北京顺义区2018届高三第一次统练

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数学试卷(理工类)

一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求

的一项. 1.已知集合A?x?R2x?1?0,B?x?R?x?1??x?2??0,则A?B? A.???,?1? 2.在复平面内,复数A.?0,?1?

B.??1,???????1?? 2?C.????1?,2? 2?D.?2,???

1?2i对应的点的坐标为 2?iB.?0,1?

C.??43?,?? ?55?D.??43?,? ?55??x?2?t,3.参数方程?(为参数)与极坐标方程??sin?所表示的图形分别是

y??1?2t?A.直线、直线

B.直线、圆

4.已知向量a??2,1?,b???2,k?,且a?2a?b,则实数k? A.?14 B.?6 C.6

5.如图,AB,AC分别与圆O相切于点B,C,ADE是⊙O的割线,连接CD,BD,BE,CE.则

A.AB?AD?DE B.CD?DE?AC?CE C.BE?CD?BD?CE D.AD?AE?BD?CD

6.从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为 A.36 B.30 C.24 D.12

2?C.圆、圆

?D.圆、直线 D.14

?x?y?4,?227.设不等式组?y?x?0,表示的平面区域为D.若圆C:?x?1???y?1??r2 ?r?0?不

?x?1?0?经过区域D上的点,则r的取值范围是 A.22,25 B.22,32

?C.?32,2?5?

??D.?0,22???25,??

?8.已知函数f?x??sin?2x???,其中?为实数,若f?x??f?????对x?R恒成立,且?6????f???f???.则下列结论正确的是 ?2??11??7?????A.f?B.f?????1 ??f??

?12??10??5?C.f?x?是奇函数

D.f?x?的单调递增区间是?k?????3,k????6???k?Z?

二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分) 9.执行如图所示的程序框图,输出的s值为 .

10.在?ABC中,若b?4,cosB??开始 i?1,s?3 s?是 s?1 s?1i?4 否 i?i?1 结束 11.下图是根据50个城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数

据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是?20.5,26.5?,样本数据的分组为

a? ,c? . 1,sinA?415,则8输出s ?20.5,21.5?, ?21.5,22.5?,?22.5,23.5?,?23.5,24.5?,?24.5,25.5?,?25.5,26.5?.由图中数据可

知a? ;样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为 .

频率/组距

0.26

0.22

a 0.12 0.10

O 20.5 21.5 22.5 23.5 24.5 25.5 26.5

12.已知定义域为R的偶函数f?x?在???,0?上是减函数,且f?的解集为 .

13.在平面直角坐标系xOy中,设抛物线y?4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,

2平均气温/℃

?1?x??2,则不等式f2?2?2???PA?l,A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120?,那么PF? . 14.函数f?x?的定义域为A,若x1,x2?A且f?x1??f?x2?时总有x1?x2,则称f?x?为单函数.例如,函数f?x??x?1?x?R?是单函数.下列命题: ①函数f?x??x?2x?x?R?是单函数;

2?log2x,x?2,??fx?②函数是单函数; ?2?x,x?2?③若f?x?为单函数,x1,x2?A且x1?x2,则f?x1??f?x2?;

④函数f?x?在定义域内某个区间D上具有单调性,则f?x?一定是单函数.

其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).

三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

已知函数f?x??cos?2?x?小正周期为?. (I)求?的值;

(II)求函数f?x?在区间??

16.(本小题满分13分)

已知?an?为等差数列,且a2??1,a5?8. (I)求数列an的前n项和; (II)求数列2n?an的前n项和.

17.(本小题满分13分)

现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为

???????2??cos?2?x???1?2sin?x,?x?R,??0?的最6?6??????,?上的最大值和最小值. 43??????3,每命中一次得1分,没42,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射3击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率;

(II)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX;

(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.

18.(本小题满分14分)

设函数f?x??13x?ax?a?0?,g?x??bx2?2b?1. 3(I)若曲线y?f?x?与曲线y?g?x?在它们的交点?1,c?处具有公共切线,求a,b的值; (II)当a?1?2b时,若函数f?x??g?x?在区间??2,0?内恰有两个零点,求a的取值范围; (III)当a?1?2b?1时,求函数f?x??g?x?在区间?t,t?3?上的最大值.

19.(本小题满分14分)

x22已知椭圆C:2?y?1?a?1?的上顶点为A,左焦点为F,直线AF与圆

a1??M:x2?y2?6x?2y?7?0相切.过点?0,??的直线与椭圆C交于P,Q两点.

2??(I)求椭圆C的方程;

(II)当?APQ的面积达到最大时,求直线的方程.

20.(本小题满分13分)

已知数列?an?的前n项和为Sn,且点?n,Sn?在函数y?2(I)求数列?an?的通项公式;

(II)设数列?bn?满足:b1?0,bn?1?bn?an?n?N*?,求数列?bn?的前n项和公式;

(III)在第(II)问的条件下，若对于任意的n?N*不等式bn??bn?1恒成立,求实数?的取值范围.

x?1?2的图像上.

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数学试卷(理工类)参考答案

一、BABD CCDD 二、9.?2

12.??1,??? 三、 15.解:(I)

10.2,3 13.4

11.0.18,33 14.③

f?x??cos2?x?cos?6?sin2?x?cos2?x

?sin2?x?sin?6?cos2?x?cos?6?sin2?x?sin?6?cos2?x

????2sin?2?x??.………………………………………………………5分

4??因为f?x?是最小正周期为?,

2???, 2?因此??1.…………………………………………………………………7分

所以

(II)由(I)可知,f?x??因为?所以????2sin?2x??,

4??3,

?4?x???4?2x??4?11?.…………………………………………………9分 12于是当2x?当2x??4??2,即x??8时,f?x?取得最大值2;…………………11分

?4???4,即x???4时,f?x?取得最小值?1.……………13分

16.解:(I)设等差数列?an?的公差为d,

因为a2??1,a5?8, 所以??a1?d??1,

?a1?4d?8解得a1??4,d?3,…………………………………………………………2分 所以an??4?3?n?1??3n?7,……………………………………………3分

因此an?3n?7????3n?7,n?1,2,………………………………………4分

?3n?7,n?3记数列an的前n项和为Sn, 当n?1时,S1?a1?4, 当n?2时,S2?a1?a2?5,

当n?3时,Sn?S2?a3?a4???an

???5??3?3?7???3?4?7?????3n?7?

=5??n?2??2??3n?7???23211n?n?10, 22又当n?2时满足此式,

?4,n?1,?综上,Sn??3211…………………………………………8分

n?n?10,n?2?2?2(II)记数列2nan的前n项和为Tn.

则Tn?2a1?22a2?23a3???2nan,

??2Tn?22a1?23a2?24a3???2nan?1?2n?1an,

所以?Tn?2a1?d22?23???2n?2n?1an. 由(I)可知,a1??4,d?3,an?3n?7,

??41?2n?1所以?Tn??8?3???3n?7??2n?1??20??3n?10??2n?1,

1?2故Tn?20??3n?10??2n?1.………………………………………………13分 17.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件A,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C,“该射手射击乙靶命中”为事件D.

由题意知,P?B??P?C????32,P?D??, 43所以P?A??PBCD?PBCD?PBCD

???????P?B?P?C?PD?P?B?PCP?D??PBP?C?P?D?

??????

因此an?3n?7????3n?7,n?1,2,………………………………………4分

?3n?7,n?3记数列an的前n项和为Sn, 当n?1时,S1?a1?4, 当n?2时,S2?a1?a2?5,

当n?3时,Sn?S2?a3?a4???an

???5??3?3?7???3?4?7?????3n?7?

=5??n?2??2??3n?7???23211n?n?10, 22又当n?2时满足此式,

?4,n?1,?综上,Sn??3211…………………………………………8分

n?n?10,n?2?2?2(II)记数列2nan的前n项和为Tn.

则Tn?2a1?22a2?23a3???2nan,

??2Tn?22a1?23a2?24a3???2nan?1?2n?1an,

所以?Tn?2a1?d22?23???2n?2n?1an. 由(I)可知,a1??4,d?3,an?3n?7,

??41?2n?1所以?Tn??8?3???3n?7??2n?1??20??3n?10??2n?1,

1?2故Tn?20??3n?10??2n?1.………………………………………………13分 17.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件A,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C,“该射手射击乙靶命中”为事件D.

由题意知,P?B??P?C????32,P?D??, 43所以P?A??PBCD?PBCD?PBCD

???????P?B?P?C?PD?P?B?PCP?D??PBP?C?P?D?

??????

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