 , 0 24 2 2
4 5 ,
第二章 矩阵代数
3(2).
1 1 2 2 12 3 3 4 4
3(4).
2
4 6 8
101 1 1
42 3 312 1
031 02 1 1 17 3 1 8 1100 0
6.
证明: 1) 由于B1与B2都与A可交换, 则AB1 B1A, AB2 B2A, 所以,
A B1 B2 AB1 AB2 B1A B2A B1 B2 A, A B1B2 AB1 B2 B1 AB2 B1 B2A B1B2 A,
因此, B1 B2与B1B2都与A可交换.
2) 由于B与A可交换, 则AB BA, 所以,
ABk (AB)Bk 1 (BA)Bk 1 B(AB)Bk 2 B(BA)B
因此, B与A可交换. 7.
证明: 充分性: 设AB BA. 由于A与B都是对称矩阵, 则
k
k 2
B(AB)B
2k 3
BA,
k
AT A, BT B,
所以, (AB) BA BA AB, 由此可知AB是对称矩阵.
必要性: 设AB是对称矩阵. 由于A与B都是对称矩阵, 则
T
T
T
AT A, BT B,
所以, AB (AB) BA BA, 即AB BA.
8.
T
T
T
证明: 令
bij
aij aji
2
, cij
aij aji
2
,
则bij bji, cij cji, 所以B bij 是对称矩阵, 而C cij 为反对称矩阵. 又
aij bij cij, 则A B C, 即任意n阶方阵可以写成一个对称矩阵和一个反对称矩
阵的和.
9.
证明: 设n阶方阵B bij 与A可交换, 则
a1b11
abAB 221
anbn1
a1b12a2b22 anbn2
a1b1n b11a1b12a2 b1nan
baba ba a2b2n 2nn BA 211222,
anbnn baba bannn n11n22
所以, bijai bijaj, 由于ai aj(i j), 则bij 0(i j), 即B是对角矩阵.
10.
解: 由于
1 0AB
0 0
所以, A与B互为可逆矩阵.
12.
证明: 因为
000 100
BA,
010
001
A2 2A 4I A2 2A 3I I (A I)(A 3I) I 0,
所以, (A I)(A 3I) I. 又(A 3I)(A I) I, 因此, A I可逆, 且
(A I) 1 A 3I.
17.
证明: 充分性: 设B I. 由于A
2
1
(B I), 则 2
1111
A2 (B I)2 B2 2B I I 2B I (B I) A.
44421
必要性: 设A A. 由于A (B I), 则
2
2
111
A2 (B I)2 B2 2B I A (B I),
442
所以, B 2B I 2B 2I, 即B I.
18(1).
解: 由于
2
2
22 1100 1 24010
[A,I] 1 24010 22 1100
2001 2001 58 58
010 1 24010 1 24
06 91 20 06 91 20 311 018 180 51 009
1 24
3 06
2
001
101
010
113 0 01
632
111
001
399
1
9 1
, 6 1 9
0 1 0
3
111
399 1316
13
22
100 39
11
010 36 11 001 39
所以,
2 2
39 11
A 1
36 11 39
18(3).
解: 由于
1 9 1
. 6 1 9
10010 223100 1
[A,I] 1 10010 223100
121001 121001
0 1 10010 1 1001
0431 20 011011 011011 0431 20 101021 1001 4 3 011011 0101 5 3 00 11 6 4 00 11 6 4 4 3 1001 0101 5 3 , 4 001 16
所以,
1 4 3
A 1 1 5 3 .
164
19(2). 解一: 令
021
123 . A 2 13, B 2 31 33 4
02
A 2 1 B
33 12 2 3 10
3 1 42 3 1 1
1则
解二: 令
由于
0
2
2 1 A 33 I
10 01 00 10
3 1 42 03 01 1
21 1
2
0 1
0
3 12 72
4
3
3 3
3
11 3
3 4
321 4
3 41
1 1 32 1 52 0 10
0 10
0 10
0
2 10 0
10 0
10
3 0
2
21 0
01
0
01 0 1 1 21 1
2 1 1 ,
2 414 4
74 4
74 X 2 1 1
474
. A 021
123 2 13 , B 33 4
2 31 . 1 12
0 0
0 3 1 12 72
4 3
3 3
3
4
11 3
0 4
001 001
0 10 10
1
100 0
1 20
0 10
0 10
0 10
0
2 0
10 10 10
3
21
01
0
01
1 2
937
5 117
5117 ,
0 12 1
32 32
0
3
5 2 4
3
6 4
1
3 6 4
1
5117 A 1 132 ,
3 6 4
从而
5117
X BA 1
123 2 31 132 2 1 1 3 6 4
474 .
20.
解一: 原方程可写成(A 2I)X A, 由于
101
A 2I 1 10 ,
012
且
101301 10130[A 2I,A] 1 10110 0 1 1 21 012014 01201 101301 1005 0 1 1 21 1 0 10 001 223 4 001 2 1005
2 2 0104 3 2 , 223 001
则
5 2 2
X 4 3 2 .
223
1
1
4
2 2 32 23
解二: 原方程可写成(A 2I)X A, 由于
101
A 2I 1 10 ,
012
且
101100 101100
[A 2I,I] 1 10010 0 1 1 110
2001 2001 01 01
101100 1002 1 1 0 1 1 110 0 10 221 111 001 001 111 1002 1 1 0102 2 1 , 001 111
则
2 1 1
(A 2I) 1 2 2 1 ,
111
从而
2 1 1 301 5 2 2
X (A 2I) 1A 2 2 1 110 4 3 2 .
111 014 223
2 2
39 11 1
18(1). A
36 11 391
9 5117
2 1 1 1 1
19(2). A 13 2X 6 474 3 6 4 1 9
220. (A 2I) 1
2 1 1 1 5 2 1 X 24 311 22 2
2 3
第三章 行列式
1(1).
1234
1 4 2 3 2
(2).
aa22bb2
a b2 a b ab(b a)
2(1).
124 12
4031 0
31 1
31
142
2 2
2 2
8 (3).
abcbc
a a
ca
b
baccab
ab
cb
c
bca
a bc a2 b b2 ac c ab c2 3abc a3 b3 c3
3(1).
a1b1c1d1e1ae1a1c12b2c2d2eb1c1d12
ae23b3000 ( 1)5 1
ab2c2d25a0 ( 1)
5 2
ba2c25
a304b4000b300a0a4
05
b5
b4
00c1
d1e1c1 a5 ( 1)4 1b4c2
d2e2 b5 ( 1)4 1a4c2
00
0
4(2).
d1e1d2e20000d1e1d2e20
abbdbf
ac cdcf
ae ef
bb
c cc
e e
11
1 11
11 1
de adfbe abcdef1
111
abcdef0
4abcdef
(3).
02 abcdef20
0220
a2b2c
2
(a 1)2(b 1)2(c 1)
a
2
(a 2)2(b 2)2(c 2)2a2b2c2da2b2c
2
2
(a 3)2(b 3)2(c 3)
2
2
a2 b2c2d2
2
a2b2c2d2a c
2
(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)21(a 2)1(c 2)
(a 3)2(b 3)2(c 3)2(d 3)2
2
d2(d 1)2
2
(d 2)2(d 3)2
(a 2)(c 2)
(a 3)(c 3)
(a 3)(c 3)
2
b2c
2
(b 2)2
2
(b 3)2
2
b21(b 2)2
2
2
(b 3)2
2
d2
a2 b2c
2
(d 2)2(a 3)2(b 3)2(c 3)
2
(d 3)2a2
2a2b2c2d
4a4b4c4d
d21(d 2)2
(a 3)2(b 3)2(c 3)(a 3)2(b 3)2(c 3)
2
2
(d 3)22a2b2c2d
4(a 3)24(b 3)24
(c 3)24(d 3)2
2a2b2c2d
a2 b2c2d2
b2c
2
d2d2(d 3)2(a 3)2(b 3)2(c 3)
2
d2(d 3)2
a21a2
b21b2c
2
a214a
b214bc
2
a214(a 3)2
b214(b 3)2c2
14
(c 3)2
d214(d 3)2
1c
2
14c
d21d2
a2 b2c
2
(d 3)2a2 b2c
2
d214d46a46b4
6c46d
a2b2c
2
(d 3)22a2b2c2d
49494949
2a2b2c2d
4a24b24
c
2
2a2b2c2d
d24d2d2d2
a214aa2a214a6aa214a9
b214bb214b6bb214b9c
2
14cc
2
b2c
2
14c
6c
c2
14c
9 d214dd2d214d
6dd214d
9
0
a2(a 1)2(a 2)2(a 3)2a22a+14a 46a 9b2(b 1)2(b 2)2(b 3)2b22b+14b 46b 9c2(c 1)2(c 2)2(c 3)2
c22c+1
4c 4
6c 9
d2
(d 1)2
(d 2)2
(d 3)2
d22d+14d 46d 9a
2
2a+126
b22b+126c
2
2c+126 0
d2
2d+126
5(1).
22 40 20004 135 7 10
31 2 3
43 553 5534 8 3 2 4 8 3 2 10
52
5
12
21
12
1
1
0 2
7 10
10 5 2 (35 100) 2 135 270
22 40 22 40 22
404 1355
3 5531 2
03 5
11 7 4
103
222 14 8
2
5
12
0512
051 22
40 22
40
10
3
5
5
1 64204 18 8
10
200 20 10
2110
2
1
1
5 31
22
40 22 40
10
1 64200 20 10
01 6400 10 5
013 700
13
7 22
40 22 4
0
01 641 6400 10 5 000 1 41
00
3
120
3
12
22 4
0
01 6400 1 41 270
135
6(1).
1
n123 n2(n 1)23 n1
2234 12
n(n 1)34 1
3345 2 1
4 2n(n 1)45 2 1
2n(n 1)
n12
n 1 11
2
n(n 1)12 n 11
23 n1
11 1 n1
11 1 n
1
11 1
2
n(n 1)011 1 1
11 1
2
n(n 1)1
01 n1 1
n11
1
3 n4 15 2
2 n 1
111 1 n
1
n(n 1) 111 2
111
1
( 1)nn(n 1)0
2
111
11 1
100 n
1
n(n 1) 100 2
100 100
00 0
00 n00 00
1
n(n 1)1n 1
2 0 n(n 1)( 1)
2
n00
7(2).
证明: 用Dn记等式左边的行列式. 当n 1时,
D1
因此, 当n 1时等式成立.
abba
a2 b2 左边,
假设当n k时等式成立, 即Dk a b
2
2k
. 对于n k 1, 由于
a
ab
Dk 1 a
b0
ba
b0
a
a(2k 1) (2k 1)
0a
ab
( 1)1 2k 2b
bb
ba
b
a0(2k 1) (2k 1)
aDk ( 1)
7(3).
22k 3 2k 1 12
bDk a b Dk a b
2
2
2
2k 1
,
即等式当n k 1时也成立, 则由数学归纳法可知等式成立.
证明一: 用Dn记等式左边的行列式. 当n 1时,
D1 ;
当n 2时,
D2
133
, ( )2
因此, 当n 1和n 2时等式都成立.
假设当n k时等式都成立. 对于n k, 由于
1
Dk ( )Dk 1
0
00
00
00
00
1
(k 1) (k 1)
k k k 1 k 1
( )Dk 1 Dk 2 ( )
k 1 k k k 1 k k k 1 k 1
,
即n k时等式成立, 由数学归纳法可知等式成立.
证明二: 当n 1时,
D1 ;
当n 2时,
D2
133
, ( )2
当n 2时,
1
Dn ( )Dn 1
0
00
00
00
00
1
(n 1) (n 1)
( )Dn 1 Dn 2,
则
Dn Dn 1 Dn 1 Dn 2 ,
由此可得
Dn Dn 1 n.
同理可得
Dn Dn 1 n.
所以,
n n
Dn 1 ,
即
n 1 n 1
Dn .
8. A11
11
1 20
1 A12 33
112
0 2
2 A13 3
1 10
1
1
2
A21
1 2
3 A22
0 22311
4 A23 1 A33
20010
A31
11
3 A32
2
1 1
2
20
01
31 5 2
A 1 1
133 A 2 41
1 2 2 133 1
A 1 2 41
5
1 2 2
9.
解: 由于AA det(A)I, 则det(A)det(A) det(A), 所以,
3
det(A ) det(A)2
另外, 由于(3A)
1
. 4
1 1
A AA 1 I, 所以, 3
112
(3A) 1 A 1 A A ,
33det(A)3
则
6416 2 4
det (3A) 1 2A det A 2A det A det A .
2727 3 3
12(1). |A| 27 A1 81 A2 108 A3 135
x1
A1AA 3, x2 4,x 53
|A||A||A|
1 9 1
A 1
27 8 27
14.
2
911277 27
0 2 3 1 3
解: 由于齐次线性方程组的系数矩阵的行列式为
|A| 1
1
12 11
1
01
1
1
1
1
1
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要使原齐次线性方程组有非零解, 须使|A| 0, 即 0, 或 1. 所以, 当 0, 或 1时, 原齐次线性方程组有非零解.
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