北京2014中考数学二模分类汇编 - 第25题

第25题：代几综合题

1、（2014西城二模）25. 在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作lPBM.

（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0,2），

①直线l1：y?2，直线l2：y?x?2，直线l3：y?3x?2，直线l4：y??2x?2都经过点P，在直线l1， l2， l3， l4中，是⊙O的“x关联直线”的是 ； ②若直线lPBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标xM的最大值是 ； （2）点A（2,0）,⊙A的半径为1，

①若P（-1,2）,⊙A的“x关联直线”lPBM：y?kx?k?2，点M的横坐标为xM，当xM最大时，求k的值；

②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标yp?2，⊙A的两条“x关联直线”lPCM,lPDN是⊙A的两条切线，切点分别为C,D，作直线CD与x轴点于点E，当点P的位置发生变化时， AE的长度是否发生改变？并说明理由.

2、（2014海淀二模）25. 对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧. （1）当r=42时，

①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（42，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是；

②若点P在直线y??x?2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为；

（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的

坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方.

①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P 在y轴上截得的弦长；

②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是．

图1 图2

yHBECODAGFx

3、（2014东城二模）25.定义：对于数轴上的任意两点A，B分别表示数x1,x2，用x1?x2表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)我们把． x1?x2?y1?y2叫做A，B两点之间的直角距离,记作d（A，B）

（1）已知O为坐标原点，若点P坐标为（－1，3），则d(O,P)＝_____________; （2）已知C是直线上y＝x＋2的一个动点，

①若D（1，0），求点C与点D的直角距离的最小值；

②若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C与点E的直角距离的最小值．

y3 2 1

O-2-112

-1

-24、（2014朝阳二模）25．如图，在平面直角坐标系中xOy，

二次函数y=ax2-2ax+3的图象与x轴分别交于点A、B，

与y轴交于点C，AB=4，动点P从B点出发，沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线BC，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（t ＞0），△BPQ与△ABC重叠部分的面积为S． （1）求这个二次函数的关系式； （2）求S与t的函数关系式；

（3）将△BPQ绕点P逆时针旋转90°，当旋转后的△BPQ与二次函数的图象有公共点

时，求t的取值范围（直接写出结果）．

y

C

OxAB

x

5、（2014丰台二模）25.如图，经过原点的抛物线y=x+bx（b>2）与x轴的另一交点为A，过点P（1，）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C.连结CB，CP.

（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长； （2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；

（3）当b=6时，如图2，将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△CB＇P＇，CP与抛物

线对称轴的交点为E，点M为线段B＇P＇（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围.

6、（2014顺义二模）25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点A(1,0)，B(0,)，这

条抛物线的对称轴与x轴交于点C，点P为射线CB上一个动点（不与点C重合），点D为此抛物线对称轴上一点，且∠CPD=60°． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m之间的函数关系式； （3）过点P作PE⊥DP，连接DE，F为DE的中点，试求线段BF的最小值．

2

7、（2014昌平二模）25．如图，已知点A（1，0），B（0，3），C（-3，0），动点P（x，y）

在线段AB上，CP交y轴于点D，设BD的长为t. （1）求t关于动点P的横坐标x的函数表达式；

（2）若S△BCD：S△AOB=2：1，求点P的坐标，并判断线段CD与线段AB的数量及位置关系，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若M为x轴上的点，且∠BMD最大，请直接写出点M的坐标.

yB21C-2-1O-1A2x

8、（2014通州二模）本次模拟共计24题

9、（2014大兴二模）25. 已知：E是线段AC上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点D，使得∠EDB=∠EAB，联结AD.

（1）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB=60°时，如图1，求证：ED =AD+BD；

（2）若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB= α（0o﹤α﹤90o）时，如图2，请你直接

写出线段ED、AD、BD之间的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）若直线EF与线段AB不相交，当∠EAB=90°时，如图3，请你补全图形，写出线段

ED、AD、BD之间的数量关系，并证明你的结论.

10、（2014房山二模）25. 如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”，是

否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过

O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点，求出r的取值范围．

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

11、 （2014门头沟二模）25．如图25-1，抛物线y=-x2+bx+c与直线

y?17x?2交于C、 ). D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，22点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F. （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边

形？请说明理由.

（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标. ．．．．

y P D F C A O E B y D C x A O B x

图 25-1

备用图

12、（2014石景山二模）25．在平面直角坐标系xoy中，射线l:y?3x?x?0?.点A是第．

一象限内．．．．一定点，OA?43，射线OA与射线l的夹角为30°.射线l上有一动点P从点O出发，以每秒23个单位长度的速度沿射线l匀速运动，同时x轴上有一动点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒. （1）用含t的代数式表示PQ的长.

（2）若当P、Q运动某一时刻时，点A恰巧在线段PQ上，求出此时的t值.

（3）定义M抛物线：顶点为P，且经过Q点的抛物线叫做“M抛物线”.若当P、Q运

动t秒时，将△PQA绕其某边中点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在“M抛物线”上，求此时t的值.

备用图 备用图2 备用图1

13、（2014怀柔二模）

25.在平面直角坐标系xoy中，已知 A(3，0)、B(1，2)， 直线l围绕△OAB的顶点A旋转，与y轴相交于点P.探究解决下列问题： （1）在图1中求△OAB的面积.

（2）如图1所示，当直线l旋转到与边OB相交时，试确定点P的位置，使顶点O、B到直

线l的距离之和最大，并简要说明理由.

（3）当直线l旋转到与y轴的负半轴相交时，在图2中试确定点P的位置，使顶点O、B

到直线l的距离之和最大，画出图形并求出此时P点的坐标. （点P位置的确定只需作出图形，不用证明）.

14、（2014平谷二模）25.定义：任何一个一次函数y?px?q，取出它的一次项系数p和常数项q，有序数组[p，q]为其特征数.例如：y=2x+5的特征数是[2，5]，同理，a，b，c为二次函数y?ax?bx?c的特征数。

（1）直接写出二次函数y?x2?5x的特征数是：_______________。 （2）若特征数是2，m?1的一次函数为正比例函数，求m的值；

（3）以y轴为对称轴的二次函数抛y?ax?bx?c的图象经过A(2，m)、B(n，1)两点（其

中m﹥0，n<0），连结OA、OB、AB，得到OA⊥OB，S△AOB?10，求二次函数

22????y?ax2?bx?c的特征数．

15、（2014密云二模）25．按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（一）新数据都在60～100（含60和100）之间；（二）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.

（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝0.5时，这种变换满足上述两个要求；

（2）若按关系式y=a(x－h)＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

16、（2014燕山二模）25. 定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数

的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．

2

11?1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y?的图象，x?2x1?1是y与x的“反比例平移函数”则y?． x?2 （1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x(cm)、y(cm)后，得

例如:y?到的新矩形的面积为8cm，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反

比例平移函数”．

（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分

别为(9，0)、(0，3) ．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例

平移函数”y?2ax?k的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表x?6达式为 ；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式 ．

（3）在（2）的条件下， 已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反

比例平移函数”图象于P、Q两点(P在Q的右侧)，若B、E、

P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．

yCEODAB

x

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