第23讲周期工程问题

周期工程问题

专题简析：

周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。 例1：

一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时??两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？

把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。 1136

① 需循环的次数为：1÷（ + ）= ＞7（次）

12185111

② 7个循环后剩下的工作量是：1-（ + ）×7= 121836111

③ 余下的工作两还需甲做的时间为： ÷ = （小时）

3612311

④ 完成任务共用的时间为：2×7+ =14 （小时）

331

答：完成任务时需共用14 小时。

3

1

练习1： 1、

一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、

乙；甲、乙??的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？ 2、

一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲

打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时??两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？ 3、

一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、

乙；甲、乙??的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？

2

2

例2：一项工程，甲、乙合作26 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这

3样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？

由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：

甲乙甲乙??甲乙 甲 1

乙甲乙甲??乙甲 乙 甲

2

竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。 221

① 甲每天能做这项工程的1÷26 × = 31+2401

② 甲单独做完成的时间1÷ =40（天）

40答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。 练习2： 1、

一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这

样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？

3

2、 一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这

样轮流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样1

轮流交替做，比上次轮流做要多 天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作

3几天可以完成？ 3、

3

一项工程，甲、乙合作12 小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小

5

时乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第1

二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多 小时才能完成。这项工

3程由甲独做几小时可以完成？ 4、

蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单

开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水??的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？

4

例3：

一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？

由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：

甲乙甲乙??甲乙 甲 乙甲乙甲??乙甲 乙剩60个

竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。

甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）

乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个） 答：甲每天做150个，乙每天做90个。 练习3： 1、

一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用

整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？

5

2、 一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天

2

完成。如果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多 天才能完成。

55

如果让甲、乙二人合作，只需2 天就可以完成。现在，由乙独做需要几天

8才能完成？ 3、

红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时

让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？ 例4：

打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时??如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？

6

根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。

119

① 每循环一次，他们共完成全部工程的（ + ）×3＝

12152092

② 总工作量里包含几个9/20：1÷ =2

209

91

③ 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1- ×2＝ 2010

11

④ 由于 ＞ ，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间

10121111为（ - ）÷ ＝

1012154

11

⑤ 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+ =13 （小时）

441

答：打印这部稿件共需13 小时。

4练习4： 1、

一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；

单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟??如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？

7

2、 一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，

甲、乙两人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时??如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？ 3、

一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某

年的3月2日两人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休52

息一天，完成全部工程的 为几月几日？

75 4、

一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。

两队合作时，甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？ 5、

8

例5：

有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.51

天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单独做13天完成。

3且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：

甲乙丙，甲乙丙，??甲乙丙， 甲 1

乙丙甲，乙丙甲，??乙丙甲， 乙 丙

21

丙甲乙，丙甲乙，??丙甲乙， 丙 甲

3

21212

从中可以退出：丙= 甲；由于乙=甲－ 丙=甲－ 甲× ，又推出乙= 甲；

32323与题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：

甲乙丙，甲乙丙，??甲乙丙， 甲乙 1

乙丙甲，乙丙甲，??乙丙甲， 乙丙 甲

21

丙甲乙，丙甲乙，??丙甲乙， 丙甲 乙

312

由此推出：丙= 甲，丙= 乙

23111

① 丙队每天做这项工程的 × = 13226

9

123

② 乙队每天做这项工程的 ÷ = 26352

1137

③ 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（ + + ）=5 （天）

13265297

答：甲、乙、丙合作要5 天完工。

9练习5： 1、

有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，

1

恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；

31

如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单独做7天完成。且

43个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 2、

有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，

1

恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如

21

果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单独做10天完成。且3

2个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

10

3、 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙

次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多11

用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知这项工程由甲、237

乙、丙三个工程队同时合作，需13 天可以完成，且3个工程队的工效各不

9相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？ 4、

蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单

开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小1

时，单开丁管要6小时。现知池内有 池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、

6乙、丙、丁??的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？

11

3、 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙

次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多11

用 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知这项工程由甲、237

乙、丙三个工程队同时合作，需13 天可以完成，且3个工程队的工效各不

9相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？ 4、

蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单

开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小1

时，单开丁管要6小时。现知池内有 池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、

6乙、丙、丁??的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？

11

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