高考数学考点15两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒

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考点15 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、

简单的三角恒等变换

一、选择题

3???cos?????10???（ ） 1.（2015·重庆高考理科·Ｔ9）若tan??2tan,则

???5sin????5??A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【解题指南】解答本题的关键在于找到角之间的联系，因为化简求解. 【解析】选C.

?3???????????????cos???cos???cos???sin???????????25??10525???????? ???????????????sin????sin????sin????sin????5?5?5?5?????3?????，因此可以进行1052sin?cossin?cos?sin?cos?5?cos?sin?5tan??tan??55?cos?sin?cos?sin??5?5cos?cossin?cos?5??5

?5?cos?sin?5?tan??tancos?cos?55因为tan??2tan,所以上式?5?2tan2tan??55?tan?tan??5?3.

5112.（2015·重庆高考文科·Ｔ6）若tan??,tan(???)?,则tan??（ ）

321155A. B. C. D.

7676【解题指南】解答本题可以根据??(???)??结合两角差的正切公式求解.

11?tan(???)?tan?23?1. 【解析】选A. tan??tan?(???)?????1?tan(???)tan?1?1?17233.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T2)sin20°cos10°-cos160°sin10°= ( ) A.?3311 B. C.? D. 2222【解题指南】由cos160°=-cos20°,利用两角和的正弦公式求解. 【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30°= .

二、填空题

4.(2015·四川高考理科·T12)sin15°+sin75°的值是 . 【解析】sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2?答案:

36?. 226

25. (2015·江苏高考·T8)已知tanα=-2,tan(α+β)= 1,则tanβ的值为 .

7【解题指南】将β化为β=(α+β)-α,利用两角差的正切公式求解.

【解析】tanβ=tan[(α+β)-α]= tan（???）?tan?.因为tanα=-2,tan(α+β)= 7,所

1?tan（???）tan?1以上式=

. 1-（-2）7??311?（-2）7答案:3

三、解答题

6. (2015·广东高考理科·T16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=

,n=(sinx,cosx),x∈ .

(1)若m⊥n,求tanx的值.

(2)若m与n的夹角为 ,求x的值.

【解题指南】(1)利用向量垂直转化为向量的数量积为0.(2)利用向量的夹角公式求解.

?22???,?),n??sinx,cosx?且m?n， 【解析】（1）因为m?(22??2222??????因为m?n?(,?)??sinx,cosx??sinx?cosx?sin?x??,又x??0,?22224???2?所以x?所以x?π

?????????,?,4?44?4?0即x??4所以tanx?tan?14(2)由（1）及题意知????sin?x?????m?n??4???cos?????sin?x??223m?n4???2??2?22?????2???2??sinx?cosx??????1??????所以sin?x???又x????,?,4?24?44????5?所以x??，所以x?46122f(x)?(sinx?cosx)?cos2x 7.（2015·安徽高考文科·T16）已知函数

（1）求f(x)最小正周期；

[0,]f(x)2上的最大值和最小值. （2）求在区间

?【解题指南】应用三角函数的有关公式和性质化简求值。 【解析】（1）因为

2sin（2x+）+1f(x)?(sinx?cosx)?cos2x=1+sin2x?cos2x=4，

2?所以f(x)最小正周期为

T?2?=?2。

?2???5??sin（2x+）?[-,1]x?[0,]2x+?[,][0,]422，444，所以2上（2）当，所以f(x)在区间

的最大值为1+2，最小值为0.

8. (2015·广东高考文科·T16)已知tanα=2. (1)求tan α 的值. (2)求

sin2?的值. 2sin??sin?cos??cos2??1

【解题指南】(本题考查两角和与差的三角函数（1）由两角和的正切公式展开，代入数

???n???的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得值，即可得ta?4??sin?22?sin?cos2cos?可，再分子、分母都除以?222sin??s?in?c?os?c?os2?1?si?n??sinc?os2cossin2?2tan?得，代入数值，即可得?22sin??sin?cos??cos2??1tan??tan??2si?n2的值．

s2i?n??si?n?co??scos21???4?tan??1?2?1??3 【解析】（1）tan?????4?1?tan?tan?1?tan?1?2?4sin2?（2）

sin2??sin?cos??cos2??1??tan??tan?2sin?cos? 22sin??sin?cos???2cos??1??12sin?cos? 22sin??sin?cos??2cos?2tan? ?

tan2??tan??22?2 ?2

2?2?2 ?1

9.(2015·天津高考文科·T16)(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3 ,b-c=2,cosA=-,

(1)求a和sinC的值. (2)求cos(2A+)的值.

π

【解析】(1)在△ABC中,由cosA??1511,由bcsinA?315得bc?24，又由，得sinA?442b?c?2，解得b?6,c?4.由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA可得a?8。

又因为

15ac. ,故sinC??8sinAsinC14157A?2c2oAs???1，所以cos24815,sAi?n2，因此

8(2)由(1)知知cosA??,sinA?cos(A2??6?)coAs2co?s6??15?73Asin2?sin

616???10.（2015·重庆高考理科·Ｔ18）已知函数f(x)?sin??x?sinx?3cos2x.

?2? (1)求f(x)的最小正周期和最大值；

??2??（2）讨论f(x)在?,?上的单调性.

?63?【解题指南】（1）首先根据倍角公式及和差公式化简函数f(x)的解析式即可求出函数

f(x)的最小正周期及最大值，（2）利用正弦函数的图像和性质求解即可.

【解析】（1）由题意知

3???f(x)?sin??x?sinx?3cos2x?cosxsinx?(1?cos2x)22??133??3??sin2x?cos2x??sin?2x???,22232??因此f(x)的最小正周期为?，最大值为

2?3. 2

???2??（2）当x??,?时，0?2x???,从而

3?63?

5?时，f(x)单调递增，

32612??5?2?当?2x???,即时，f(x)单调递减， ?x?23123当0?2x????,即

??x???5???5?2??综上可知，f(x)在?,?上单调递增，在?,?上单调递减.

?612??123?111. （2015·重庆高考文科·Ｔ18）已知函数f(x)?sin2x?3cos2x.

2 (1)求f(x)的最小正周期和最小值；

（2）将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数

???g(x)的图像，当x??,??时，求g(x)的值域.

?2?【解题指南】（1）首先根据倍角公式及和差公式化简函数f(x)的解析式即可求出函数（2）首先求出函数g(x)的解析式,然后利用正弦函数的图f(x)的最小正周期及最小值，像和性质求解即可. 【解析】（1）由题意知

113f(x)?sin2x?3cos2x?sin2x?(1?cos2x)222

133??3??sin2x?cos2x??sin?2x???,22232??因此f(x)的最小正周期为?，最大值为?2?3. 2??3?（2）由条件可知，g(x)?sin?x???.

3?2????2?????????1?当x??,??时，有x???,?,从而sin?x??的值域为?,1?

3?63?3??2???2??1?32?3???3?,那么sin?x???的值域为?? 2?3?2??2?1?32?3????,故g(x)在区间?,??上的值域为??.

222????12.(2015·福建高考理科·T19)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所

得到的图象向右平移 个单位长度.

(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程.

(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β. ①求实数m的取值范围. ②证明:cos(α-β)=

π

-1.

【解题指南】(1)y=cosx→y=2cosx→y =2cos =2sinx.

(2)利用辅助角公式化简,求角的关系,再借助于二倍角公式求解.

【解析】方法一:(1)将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移 个单位长度后得到y=2cos 的图象,故f(x)=2sinx,从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+ (k∈Z).

(2)①f(x)+g(x)=2sinx+cosx=5(π

π

21sinx+cosx) 5512,cosj=) 55 =5sin(x+j)(其中sinj= 依题意,sin(x+φ)= 在区间 内有两个不同的解α,β,当且仅当 <1,故m的取

值范围是(- , ). ②因为α,β是方程 sin(x+φ)=m在 内的两个不同的解, 所以sin(α+φ)= ,sin(β+φ)= . 当1≤m< 时,α+β=2 , 即α+φ=π-(β+φ), 当-

所以cos(α-β)=-cos2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1

π

,

=2 -1=

-1.

方法二:(1)同方法一. (2)①同方法一.

②因为α,β是方程 sin(x+φ)=m在区间 内的两个不同的解, 所以sin(α+φ)= ,sin(β+φ)= . 当1≤m< 时,α+β=2 ,即α+φ=π-(β+φ), 当-

π

,即α+φ=3π-(β+φ),

所以cos(α+φ)=-cos(β+φ).

于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)] =cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ) =-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)

m2m22m2??[1?()]?()??1

555

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