线性代数 §1.2 n阶行列式 习题与答案

第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

§1.2 n阶行列式

为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念。为此，先介绍排列的有关知识。

㈠排列与逆序：(课本P4)

１、排列的定义：由数码1，2，…，n，组成一个有序数组i1i2?in，

称为一个n级排列。

【例1】1234是一个4级排列，

3412也是一个4级排列，

而52341是一个5级排列。(课本P4中例)

【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。

【例3】数字由小到大的n级排列1234…n 称为自然序排列。

２、逆序的定义：在一个n级排列i1i2?in中，如果有较大的数it排在is的前面，则称it与is构成一个逆序。(课本P4)

【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，

在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。 3、逆序数的定义：一个n级排列i1i2?in中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为N(i1i2?in)。(课本P4) 【例5】排列3412的逆序数为N(3412) = 4，

排列52341的逆序数为N(52341) = 7， 自然序排列的逆序数为0。

4、奇、偶排列的定义：如果排列i1i2?in的逆序数N(i1i2?in)是奇数，

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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

则将i1i2?in称为奇排列；如果排列i1i2?in的逆序数N(i1i2?in)是偶数，则将i1i2?in称为偶排列。(课本P4)

【例6】由于N(3412) = 4，知排列3412是偶排列，

由于N(52341) =7，知排列52341是奇排列， 由于N(123…n) = 0，知自然排列123…n是偶排列。

【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。奇偶排列各占一半。

5、对换的定义：在一个n级排列i1?it?is?in中，如果其中某两个数it与is对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列

i1?is?it?in，这样的变换称为一个对换，记作(it,is)。(课本P5)

【例8】在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214。 【例9】偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214；

反之，奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412。 定理1.1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。(课本P5) 定理的证明见课本P5。

【例10】奇排列132经对换(3，2)得到偶排列123，

偶排列312经对换(1，2)得到奇排列321。

定理1. 2 n个数码(n?2)共有n！个n 级排列，其中奇、偶排列各占一半。(课本P6)

定理的证明见课本P6。

【例11】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有

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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

123，312，231三个。

相应练习见课本

【第四版】习题一(A)中的8大题。

=============================================== ㈡ n阶行列式的定义：(课本P6)

我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手，引出n阶行列式的定义。 二阶行列式为

a11a21a12a22?a11a22?a12a21，

a11三阶行列式为a21a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，

a31我们可以从二阶、三阶行列式中发现以下规律：

(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和； (2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，

三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行

和不同的列；

(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号。

作为二、三阶行列式的推广，我们给出n阶行列式的定义。 定义1.2 用n个元素aij（i,j?1,2,?,n）和双竖线组成的记号

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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

a11a21?an1a12?a1n

a22?a2n???an2?ann称为n阶行列式。有时简记为aij。(课本P7)

n阶行列式的定义包含如下的内容：

⑴构成：n阶行列式的横排称为行，纵排称为列。元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示这个元素位于第j列，称为列标。(课本P7)

258【例12】三阶行列式 A?147有3行3列共32 = 9个元素。

369其中，第二行元素为 1，4，7；第二列元素为5，4，6，

元素7的位置为第2行第3列。

⑵含义：n阶行列式是n ! 个项的代数和，其中每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积。(课本P8)

由于一个项中的n个乘积元素来自不同的行，而乘法满足交换率，故为方便分析，可以将n个元素按行码的自然数顺序排列，再分析列码的状态。

当行码按自然序列排列后，列码的不同排列即对应不同的项，由于n个元素共有不同排列n!个，从而n阶行列式中共有n!个不同的项。 【例13】一阶行列式│a│= a只有1个项。 【例14】三阶行列式

a11A?a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 4

第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，

共有3！＝6个不同的项，

a11a22a33和a13a21a32的元素都来自不同行且不同列，都可能是A

中的一个项，

而a11a21a33中的a11与a21同来自第1列，不是其中的一个项，

a13a21a22中的a21与a22同来自第2行，也不是其中的一个项， a11a22a33与a22a11a33是同一个项， a11a23a32与a11a22a33是不同的项。

⑶各项符号：n阶行列式中各项符号的确定有两种方法：

①只考察列标的排列：若该项中各元素的行标按自然数顺序排列，

则列标构成的排列为偶排列时，该项取正号；为奇排列时，该项取负号。

亦即，将某项中各元素的行标按自然数顺序排列后得到

a1i1a2i2?anin，含ai1j1ai2j2?ainjn的项应带符号为(?1)N(i1i2?in)。

于是n阶行列式所表示的代数和中的一般项为

(?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。(课本P7)

【例15】在5阶行列式中，a12a23a35a41a54与a12a21a35a43a54这两项各取什么符号？

【解】由于该两项的行标已按自然数顺序排列，故

a12a23a35a41a54应取符号为(?1)N(23514)?(?1)4??1，为正号， a12a21a35a43a54应取符号为(?1)N(21534)?(?1)3??1，为负号。

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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

②综合考察行标与列标的排列：若该项中各元素的行标构成的排列

的逆序数为S，列标构成的排列的逆序数为T，则S+T为偶数时，该项取正号；S+T为为奇数时，该项取负号。

亦即，含ai1j1ai2j2?ainjn的项应带符号为(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)。

于是n阶行列式所表示的代数和中的一般项为

(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn。(课本P10)

显见，①为②的特例。

【例16】在5阶行列式中，含a32a23a15a41a54或含a12a41a55a24a33的两项各取什么符号？

【解】由于该两项的行标未按自然数顺序排列，故

含a32a23a15a41a54的项应取符号为

(?1)N(32145)?N(23514)?(?1)3?4??1，为负号，

含a12a41a55a24a33的项应取符号为

(?1)N(14523)?N(21543)?(?1)4?4??1，为正号。

⑷ n阶行列式的展开式：(课本P10)

n阶行列式的展开式有两种表达方式，一种较为简单，是将各项元素

的行标按自然数顺序排列形式的表达式，另一种是各项元素任意排列的表达式。具体分别叙述如下：

①各项元素的行标按自然数顺序排列时：

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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

a11a21?an1其中，(?1)这里，

a12?a1na22?a2n???an2?annN(i1i2?in)?1?i1,i2,?,in?n? (?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。

a1i1a2i2?anin称为n阶行列式的一般项。

?为连加号，表示对该符号下的所有项求和。

于是，n阶行列式展开后是n!个项的和，各项都含两个因素：

1》n个来自不同行和不同列的元素的乘积，

2》将一个项的n个元素的行标按自然数顺序排列后，该项的符号

由列标的排列数的奇偶性确定为(?1)②一般情况下：

N(i1i2?in)。

a11a21?an1a11?a1na22?a2n???an2?ann?j1j2?jn遍取所有n级排列?(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

?i1i2?in遍取所有n级排列j1j2?jn?(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn

其中，(?1)的普通形式。

N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn是n阶行列式的一般项

于是，n阶行列式展开后是n!个项的和，各项都含两个因素：

1》n个来自不同行和不同列的元素的积。

2》一个项的符号由行标的排列数与列标的排列数的和的奇偶性确

定为(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)。

【例17】求4阶行列式中带负号且包含因子a11和a23的所有项。

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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

【解】4阶行列式中，当行标按自然数顺序排列后，包含因子a11和a23的项为(?1)a11a23a3ia4j其中，i,j可以分别是2，4之一。

由于2，4两个数可以产生两个不同的排列24和42，所以，4阶行

列式中包含因子a11和a23的所有项可以为(?1)N(1324)Na11a23a32a44或

(?1)N(1342)a11a23a34a42两项，

但题目要求的是带负号的项，而因为N(1324)?1为奇数，

N(1342)?2为偶数，故4阶行列式中带负号且包含因子a11和a23的所有

项只有一个，为(?1)N(1324)a11a23a32a44??a11a23a32a44。

【例18】判断a14a23a31a42，a11a23a32a44，a11a24a33a44以及a31a24a43a12是

a11否为四阶行列式D?a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44中的一项？

a21a31a41【解】①a14a23a31a42的行标为1234，这4个元素来自不同的行，列标为4312，这4个元素来自不同的列。由于行标已按自然数顺序排列，其符号应为

(?1)N(4312)?(?1)5??1，故a14a23a31a42不是4阶行列式中的一项；

②a11a23a32a44的行标为1234，这4个元素来自不同的行，列标为

1324，这4个元素来自不同的列。由于行标已按自然数顺序排列，其符号应为(?1)N(1324)?(?1)1??1，故a11a23a32a44不是4阶行列式中的一项；

③a11a24a33a44的行标为1234，这4个元素来自不同的行，列标为

1434，这4个元素中a24和a44都来自相同的第4列。故a11a24a33a44不是4

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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

阶行列式中的一项；

④a31a24a43a12的行标为3241，这4个元素来自不同的行，列标为1432，这4个元素来自不同的列。其符号应为(?1)故a31a24a43a12不是4阶行列式中的一项；

N(3241)?N(1432)?(?1)4?3??1，

)【例19】若(?1N(i432k)?N(521j4)ai5a42a3ja21a4k是五阶行列式aij的一项，则

j,j,k应为何值？此时该项的符号是什么？（课本P11例2）

【解】①由于行列式定义规定每一项的元素来自不同行不同列，故五阶行列式的项中，行标和列标都只能是1，2，3，4，5这五个数字的排列，从而，该项的列标52j14中的j只能是3，该项的行标i432k中的i和k只能从1和5中选择，于是i?1,k?5或i?5,k?1，综合起来，应得两组答案：

i?1,j?3,k?5或i?5,j?3,k?1。

②当i?1,j?3,k?5时，该项的符号是

(?1)N(14325)?N(52314)?(?1)3?6??1，

即?a15a42a33a21a54是五阶行列式aij的一项；

当i?5,j?3,k?1时，该项的符号是

(?1)N(54321)?N(52314)?(?1)10?6??1，

即a55a42a33a21a14是五阶行列式aij的一项。

a【例20】计算行列式

b0h0e000f0。

00gcd 9

第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

【解】由于该4阶行列式的各项中，只要含有一个0元素，该项就为0，所以，要计算该4阶行列式，只须找到其由不同行不同列的4个非0元素相乘的所有项。

考虑到来自不同行及不同列的要求，该4阶行列式不为0的项，使

行标按自然数顺序排列后，只有含adfh及含bdfg的两个，

而含adfh的项，其符号为(?1)N(1342)?(?1)2??1，知该项为adfh，

?(?1)3??1，知该项为

含bdfg的项，其符号为(?1)N(2341)?bdfg，

a从而，

b0h0e000f00101101001000011?adfh?bdfg。

00gcd【例21】用行列式定义计算。（课本P11）

【解】用aij表示行列式中第i行第j列元素，

由于该4阶行列式的各项中，只要含有一个0元素，该项就为0，所

以，要计算该4阶行列式，只须找到其不为0的所有项。而要得到非0项，项中各元素必须非0！

【解法一】第一行若取a12，这样第二行无论取a21还是a23，第三行都必然取到0，这样无法得到非0项；

第一行若取a14，这样第二行无论取a21还是a23，第三行都必然

取a32，

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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

这时，当第二行取a21时，取完第三行后得到a14a21a32，第四行

可取a43，

当第二行取a23时，取完第三行后得到a14a23a32，第四行

必然取到0，

综上知，该行列式中仅有含a14a21a32a43的一项非0，该项符号

为(?1)N(4123)?(?1)3??1，于是，由于a14?a21?a32?a43?1，得

0101101001000011【解法二】由于第三行只有一个非零元，故可以从它入手，按不同行不同列的原则去确定展开式中的项的构成：

取定a32后，第一行就只能取a14了，从而第四行也就只能取a43了，

于是，最后确定第二行只能取a21了。于是确定展开式中仅有一个非零项，它由a14，a21，a32，a43构成，

而含这四个元素的项的符号由逆序数N(4123)?3确定，为负号，

??1。

0101即知，

101001000011??1。

【例22】计算上、下三角形行列式和对角形行列式。

【补充定义】上三角形行列式就是主对角线下方元素全为0的行列式，下三角形行列式就是主对角线上方元素全为0的行列式，对角形行列式就是主对

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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

角线以外元素全为0的行列式。 【解】先计算上三角形行列式的值：

a1100?0a12a220?0a13?a1na23?a2na33?a3n ???0?ann要得到其非零项，第一列元素只能取a11，这时，第二列元素只能取

a22，从而，第三列元素只能取a33，…，最后，第n列元素只能取ann，于

a110是，0a12a220?0a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22a33?ann。 ???0?ann?0结论：上三角形行列式的值等于其主对角线上元素的相乘积。 同样道理，下三角形行列式和对角形行列式的值都等于其主对角线

上元素的相乘积。

a11a21a31?an1a1100?00a22a32?an20a220?000??000?a11a22a33?ann，

a33????an3?ann00??000?a11a22a33?ann。

a33?0????ann结论是：上三角形、下三角形、对角形行列式的计算结果，都是主对角

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第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

线上元素的相乘积。

相应练习见课本

【第四版】课本习题一(A)中的⒏⒐⒑⒒12.大题。

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