2006-2007学年第一学期随机数学(B)期末考试试卷 - A -

北 京 交 通 大 学

2006-2007学年第一学期《随机数学（B）》期末考试试卷（A）

学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________

题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．设A、B、C是三个随机事件，且P?A??P?C??1111，P?B??，P?AB??，P?BC??，5368P?AC??0．则A、B、C这三个随机事件中至少有一个发生的概率为________．

2．设随机变量X的概率密度为

??1?21?1?x?2??2? f?x????x??0其它?则X的分布函数为： ________．

3．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，并且P?X?1??P?X?2?， 则P?X?4?=________．

4．设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为

f?x,则k?________．

5．设总体X的分布律为 ?kxe?x(y?1)x?0,y???其它?0y?0

X 1 2 3

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P 其中0???1是未知参数，?X1,?2 2??1??? ?1???2 X2,?,Xn?是从中抽取的一个样本，则参数?的矩估计量

???__________________．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

1．设A、B为两个互不相容的随机事件，且P?B??0，则下列选项必然正确的是

?A?.P?A??1?P?B?； ?B?.PAB?0； ?C?.PAB?1； ?D?.PAB?0．

【 】

2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为p1，第二台仪器发生故障的概率为

??????p2．令X表示测试中发生故障的仪器数，则E?X??

?A?.p1?p2； ?B?.p1?1?p2??p2?1?p1?； ?C?.p1??1?p2?； ?D?.p1p2．

【 】

3．设X~N?,?2，Y?aX?b，其中a、b为常数，且a?0，则Y~ ?A?.Na??b, ?C?.Na??b,???a2?2?b2； ?B?.Na??b,a2?2?b2； a2?2； ?D?.Na??b,a2?2．

【 】

??????? 4．设某地区成年男子的身高X~N?173,100?，现从该地区随机选出20名男子，则这20名男子身高平均值的方差为

?A?. 10； ?B?. 100； ?C?. 5； ?D?. 0.5．

【 】

X 5．设随机变量X服从参数??2的泊松（Poisson）分布，又设随机变量Y?3，则E?Y?为

?A?. e； ?B?. e； ?C?e.； ?D?.e．

2468【 】

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三．（本题满分10分）

一房间有3扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的．有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着的窗子飞出去．假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的．若令X表示鸟为了飞出房间试飞的次数．求⑴ X的分布律．⑵ 这只鸟最多试飞3次就飞出房间的概率．⑶ 若有一只鸟飞出该房间5次，其中有4次它最多试飞了3次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？

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四．（本题满分10分）

设随机变量X的密度函数为: f(x)?Ae?x,???x???

求: ⑴ 系数A;

⑵ X落在区间(0,1)内的概率; (3) X的分布函数

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五．（本题满分10分）

一射手进行射击，击中目标的概率为p?0?p?1?，射击直至击中2次目标时为止．令X表示首次击中目标所需要的射击次数，Y表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量?X,Y?的联合分布律．

⑵ 求随机变量Y的边缘分布律．

⑶ 求在Y?n时，X的条件分布律．并解释此分布律的意义．

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六．（本题满分10分）

某单位的一部电话总机有150台分机，每台分机有4%的时间要使用外线．假设每台分机是否使用外线是相互独立的．试用中心极限定理计算，当该单位有10条外线时，至少有一台分机使用外线时要等待的概率．

附表：标准正态分布的分布函数??x?的表

x 0.00 ??x? 0.500

0.69 1.04 1.67 2.08 0.755 0.851 0.953 0.981 第 6 页 共 9 页

2.31 2.50 0.990 0.994 3.62 0.999

七．（本题满分10分）

某射手每次射击击中目标的概率都是80%,现连续向一目标射击,直到第一次击中为止,求射击次数的期望和方差.

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八．（本题满分10分） 设总体X的密度函数为

???1???x??f?x?????0x?1x?1．

其中??1是未知参数．?X1,计量．

X2,?,Xm?是从该总体中抽取的一个样本，试求参数?的最大似然估

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九．（本题满分10分）

设总体X的数学期望为?，方差为?2?0，现从中分别抽取容量为n1与n2的两个独立样本，这两

个样本的样本均值分别为X1与X2．证明：对于满足a?b?1的任何常数a及b，Y?aX1?bX2是?的无偏估计，并确定常数a及b，使得Y?aX1?bX2的方差达到最小．

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