第二讲 函数的概念和性质

高一数学讲义

第二讲 函数的概念和性质（1）

-----函数及其表示、解析式

【基础回顾】 一、基础知识： 知识点一：函数的概念：

1．函数的概念：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f,对于集合A中的 ,在集合B中都有 和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为 ,x A.

2．其中所有的 组成的集合A叫做函数y=f(x)定义域；对于A中的每一个x值，都有一个输出值y与之对应，将所有 组成的集合称为函数的值域．定义一个函数f:A B，函数的值域C与B的关系是 ． 3．函数的三要素： ．

4．函数y=f(x)的图象：将函数f(x)自变量的 作为横坐标，相应的

作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点 ，当自变量 时，所有这些点组成的图形就是 ．即直角坐标系中点集 为函数y=f(x),x A的图象．

5． 映射：一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f,对于集合A中的 ,在集合B中都有 和它对应，这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A B．

6． 从映射的观点理解函数，函数是 的映射． 知识点二：函数的表示方法：

1．函数的表示方法：列表法（列出自变量与函数值的表，表达函数关系的方法如：三角函数表等）、解析法、图象法．

列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． 解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法． 图像法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法．

2．分段函数：在定义域不同的范围内，用不同的解析式表示．

注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

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知识点三： 求函数解析式的方法：

1．待定系数法：明确已知函数的类型，可用待定系数法（如二次函数、有理函数等可设，根据题设条件，列出方程组，解出a,b,c等即可． y ax2 bx c(a 0)）

2．换元法：已知复合函数f(h(x))的解析式，形如f[h(x)] g(x)，求f(x)的问题，往往可设h(x) t，从中解出x,代入g(x)进行换元来解．

3．解方程组法：已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f( x),f()等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出

1

x

f(x)．

二、基础自测：

1．下列图象中，表示函数关系y f(x)的是 ．

A

2．给定映射f:(x,y)→(x+2y,2x－y),在映射

f下，(3,1)的原象为 ．

x 1(x≤1)f(x) 3．已知函数，则f(f(1))= ． 2

x

(x 1)

1,x≥0

,则不等式(x 1)f(x) x的解集是 . 4．已知函数f(x)

1,x 0

5．已知f(x 1) x 2x，则f(x)=___ ____． 6．已知f(cosx)=cos5x，则f(sinx)= ． 【典型例题】

例题1：判断下列对应是否为函数： （1）x

22

,x 0,x R；（2）x y,y x,x N,y R； x

（3）x y x，x {x|0 x 6}，y {y|0 y 3}； （4）x y

1

x，x {x|0 x 6}，y {y|0 y 3}． 6

【分析】解本题的关键是抓住函数的定义，判断一个对应是否是函数，要注意三个关键词：

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“非空”、“每一个”、“惟一”，在定义的基础上输入一些数字进行验证，当不是函数时，只要列举出一个集合A中的x即可． 解：（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）是． 例题2： 作出下列函数的图象. （1）f(x)＝x－2|x|＋1；（2）y=(解：图略．

例题3: （1）f(x+1)=x+2x，求f(x) ．

（2）已知f(x

2

1

2

|x|

；（3）y=|log（1-x）|；（4）y=

1

2

2x 1

． x 1

11

x3 3，求f(x) ． xx

1

x

(3)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2，试求出f(x)的解析式. （4）已知函数f(x)满足2f(x) f() 3x，求f(x)．

解：（1）令t=x+1,∴t≥1，x=（t-1）.则f(t)=(t-1)+2(t-1)=t-1,即f(x)=x-1,x∈［1，+∞).

2

2

2

2

（2）∵f(x

1111

) x3 3 (x 3 3(x ， xxxx

∴f(x) x3 3x(x 2或x 2)．

（3）设f(x)=ax+bx+c (a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)+b(x+2)+c,则

f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.

22

4a 4 a 12

∴ ，∴ ，又f(0)=3 c=3,∴f(x)=x-x+3. 4a 2b 2 b 1

（4）2f(x) f( 3x ①，把①中的x换成① 2 ②得3f(x) 6x

1

x113

，得2f() f(x) ②， xxx

31

，∴f(x) 2x ． xx

例题4：如图，在坐标平面内△ABC的顶点A（0，2），B（－1，0），C（1，0），有一个随t变化的带形区域，其边界为直线y=t和y=t+1，设这个带形区域覆盖△求以t为自变量的函数S的解析式，并画出这个函数的图象． 解：根据t的取值范围分情况讨论：

（1）当0≤t≤1时，带形区域覆盖△ABC的图形为梯形DEGF，

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由题可知这个梯形的高为1，根据题中的条件解出：

直线AC的解析式为y=-2x+2．则下底为DE=2NE=2-t，上底为FG=2MG=1-t． 根据梯形的面积公式得：S

13 2t[(2 t) (1 t)] 1 ，0≤t≤1 ； 22

11

(2 t)2 (t 2)2，1＜t＜2； 22

(2）当1＜t＜2时，带形区域覆盖△ABC的图形为三角形ADE的面积，则三角形的高为2-t，底为DE=2-t，根据三角形的面积公式得：S

（3）当-1＜t＜0时，带形区域覆盖△ABC的图形为梯形BCGF，高为t+1，上底为FG=1-t，下底为2，根据梯形的面积公式得：S ＜0．

11

[(1 t) 2] (t 1) (t2 2t 3)，-1＜t22

3 12

t t 22( 1 t 0) 3

∴S t (0 t 1),根据求出的解析式可以画出相应的函数的草图

2 (1 t 2)

1(t 2)2 2

（略）． 【巩固练习】

1．设f:A→B是集合A到B的映射，下列命题中：①A中不同元素必有不同的象；②B中每一个元素在A中必有原象；③A中每一个元素在B中必有象；④B中每一个元素在A中的原象唯一．真命题是 ．

2．下列四组函数，表示同一函数的是 ．

①f(x)=logaa,g(x)=alogax(a>0,a≠1)； ②f(x)=x2,g(x) x3；

x

x2 4t2 4

,g(t) ③f(x)=2x－1 (x∈R),g(x)=2x+1 (x∈Z)；④f(x) ． x 2t 2

3．若f(1－x)=x，则f(x)= , 若f(a)=x(a>0，且a≠1)，则f(x)= ．

11

若f(x－) x2 2,则．

xx

2x

log3x,x 01

4．（2010年高考湖北卷文科3）已知函数f(x) x，则f(f())

9 2,x 0

5. 已知f(x)=ax+bx+c，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)= ． 6．设f（x）满足关系式2f(x) f() 3x，求f(x)= ．

2

1

x

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7．已知f(1－cosx)=sinx，则f(x)= ．

2

2x(x 4)

8．已知函数f(x) , 则f(5)= _____________.

f(x 1)(x 4)

9． （2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 xf(x 1) (1 x)f(x)，则f()的值是10. 已知函数f x 满足f 1 2, 且对任意x,y R都有f x y

n

10

52

f x

， 记fy a

i 1

i

a1 a2 an，则 f 6 i

i 1

11．若f（x）满足3f x 1 2f 1 x 2x，求函数f（x）的解析式．

12．渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）．

13．已知f(x)

（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；

（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．

bx 11

,a、b为常数，且ab≠2.（1）若f(x)·f()=k，求常数k的值.；

x2x a

k

，求a、b的值． 2

（2）在（1）的条件下，若f[f(1)]=

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14．（2010年高考广东卷文科20）已知函数f(x)对任意实数x均有f(x) kf(x 2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间 0,2 上有表达式f(x) x(x 2). （1）求f( 1)，f(2.5)的值； （2）写出f(x)在 3,3 上的表达式 ．

【拓展提高】

9)★1．已知奇函数f(x)的图像关于直线x 2对称，当x 0,2 时，f(x) 2x，则f(

＝ ．

22

★2．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x) x x) f(x) x x．

（1）若f(2) 3，求f(1)；又若f(0) a，求f(a)；

（2）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0) x0，求函数f(x)的解析式．

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【总结反思】

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ig51.html