2015-2016学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理科） 解析

2015-2016学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2016春?内江期末）椭圆A．2

B．2

C．4

D．4

，则f′（π）=（ ）

+

=1的长轴长是（ ）

2．（5分）（2016春?内江期末）设函数f（x）=A．0

B．

C．﹣

D．﹣

3．（5分）（2016春?内江期末）设i为虚数单位，a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．（5分）（2016春?内江期末）若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l?α D．l与α相交但不垂直 5．（5分）（2016春?内江期末）在如图的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BD1上的一点，且BP=2PD1，则点P的坐标是（ ）

A．（，，）

2

B．（，，） C．（，，） D．（，，）

2

6．（5分）（2016春?内江期末）下列有关命题的说法正确的是（ ） A．命题“若x=1，则x=1”的否命题为：“若x=1，则x≠1”

22

B．命题“?x∈R，使x+x+1＜0”的否定为：“?x∈R，使x+x+1＜0” C．命题“若f（x）=x﹣2x+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为真命题

D．命题“若抛物线的方程为y=﹣4x，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题 7．（5分）（2016?商洛模拟）直线l经过抛物线y=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8

2

2

3

2

8．（5分）（2016春?内江期末）函数f（x）=1nx﹣x+1的零点个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3 9．（5分）（2014?监利县校级模拟）如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（ ）

3

A． B． C．

D．

﹣

=1（a＞0，b＞0）被斜率为1的直线截

10．（5分）（2012?湖北模拟）已知双曲线

得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（ ） A．

B．

C．

D．

11．（5分）（2016春?内江期末）某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至I2日值班，每人4天，

甲说：我在2日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等． 据此可判断丙必定值班的日期有（ ）

A．6日和12日 B．5日和6日 C．1月和5月 D．1月和11日 12．（5分）（2016春?内江期末）设a，b是两个不相等的正数，且alna+b=blnb+a，则（ ） A．（a﹣1）（b﹣1）＞0 B．0＜a+b＜2 C．ab＞1 D．0＜ab＜1

二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分. 13．（5分）（2016春?内江期末）复数

在复平面上对应的点在第 象限．

14．（5分）（2016春?内江期末）已知双曲线C与椭圆3x+8y=24有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y=±2x，则双曲线C的标准方程为 ． 15．（5分）（2016春?内江期末）若命题“?x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命题，则实数a的取值范围是 ．

16．（5分）（2016春?内江期末）设椭圆x+

2

22

=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于，

则m的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤

32

17．（10分）（2016春?内江期末）已知函数f（x）=2x﹣6x+1． （1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最小值． 18．（12分）（2016春?内江期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA=CD=AD=2AB=2，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点． （1）求证：BE∥面PAD；

（2）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．

2

19．（12分）（2016春?内江期末）在抛物线y=16x上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，当P在抛物线上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的轨迹方程；

（2）设O为原点，过点（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值． 20．（12分）（2016春?内江期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC，∠B

BC=60°，P为A1C1的中点．

（1）求证：BC⊥AB1；

（2）求二面角C1﹣B1C﹣P的余弦值．

21．（12分）（2016春?内江期末）已知椭圆C的中心在坐标原点，经过两点P（2，0）和Q（1，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过原点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点的直线l2与椭圆C

2

交于M，N两点，且l1∥l2，是否存在常数λ，使得|AB|=λ|MN|？若存在，请求出λ的值； 若不存在，请说明理由．

22．（12分）（2016春?内江期末）已知函数f（x）=e﹣xe，其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（1）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；

（2）对于区间（0，1）上任意一个实数a，是否存在x＞0，使得f（x）＞x+1？若存在，请求出符合条件的一个x，若不存在，请说明理由．

x

2x

2015-2016学年四川省内江市高二（下）期末数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2016春?内江期末）椭圆

+

=1的长轴长是（ ）

A．2 B．2 C．4 D．4

【分析】根据椭圆方程得出a，从而得出长轴长2a． 【解答】解：∵椭圆方程为：

+

=1，即

，

∴a=2，

∴椭圆的长轴长为2a=4． 故选D．

【点评】本题考查了椭圆的定义与简单性质，属于基础题．

2．（5分）（2016春?内江期末）设函数f（x）=A．0

B．

C．﹣

D．﹣

，则f′（π）=（ ）

【分析】求函数的导数，直接进行计算即可． 【解答】解：函数的导数f′（x）=

，

则f′（π）==﹣，

故选：C．

【点评】本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础． 3．（5分）（2016春?内江期末）设i为虚数单位，a，b∈R，则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】复数a+bi是纯虚数，则

，即可判断出结论．

【解答】解：复数a+bi是纯虚数，则，．

∴“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件．

故选：B

【点评】本题考查了纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．（5分）（2016春?内江期末）若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l?α D．l与α相交但不垂直

【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出． 【解答】解：∵=（1，0，2），=（﹣2，0，4）， ∴=﹣2， ∴∥，

因此l⊥α． 故选：B．

【点评】本题考查了向量共线定理与线面垂直的判定定理，是基础题．

5．（5分）（2016春?内江期末）在如图的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BD1上的一点，且BP=2PD1，则点P的坐标是（ ）

A．（，，）

B．（，，） C．（，，） D．（，，）

【分析】设P（x，y，z），利用BP=2PD1，可得（x﹣1，y，z）=2（﹣x，1﹣y，1﹣z），求出x，y，z，即可得出点P的坐标．

【解答】解：由题意，B（1，0，0），D1（0，1，1） 设P（x，y，z）， ∵BP=2PD1，

∴（x﹣1，y，z）=2（﹣x，1﹣y，1﹣z），

∴，

∴x=，y=，z=， ∴P（，，），

故选：A．

【点评】本题考查点P的坐标，考查方程组思想，考查学生的计算能力，比较基础． 6．（5分）（2016春?内江期末）下列有关命题的说法正确的是（ ）

22

A．命题“若x=1，则x=1”的否命题为：“若x=1，则x≠1”

22

B．命题“?x∈R，使x+x+1＜0”的否定为：“?x∈R，使x+x+1＜0” C．命题“若f（x）=x﹣2x+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为真命题

D．命题“若抛物线的方程为y=﹣4x，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题 【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

22

【解答】解：对于A，命题“若x=1，则x=1”的否命题为：“若x≠1，则x≠1”，不正确；

22

对于B，命题“?x∈R，使x+x+1＜0”的否定为：“?x∈R，使x+x+1≥0”，不正确； 对于C，f（x）=x﹣2x+4x+2，则f′（x）=x﹣4x+4=（x﹣2），∴函数在2的左右附近，导数的符号不改变，∴命题“若f（x）=x﹣2x+4x+2，则2是函数f（x）的极值点”为假命题；

对于D，若抛物线的方程为y=﹣4x，则焦点到其准线的距离为，正确，根据原命题与逆否命题是等价命题，故命题“若抛物线的方程为y=﹣4x，则焦点到其准线的距离为”的逆否命题为真命题，正确． 故选：D．

【点评】本题考查否命题、命题的否定、逆否命题，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

7．（5分）（2016?商洛模拟）直线l经过抛物线y=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB的中点横坐标为3，则线段AB的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|，由此能求出线段AB的长．

2

【解答】解：设抛物线y=4x的焦点为F，准线为l0，C是AB的中点， 分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N， 由抛物线定义，

得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN| =

=xA+xB+p=2xC+p=8．

2

2

2

3

2

3

2

2

2

2

3

2

故选：D．

【点评】本题考查抛物线的弦长的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质．

8．（5分）（2016春?内江期末）函数f（x）=1nx﹣x+1的零点个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

3

3

【分析】由题意得，f（x）的零点个数即方程f（x）=0的解的个数，1nx=x﹣1的解的个数，即函数y=1nx与函数y=x﹣1的交点个数，利用函数性质分别画出其图象，即可找到交点个数．

【解答】解：由题意得： f（x）=0即1nx=x﹣1，

分别画出y=1nx，y=x﹣1的图象如下图，

33

3

所以交点个数为2个，即y=f（x）的零点个数为2个， 故选：C． 【点评】本题为中档难度题，解题关键在于将函数零点个数转化为两个函数交点个数的问题．

9．（5分）（2014?监利县校级模拟）如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（ ）

A． B． C．

D．

【分析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项

【解答】解：观察可知阴影部分的面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，

对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项D符合要求， 故选D． 【点评】本题考查直线与圆相交的性质，解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的阴影部分的面积变化规律，利用函数的思想找出正确答案，本题考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力．

10．（5分）（2012?湖北模拟）已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）被斜率为1的直线截

得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】利用点差法，根据双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），确定a，b的关系，从而可求双曲线离心率的值．

【解答】解：设交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则

，

两式相减可得

∵双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1）， ∴∴a=2b

∴双曲线离心率的值为=

=

故选D．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查点差法的运用，考查计算能力，属于基础题．

11．（5分）（2016春?内江期末）某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至I2日值班，每人4天，

甲说：我在2日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等． 据此可判断丙必定值班的日期有（ ）

A．6日和12日 B．5日和6日 C．1月和5月 D．1月和11日

【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、11日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期．

【解答】解：由题意，1至12的和为78， 因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26，

根据甲说：我在2日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在2、3、10、11日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5， 据此可判断丙必定值班的日期是6日和12日， 故选：A．

【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 12．（5分）（2016春?内江期末）设a，b是两个不相等的正数，且alna+b=blnb+a，则（ ） A．（a﹣1）（b﹣1）＞0 B．0＜a+b＜2 C．ab＞1 D．0＜ab＜1

【分析】由条件可得alna﹣a=blnb﹣b，设f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求得导数和单调区间、极值，设0＜a＜1，b＞1，排除A；

通过f（x）的零点的范围，举b=2，排除B；由f（a）﹣2ln2+2＜0，可得0＜a＜0.5，排除C，可得D正确．

【解答】解：由alna+b=blnb+a，得alna﹣a=blnb﹣b， 设f（x）=xlnx﹣x，x＞0， 则f′（x）=1+lnx﹣1=lnx，

由f′（x）＞0得lnx＞0，得x＞1， 由f′（x）＜0得lnx＜0，得0＜x＜1， 即当x=1时，函数f（x）取得极小值﹣1， alna﹣a=blnb﹣b，等价为f（a）=f（b）， 则a，b一个大于1，一个小于1， 不妨设0＜a＜1，b＞1．

则a+b﹣ab＞1等价为（a﹣1）（1﹣b）＞0， 则（a﹣1）（b﹣1）＜0，故A不正确；

由f（2）=2ln2﹣2＜0，f（3）=3ln3﹣3＞0，可得f（x）=xlnx﹣x的一个零点介于（2，3）， 可设2＜b＜3，则a+b＞2，故0＜a+b＜2不正确，故B不正确； 当b=2时，即有f（a）=f（2）=2ln2﹣2，

设g（a）=alna﹣a﹣2ln2+2，由g（）=ln﹣﹣2ln2+2=﹣ln2＜0， 可得此时0＜a＜，

即有ab＜1，故C不正确； 由排除法，可得D正确． 故选：D．

【点评】本题考查函数和方程的转化思想，注意构造函数，求出导数，判断单调性，考查特殊值法解选择题的方法，考查运算能力，属于中档题．

二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分. 13．（5分）（2016春?内江期末）复数

在复平面上对应的点在第 二 象限．

【分析】化简复数，使它的分母为实数，只需分子分母同乘分母的共轭复数，整理为a+bi（a、b∈R），根据（a，b）的位置可得复数【解答】解：复数z=

=

在复平面上对应的点所在象限． =﹣+，

复数对应的点（﹣，）位于第二象限，

故答案为：二．

【点评】本题主要考查了复数代数形式的除法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．

14．（5分）（2016春?内江期末）已知双曲线C与椭圆3x+8y=24有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y=±2x，则双曲线C的标准方程为 x﹣

22

2

=1 ．

【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标，得出双曲线C的焦点在x轴上和c的值，再根据渐近线方程，求出a、b的值，即可得出双曲线C的标准方程． 【解答】解：椭圆3x+8y=24的标准方程是焦点坐标为（﹣，0）和（，0）； 所以双曲线C的焦点在x轴上，且c=， 又渐近线方程为y=±2x，∴=2， 又c=a+b， 解得a=1，b=2；

所以双曲线C的标准方程为x﹣

2

2

2

2

2

2

+=1，

=1．

故答案为：x﹣

2

=1．

【点评】本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质的应用问题，是基础题目．

15．（5分）（2016春?内江期末）若命题“?x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命题，则实数a的取值范围是 [，+∞） ．

【分析】根据特称命题为假命题，转化为“?x∈（0，+∞），使lnx﹣ax≤0”恒成立，利用参数分离法进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性额最值进行求解即可． 【解答】解：若命题“?x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命题， 则命题“?x∈（0，+∞），使lnx﹣ax≤0”恒成立， 即ax≥lnx， 即a≥

，

设f（x）=，则f′（x）=，

由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，则0＜x＜e，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，则x＞e，此时函数单调递减， 即当x=e时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值，此时f（e）=故a≥，

故答案为：[，+∞）

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据特称命题和全称命题之间的关系，进行转化为不等式恒成立，以及可以参数分离法和构造法是解决本题的关键．

16．（5分）（2016春?内江期末）设椭圆x+则m的取值范围为 3＜m＜35 ． 【分析】求出与直线y=x+4的距离等于可求出m的取值范围．

【解答】解：设与直线y=x+4的距离等于∴c=2或6， y=x+2代入x+＞3； y=x+6代入x+得0＜m＜35； ∵椭圆x+

2

22

2

=，

=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于，

的直线方程，与椭圆方程联立，利用判别式，即

的直线方程为y=x+c，则=，

=1可得（m+1）x+4x+4﹣m=0，△=16﹣4（m+1）（4﹣m）＞0，可得m

2

=1可得（m+1）x+12x+36﹣m=0，△=144﹣4（m+1）（36﹣m）＜0，可

2

=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于，

∴3＜m＜35．

故答案为：3＜m＜35．

【点评】本题考查求m的取值范围，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，属于中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答写出文字说明、证明或验算步骤

17．（10分）（2016春?内江期末）已知函数f（x）=2x﹣6x+1． （1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）在[﹣1，3]上的最小值． 【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）和f（1），代入切线方程即可；

（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

【解答】解：（1）∵f（x）=2x﹣6x+1，

2

∴f′（x）=6x﹣12x=6x（x﹣2）， ∴f（1）=﹣3，f′（1）=﹣6， ∴切线方程是：y+3=﹣6（x﹣1）， 即6x+y﹣3=0；

2

（2）f′（x）=6x﹣12x=6x（x﹣2）， 令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，

∴f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，3]递增， ∴f（x）的最小值是f（﹣1）或f（2）， 而f（﹣1）=﹣7，f（2）=﹣7，

故函数在[﹣1，3]上的最小值是﹣7．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题． 18．（12分）（2016春?内江期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA=CD=AD=2AB=2，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点． （1）求证：BE∥面PAD；

（2）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．

3

2

3

2

【分析】（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明；

（2）由BE∥AM，可得直线BE与平面PAB所成角的正弦值=直线MA与平面PAB所成角的正弦值=sin∠PAM． 【解答】（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MA， ∵E是PC的中点，

∴ME是△PCD的中位线．

∴ME∥CD，ME=CD．

又∵AB∥CD，2AB=CD， ∴ME∥AB，且ME=AB．

∴四边形MEBA是平行四边形， ∴BE∥AM．

∵BE?平面PAD，AM?平面PAD， ∴BE∥平面PAD．

（2）解：直线BE与平面PAB所成角的正弦值=直线MA与平面PAB所成角的正弦值=sin∠PAM，

∵PA⊥底面ABCD，PA=DA，M是PD的中点， ∴∠PAM=45°， ∴sin∠PAM=

．

【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键．

19．（12分）（2016春?内江期末）在抛物线y=16x上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，当P在抛物线上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的轨迹方程；

（2）设O为原点，过点（1，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值．

2

【分析】（1）设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入y=16x整理得线段PD的中点M的轨迹．

（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得出结论． 【解答】解：（1））设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1） ∵M为线段PD的中点，∴y1+0=2y，y1=2y．

22

又∵P（x，y1）在y=16x上，∴y1=16x，

22

∴4y=16x，即y=4x．

2

（2）设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线方程，可得：y﹣4my﹣4=0 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4， ∴△AOB的面积=|OF||y1﹣y2|=

≥2，m=0时取等号，

2

∴m=0时，△AOB的面积最小值为2．

【点评】本题考查了轨迹方程的求法，训练了利用代入法求曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．

20．（12分）（2016春?内江期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC，∠B

BC=60°，P为A1C1的中点．

（1）求证：BC⊥AB1；

（2）求二面角C1﹣B1C﹣P的余弦值．

【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明BC⊥平面AOB1，即可证明BC⊥AB1；

（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C1﹣B1C﹣P的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）过B1作B1O⊥BC于O， ∵侧面BCC1B1⊥平面ABC， ∴B1O⊥平面ABC，

∵∠B1BC=60°．BCC1B1是菱形，∴O为BC的中点． ∵AO⊥BC，B1O⊥BC， ∴BC⊥平面AOB1， ∵AB1?平面AOB1， ∴BC⊥AB1； 解：（2）以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则

，

∵P为A1C1的中点， ∴P（﹣

，，

），

，B（0，﹣1，0），C（0，1，0），

，

，

则平面C1B1C的法向量=（1，0，0），

．

设平面B1CP的法向量

=（﹣

，，，

），

则．即

令z=1，则则=（3，

，x=3， ，1），

则cos＜，＞====，

即二面角C1﹣B1C﹣P的余弦值是

．

【点评】本题考查二面角的平面角的求法与应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，建立空间坐标系，求出平面的法向量利用向量法是解决二面角的常见方法． 21．（12分）（2016春?内江期末）已知椭圆C的中心在坐标原点，经过两点P（2，0）和Q（1，）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过原点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点的直线l2与椭圆C

2

交于M，N两点，且l1∥l2，是否存在常数λ，使得|AB|=λ|MN|？若存在，请求出λ的值； 若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设椭圆的方程为

=1（a＞b＞0）运用离心率公式和内切圆的性质以及

三角形的面积公式，计算即可得到a，b，c，进而得到椭圆方程；

（2）设出直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再设直线x=my，代入椭圆方程，运用弦长公式，化简可得|AB|，再由计算即可得到所求常数λ． 【解答】解：（1）设椭圆的方程为

=1（a＞b＞0）

由题意可得a=2，可得b=

，

=1，

即有椭圆的方程为=1；

（2）设l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），

22

由直线与椭圆方程，联立得（3m+4）y+6my﹣9=0，

即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣

，

|MN|=?=，

设A（x3，y3），B（x4，y4）， 由x=my代入椭圆方程可得 消去x，并整理得y=

2

|AB|=

2

?|y3﹣y4|=

?

即有|AB|=4|MN|．

2

故存在常数λ=4，使得|AB|=4|MN|．

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和内切圆的性质，考查弦长的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

22．（12分）（2016春?内江期末）已知函数f（x）=e﹣xe，其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（1）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；

（2）对于区间（0，1）上任意一个实数a，是否存在x＞0，使得f（x）＞x+1？若存在，请求出符合条件的一个x，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求出函数的导数，令g（x）=ax+2ax﹣，（x＞0），通过讨论a的范围，确定g（x）的符号，从而确定函数的单调区间； （2）问题转化为

+

﹣1＜0，只需要找一个x＞0使式子成立，只需找到函数t（x）

2

x

2x

=+

﹣1的最小值，满足t（x）min＜0即可．

x

2x

【解答】解：（1）∵f（x）=e﹣xe， ∴f′（x）=﹣e（ax+2ax﹣），（x＞0）， 令g（x）=ax+2ax﹣，（x＞0）， ①a=0时，g（x）=﹣，f′（x）＞0， f（x）在（0，+∞）递增；

②a≠0时，g（x）是二次函数，

2

x

2

△=4a+2a，由△=0，解得：a=﹣，

a＞0时，抛物线开口向上，△＞0，解方程g（x）=0， 得：x1=

＜0（舍），x2=

＞0，

2

故g（x）＞0在（，+∞）恒成立，

即f′（x）＜0在（，+∞）恒成立，

故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；

a＜﹣时，△＞0，抛物线开口向下，

，x1=＜0（舍），x2=

＜0，（舍）

故g（x）＜0在（0，+∞）恒成立，

即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立， 故f（x）在（0，+∞）递增； ﹣≤a＜0时，△≤0，

故g（x）＜0在（0，+∞）恒成立， 即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立， 故f（x）在（0，+∞）递增； 综上，a＞0时，f（x）在（0，减；

a＜0时，f（x）在（0，+∞）递增．

（2）要使f（x）＞x+1成立，即e﹣xe＞x+1，

x

2x

）递增，在（，+∞）递

变形为+﹣1＜0，①

要找一个x＞0使①式成立，只需找到函数t（x）=＜0即可． ∵t′（x）=x（a﹣

），

+

﹣1的最小值，满足t（x）min

令t'（x）=0得e=，则x=﹣lna，

在0＜x＜﹣lna时，t'（x）＜0，在x＞﹣lna时，t'（x）＞0，

即t（x）在（0，﹣lna）上是减函数，在（﹣lna，+∞）上是增函数， ∴当x=﹣lna时，t（x）取得最小值t（x）=（lna）+a（﹣lna+1）﹣1 下面只需证明：（lna）﹣alna+a﹣1＜0在0＜a＜1时成立即可． 又令p（a）=（lna）﹣alna+a﹣1，

则p′（a）=（lna）≥0，从而p（a）在（0，1）上是增函数， 则p（a）＜p（1）=0，从而（lna）﹣alna+a﹣1＜0，得证．

于是t（x）的最小值t（﹣lna）＜0， 因此可找到一个常数x=﹣lna（0＜a＜1），使得①式成立．

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查二次函数的性质、分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．

2

22

2

2

x

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/igjr.html