概率论习题试题集4

第四章 随机变量的数字特征

一、填空题

1. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X?e?2X)?____________。

2

2. 若随机变量X服从均值为2，方差为?的正态分布，且P(2?X?4)?0.3，则

P(X?0)?_______。_

2k?23. 已知离散随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P(X?k)?e,k?1,2,?，则Z?3X?2的

k!_。 数学期望E(Z)?__________4. 已知连续型随机变量X的概率密度为f(x)?1?e?x2?2x?1，则

___,DX?_____________。 EX?__________5. 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P(X?1)?P(X?2)，则

EX?_____________,DX?_____________。

6. 设离散随机变量X的取值是在两次独立试验中事件A发生的次数，如果在这些试验中事件发生的概率相同，并且已知EX?0.9,则DX?________。

27. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则X的数学期望

EX2?_____________。

____。8. 设随机变量X与Y相互独立，DX?2,DY?4，则D(2X?Y)?__________（12）

31??09.若随机变量X1,X2,X3相互独立，且服从相同的两点分布?则X??Xi服从_________?0.80.2??，

i?1??_____,DX?______________。 分布，EX?__________?e?(y?5),y?5?2x,0?x?110.设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为：?(x)??，?(y)??，则

0,其他0,其他??E(XY)?_______________。

二、选择题

1

1. 已知随机变量X服从二项分布，且EX?2.4,DX?1.44，则二项分布的参数n,p的值为（ ） （A）n?4,p?0.6； （C）n?8,p?0.3；

（B）n?6,p?0.4； （D）n?24,p?0.1。

2.已知离散型随机变量X的可能值为：x1??1,x2?0,x3?1，且EX?0.1,DX?0.89，则对应于

x1,x2,x3的概率p1,p2,p3为（ ）

（A）p1?0.4,p2?0.1,p3?0.5； （C）p1?0.5,p2?0.1,p3?0.4； 3.设随机变量X~??0.6?（B）p1?0.1,p2?0.4,p3?0.5； （D）p1?0.4,p2?0.5,p3?0.1

?ab??（a?b），又EX?1.4,DX?0.24，则a,b的值为（ ） ?p?（A）a?1,b?2；（B）a??1,b?2；（C）a?1,b??2；（D）a?0,b?1。

4.对两个仪器进行独立试验，设这两个仪器发生故障的概率分别为p1,p2，则发生故障的仪器械数的数学期望为（ ） （A）p1p2；

（B）p1?p2；

（C）p1?(1?p2)；（D）p1(1?p2)?p2(1?p1)。

5.人的体重X~N(100,100)，记Y为10个人的平均体重，则（ ） （A）EY?100,DY?100； （C）EY?10,DY?100；

（B）EY?100,DY?10； （D）EY?10,DY?10。

6.设X与Y为两个随机变量，则下列式子正确的是（ ） （A）E(X?Y)?EX?EY； （C）E(XY)?EXEY；

（B）D(X?Y)?DX?DY； （D）D(XY)?DX?DY

7.现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人得奖的金额的数学期望（ ） （A）6；

（B）12；

（C）7.8；

（D）9

8、设X与Y为两个独立的随机变量,其方差分别为6和3,则D(2X?Y)?( ) （A）9；

（B）15；

（C）21；

（D）27

2

x?0?0,?39、设随机变量X的分布函数为F(x)??x,0?x?1，则E(x)?（ ）

?1,x?1?（A）

???0x4dx

（B）

?103x3dx

（C）

?10x4dx??xdx； （D）?3x3dx

10????10、若随机变量X在区间I上服从均匀分布，EX?3,DX?（A）[0,6]；

（B）[1,5]；

（C）[2,4]；

4，则区间I为（ ） 3

（D）[?3,3]

三、计算题

1. 某种按新配方试制的中成药在500名病人中进行临床试验,有一半人服用,另一半人未服.一周后,有280人痊愈,其中240人服了新药.试用概率统计方法说明新药的疗效.

2. 已知离散型随机变量X的可能取值为?1,0,1，EX?0.1,EX?0.9，求X的分布律。

2?0,x??2?0.4,?2?x?0??3. 已知离散型随机变量X的分布函数F(x)??0.6,0?x?1，求E(1?2X)。

?0.9,1?x?3???1,x?3?ax,0?x?23?4. 设随机变量X的密度函数f(x)??bx?c,2?x?4，已知EX?2,P(1?X?2)?。求（1）a,b,c；

4?0,其他?（2）随机变量Y?e的数学期望和方差。

5. 一批产品中有一、二、三等品及废品4种，相应的概率分别为0.8,0.15,0.04,0.01。若其产值分别为20元、18元、15元和0元，求产品的平均产值。

6. 某车间完成生产线改造的天数X是一随机变量，其分布律

X?2627282930?X~??0.10.20.40.20.1??，所得利润（单位：万元）为Y?5(29?X)，求：EX,EY。

??7. （有奖销售）某商场举办购物有奖活动，每购1000份物品中有一等奖1名，奖金500元，二等奖3名，奖金100元，三等奖16名，奖金50元，四等奖100名，可得价值5元的奖品一份。商场把每份价值为7。5元的物品以10元出售，求每个顾客买一份商品平均付多少钱？ 8. 设二维随机变量（X,Y）的联合分布律如下：

3

?Y\\X???1?2?2??0.050.150.25?，求：（1）EX,EY,DX,DY；（2）E(X?Y),D(X?Y) 0.20.30.05??1。 4?10（四）证明题

1. 在一次试验中，事件A发生的次数X的方差满足DX?(b?a)22. 设随机变量X在区间[a,b]中取值，证明：（1）a?E(X)?b；（2）DX?。

4参考答案： 一、填空题：1）

41；2）0.2；3）E(3X?2)?4；4）EX?1,DX?；5）EX?2,DX?2；6） 32 DX?0.495；7）18.4；8）D(2X?Y)?12；9）X~B(n,p)，EX?0.6,DX?0.48； 10）

E(XY)?。

二、选择题：1）B ；2）A； 3）A； 4）B；5）B； 6）A；7）C； 8）D；9）B；10）B。 三、计算题：

1. 设随机变量X表示服过新药的病人的痊愈情况，Y表示未服过新药的病人的痊愈情况，比较得：

EX?EY，说明新药疗效显著。

?X2. ??P??101??

0.40.10.5??3. 先求分布律，再求数学期望EX??0.2,E(1?2X)?1.4。 4. a?1111,b??,c?1,EX?(e2?1),DX?e2(e2?1)2. 44445. 19.3元. 6. 28天，5万元. 7. 7. 9元.

,DY?2.2275；E(X?Y)??0.3,D(X?Y)?5.31. 8. EX?0.35,EY?0.65,DX?1.3275

4

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