2006-2010高考理科数学试卷及答案全国1

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D

（2）已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则(C)

（A）f(2x)=e2x(x?R)

（C）f(2x)=2e2x(x?R)

（B）f(2x)=ln2lnx(x>0) （D）f(2x)= lnx+ln2(x>0)

（3）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=( B)

（A）-

1 4 （B）-4 (C)4 （D）

1 4（4）如果(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m= (D )

（A）1

（B）-1

（C）2

（D）-2

（5）函数f(x)=tan(x+

?)的单调递增区间为(A) 4??（A）(k?-, k?+),k?Z （B）(k?, (k+1)?),k?Z

223???3?(C) (k?-, k?+),k?Z （D）(k?-, k?+),k?Z 44441 4322 （C） （D） 443（6）?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB=(D)

（A）

（B）

（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是

（A）16 ? （B）20? （C）24? （D）32? （8）抛物线y=-x2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是

（A）

4 3? （B）

78 （C） 55（D）3

（9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30后与同向，其中i=1、2、3，则

（A）-b1+b2+b3=0 （B）b1-b2+b3=0

（C）b1+b2-b3=0 （D）b1+b2+b3=0

（10）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=

（A）120 （B）105 （C）90 （D）75

（11）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为

（A）85cm2

（B）610cm2

（C）355cm2

（D）20cm2

（12）设集合I={1，2，3，4，5}，选择I的两个非空子和B，要使B中的最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有

（A）50种 （B）49种 （C）48种 （D）47种

二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26,则侧面与底面所成的二面角等

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

于

（14）设z=2y-x,式中x、y满足下列条件

?2x?y?1??3x?2y?23 ?y?1?则z的最大值为__________

(15)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答)

（16）设函数f（x）=cos（3x+?）(0

（17）（本大题满分12分）

'?ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos

B?C取得最大值,并求出这个最2大值 （18）（本大题满分12分）

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一组试验中，服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A有郊的概率为服用B有郊的概率为

2，31. 2（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率;

（Ⅱ）观察3个试验组,用?表示这3个试验组中甲类组的个数,求?的分布列和数学期望.. （19）（本大题满分12分）如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，

l2

点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN （I）证明AC?NB

C

?（II）若?ACB?60，求NB与平面ABC所成角的余弦值

l1

A M N

（20）（本大题满分12分）在平面直角坐标系xoy中,有一个以F1(0,-3)和F2(0,3)为焦

B 点、离心率为

3的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在P处的切线2与x轴、y轴的交点分别为A、B，且向量OM?OA?OB.求

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

(I)点M的轨迹方程 (II)|OM|的最小值.

（21）（本大题满分12分）已知函数f（x）=

1?x?axe 1?x(I) 设a>0,讨论y=f(x)的单调性; (II) 若对任意的x?(0,1),恒有f(x)>1,求a的取值范围. （22）（本大题满分14分）设数列{an}的前n项和 Sn,=

41n+12an-?2+,n=1,2,3,….. 333(I)求首项a1与通项an;

n32n(II)设Tn=, n=1,2,3,…..,证明:?Ti?

i?12Sn2005全国卷I（河北、河南、安徽、山西）

文科数学参考答案

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D

二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 13．155 14. 70 15.100 16. ①③④ 三．解答题

（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分12分。 解：（I）

?是函数y=f(x)的图像的对称轴， 8?∴sin(23+?)=±1，

8??∴+?=kπ+，k∈Z. 42∵-π

3?∴?=-. 43?（II）由（I）知?=-，因此 43?y=sin(2x-). 4∵x=由题意得

?3??≤2x-≤2kπ+, k∈Z. 4223?所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为 42kπ-

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

?5?,kπ+], k∈Z.

883?(III)由y=sin(2x- )知

4[kπ+

x 0 ? 8-1 3? 80 5? 81 7? 80 -π y -2 22 2

故函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像是

（18）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。 方法一：

（I）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂线定理得：CD⊥PD.

因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD.

又CD?面PCD，∴面PAD⊥PCD.

（II）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角. 连结AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2， 所以四边形ACBE为正方形.

由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°， 在Rt△PEB中BE=2，PB=5，

cos∠PBE=

BE10?, PB5五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

∴AC与PB所成的角为arccos

10. 5(III)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN. 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角。 ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC中，AN2MC=CM?(2AC2)?AC. 23?2?∴AN=252∵AB=2，

65.

AN2?BN2?AB22??. ∴cos∠ANB=

2?AN?BN3故所求的二面角为arccos(-

2). 3方法二：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,

1). 2(I)证明：因AP=(0,0,1),DC=(0,1,0),故AP·DC=0,所以AP⊥DC.

又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD. （II）解：因AC=(1,1,0),PB=(0,2,-1),

故|AC|=2，|PB|=5，AC2PB=2，所以

PB>=cos

AC?PB|AC|?|PB|=10. 510. 5由此得AC与PB所成的角为arccos

（III）解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R，使

NC=λMC，

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

1NC=(1-x,1-y,-z), MC=(1,0,-),

21∴x=1-λ,y=1,z=λ.

2要使AN⊥MC只需AN·MC=0,即

14z=0,解得λ=. 25412可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使AN·MC=0.

5551212此时, AN=(,1,),BN=(,-1,),有BN·MC=0.

5555x-由AN·MC=0, BN·MC=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角. ∵|AN|=

43030,|BN|=,AN·BN=-.

555∴cos=2??.

3|AN|?|BN|2). 3AN?BN故所求的二面角为arccos(-

(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。 解：（I）∵f(x)+2x>0的解集为（1，3）， ∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.因而

f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ① 由方程f(x)+6a=0得

ax2-(2+4a)x+9a=0. ②

因为方程②有两个相等的根，所以△=[-(2+4a)]2-4a29a=0, 即 5a2-4a-1=0. 解得 a=1或a=-

1. 51代入①得f(x)的解析式 5由于a<0，舍去a=1.将a=-f(x)=-

1263x-x-. 555(II)由

f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a

1?2a2a2?4a?1=a(x-)-

aaa2?4a?1及a<0，可得f(x)的最大值为-. a五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

?a2?4a?1?0,??由? a?a?0,?解得 a<-2-3或-2+3

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是 (-∞，-2-3)∪(-2+3,0).

（20）本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分。

（I）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=为 1-

1,所以甲坑不需要补种的概率817==0.875. 88（II）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为

1C3?712

×()=0.041. 8873), 8（III）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为(所以有坑需要补种的概率为 1-(

73

)=0.330. 8解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为

711××()2=0.287, C388恰有2个坑需要补种的概率为

17C32×()23=0.041.

883个坑都需要补种的概率为

3 C3×(

1370

)3()=0.002. 88所以有坑需要补种的概率为

0.287+0.041+0.002=0.330.

（21）本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力.满分12分。 解：（I）由210S30-(210+1)S20+S10=0得 210(S30-S20)=S20-S10，

即 210(a21+a22+?+a30)=a11+a12+?+a20,

可得 2102q10(a11+a12+?+a20)=a11+a12+?+a20. 因为an>0，所以 210q10=1, 解得q=

1,因而 2五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

1,n=1,2,?. 2n11(II)因为{an}是首项a1=、公比q=的等比数列，故

2211(1?n)2=1-1，nS=n-n. Sn=2n12n2n1?2 an=a1qn-1=则数列{nSn}的前n项和 Tn=(1+2+?+n)-(

12n+2+?+n)， 222

Tn112n?1n?(1+2+?+n)-(2+3+?+n?n?1). 222222前两式相减，得

Tn11n11?(1+2+?+n)-(+2+?+n)+n?1

22222211(1?n)n(n?1)22+n, =-142n?11?2n(n?1)1n?n?1?n?2. 即 Tn=

222（22）本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识，考查综合运

用数学知识解决问题及推理的能力.满分14分.

x2y2（I）解：设椭圆方程为2?2=1(a>b>0),F(c,0).

ab则直线AB的方程为y=x-c,

x2y2代入2?2=1，化简得

ab (a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0. 令A(x1,y1),B(x2,y2),

2a2ca2c2?a2b2则 x1+x2=2,x1x2=.

a?b2a2?b2由OA?OB=(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1), OA?OB与a共线，得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0.

又 y1=x1-c,y2=x2-c,

∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

∴ x1+x2=

3c. 22a2c3c?即 2,所以a2=3b2. 22a?b∴ c=a?b?226a, 3故离心率e=

c6. ?a32

2

x2y2（II）证明：由（I）知a=3b,所以椭圆2?2=1可化为

abx2+3y2=3b2.

设OM=(x,y),由已知得

(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),

x=λx1+μx2, ∴ y=λy1+μy2. ∵M(x,y)在椭圆上，

∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2.

即λ2(x1+3y1)+μ2(x2+3y2)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2, ① 由（I）知x1+x2=

22223232212c,a=c,b=c.

222a2c2?a2b232?c. ∴x1x2=

8a2?b2∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)

=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2 =

32922c-c+3c 222222=0.

又x1?3y1=3b2,x2?3y2=3b2,代入①得 λ2+μ2=1.

故λ2+μ2为定值，定值为1.

2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科（全国1）

一、选择题

（1）?是第四象限角，tan???5，则sin??（ ） 12五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

55 D．? 1313a1?i?（2）设a是实数，且是实数，则a?（ ） 1?i213A． B．1 C． D．2

22A．

B．?C．

1 51 56)，b?(6，5)，则a与b（ ） （3）已知向量a?(?5，A．垂直

B．不垂直也不平行

C．平行且同向

D．平行且反向

0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ） （4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(?4，x2y2??1 A．

412x2y2??1 B．

124x2y2??1 C．

106x2y2??1 D．

610（5）设a，b?R，集合?1，a?b，a???0，，b?，则b?a?（ ） A．1

B．?1

C．2

D．?2

?b?a??（6）下面给出的四个点中，到直线x?y?1?0的距离为的平面区域内的点是（ ）

?x?y?1?0，2，且位于?表示2x?y?1?0?D1 ， A．(11)， B．(?11)

，?1) C．(?1，?1) D．(1C1 B1

（7）如图，正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，AA1?2AB，则异面直线

A1 A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）

A．

1 5B．

2 5C．

3 5D．

4 5D A B

C

（8）设a?1，函数f(x)?logax在区间?a，2a?上的最大值与最小值之差为（ ） A．2

B．2

C．22

D．4

1，则a?2（9）f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)?f(x)?g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的（ ） A．充要条件 C．必要而不充分的条件

n B．充分而不必要的条件

D．既不充分也不必要的条件

1??（10）?x2??的展开式中，常数项为15，则n?（ ）

x??

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

A．3

B．4

C．5

D．6

（11）抛物线y2?4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ） A．4

B．33 2

C．43 2

D．8

（12）函数f(x)?cosx?2cosA．?，?

x的一个单调增区间是（ ） 2C．?0，?

??2???33?B．?，?

?????62?????3?D．??，?

?????66?二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数y?f(x)的图像与函数y?log3x(x?0)的图像关于直线y?x对称，则

f(x)? ．

（15）等比数列?an?的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则?an?的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范围． （18）（本小题满分12分） 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数?的分布列为

? P 1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.1 5 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．?表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； （Ⅱ）求?的分布列及期望E?．

（19）（本小题满分12分）

四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC?底面ABCD．已知

∠ABC?45?，AB?2，BC?22，SA?SB?3． SCB五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

（Ⅰ）证明SA?BC；

（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．

（20）（本小题满分12分） 设函数f(x)?ex?e?x．

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f?(x)≥2；

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围． （21）（本小题满分12分）

x2y2B，D两点，??1的左、已知椭圆右焦点分别为F过F过F21，F2．1的直线交椭圆于

32的直线交椭圆于A，C两点，且AC?BD，垂足为P．

22x0y0??1； （Ⅰ）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：32（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

（22）（本小题满分12分）

，2，3，…． 已知数列?an?中a1?2，an?1?(2?1)(an?2)，n?1（Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?中b1?2，bn?1?3bn?4，2，3，…， ，n?12bn?3，2，3，…． 证明：2?bn≤a4n?3，n?12007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题：

（1）D （2）B （7）D （8）D 二、填空题： （13）36

（3）A （9）B

x（4）A （10）D （5）C （11）C （6）C （12）A

（14）3(x?R)

（15）

1 3

（16）23 三、解答题： （17）解：

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?1， 2π． 6（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin????????A? ??????cosA?sin??A?

?6?13?cosA?cosA?sinA

22????3sin?A??．

3??由△ABC为锐角三角形知，

???????A??B，?B???． 2222632????A??， 336所以

1???3． sin?A???2?3?23??3??3sin?A????3， 23?2??33?． ??2，?2??由此有所以，cosA?sinC的取值范围为?（18）解：

（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

P(A)?(1?0.4)2?0.216，

P(A)?1?P(A)?1?0.216?0.784．

（Ⅱ）?的可能取值为200元，250元，300元．

P(??200)?P(??1)?0.4，

P(??250)?P(??2)?P(??3)?0.2?0.2?0.4，

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

P(??300)?1?P(??200)?P(??250)?1?0.4?0.4?0.2．

?的分布列为

? P 200 0.4 250 0.4 300 0.2 E??200?0.4?250?0.4?300?0.2 ?240（元）．

（19）解法一：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．

因为SA?SB，所以AO?BO，

又∠ABC?45，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，

故SA⊥AD，由AD?BC?22，SA?3，AO?2，得 ?S SO?1，SD?11．

C O A △SAB的面积S1?1?1?AB?SA2??AB??2． 2?2?2B

D 连结DB，得△DAB的面积S2?1AB?ADsin135??2 2设D到平面SAB的距离为h，由于VD?SAB?VS?ABD，得

11h?S1?SO?S2， 33解得h?2．

设SD与平面SAB所成角为?，则sin??h222． ??SD111122． 11所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin解法二：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．

因为SA?SB，所以AO?BO．

又∠ABC?45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O?xyz， S ?z G 五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

???0，1)，SA?(2，0，?1)， A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，?2，0)，S(0，???????????CB?0，所以SA⊥BC． CB?(0，22，0)，SA??22?0?（Ⅱ）取AB中点E，E??2，2，?，

??连结SE，取SE中点G，连结OG，G??221?． ??4，4，?2???221??22?OG??1?0)． ??4，4，?，SE???2，2，?，AB?(?2，2，2????SE?OG?0，AB?OG?0，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．

所以OG?平面SAB，OG与DS的夹角记为?，SD与平面SAB所成的角记为?，则?与?互余．

221)，． D(2，22，0)，DS?(?2，cos??OG?DSOG?DS?2222，sin??， 1111所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin（20）解：

x?x（Ⅰ）f(x)的导数f?(x)?e?e．

22． 11由于ex?e-x≥2ex?e?x?2，故f?(x)≥2． （当且仅当x?0时，等号成立）． （Ⅱ）令g(x)?f(x)?ax，则

y A P x?xD g?(x)?f?(x)?a?ex?e?x?a，

（ⅰ）若a≤2，当x?0时，g?(x)?e?e?a?2?a≥0， B F1OF2 C x

?)上为增函数， 故g(x)在(0，∞所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

a?a2?4（ⅱ）若a?2，方程g?(x)?0的正根为x1?ln，

2此时，若x?(0，x1)，则g?(x)?0，故g(x)在该区间为减函数．

所以，x?(0，x1)时，g(x)?g(0)?0，即f(x)?ax，与题设f(x)≥ax相矛盾． 综上，满足条件的a的取值范围是??∞，2?． （21）证明：

（Ⅰ）椭圆的半焦距c?3?2?1，

22由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x0?y0?1， 2222y0x0y0x21?≤???1． 所以，32222（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k?0时，BD的方程为y?k(x?1)，代入椭圆方程

x2y2??1，并化简得(3k2?2)x2?6k2x?3k2?6?0． 32设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则

6k23k2?6x1?x2??2，x1x2? 23k?23k?243(k2?1)BD?1?k?x1?x2?(1?k)???(x2?x2)?4x1x2???3k2?2；

222因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为?1， k?1?43?2?1?43(k2?1)k??所以，AC?． ?212k?33?2?2k四边形ABCD的面积

124(k2?1)2??(k2?1)296S??BDAC?≥?．

2(3k2?2)(2k2?3)?(3k2?2)?(2k2?3)?225??2??当k?1时，上式取等号．

2五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

（ⅱ）当BD的斜率k?0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S?4． 综上，四边形ABCD的面积的最小值为（22）解： （Ⅰ）由题设：

96． 25an?1?(2?1)(an?2)

?(2?1)(an?2)?(2?1)(2?2) ?(2?1)(an?2)?2， an?1?2?(2?1)(an?2)．

所以，数列an?2是首项为2?2，公比为2?1的等比数列，

??an?2?2(2?1)n，

即an的通项公式为an?n2，3，…． 2?(2?1)?1???，n?1，（Ⅱ）用数学归纳法证明．

（ⅰ）当n?1时，因2?2，b1?a1?2，所以

2?b1≤a1，结论成立．

（ⅱ）假设当n?k时，结论成立，即2?bk≤a4k?3， 也即0?bk?2≤a4k?3?3． 当n?k?1时，

bk?1?2?3bk?4?2

2bk?3?(3?22)bk?(4?32)

2bk?3(3?22)(bk?2)?0，

2bk?311??3?22，

2bk?322?3?又

所以 bk?1?2?(3?2b2k?)(2bk?3

2)五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

?(3?22)2(bk?2) ≤(2?1)4(a4k?3?2) ?a4k?1?2．

也就是说，当n?k?1时，结论成立．

，2，3，…． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知2?bn≤a4n?3，n?12008年普通高等学校招生全国统一考试

理科（全国1）

一、选择题 1．函数y?x(x?1)?x的定义域为（ ）

A．x|x≥0

??

B．x|x≥1 D．x|0≤x≤1

??C．x|x≥1??0?

????2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶

路程s看作时间t的函数，其图像可能是（ ） s s s s O A．

t O B．

t O C．

t O D．

t

????????????????????3．在△ABC中，AB?c，AC?b．若点D满足BD?2DC，则AD?（ ）

A．

21b?c 33

B．c?2532b 3 C．

21b?c 33

D．b?132c 34．设a?R，且(a?i)i为正实数，则a?（ ） A．2

B．1

C．0

D．?1

5．已知等差数列?an?满足a2?a4?4，a3?a5?10，则它的前10项的和S10?（ ） A．138

B．135

C．95

D．23

6．若函数y?f(x?1)的图像与函数y?lnx?1的图像关于直线y?x对称，则f(x)?（ ）A．e7．设曲线y?2x?1

B．e

2xC．e2x?1

D．e2x?2

x?12)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a?（ ） 在点(3，x?1五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

A．2

B．

1 2C．?1 2D．?2

8．为得到函数y?cos?2x???π??的图像，只需将函数y?sin2x的图像（ ） 3?

B．向右平移

5π个长度单位 125πC．向左平移个长度单位

6A．向左平移

5π个长度单位 125π D．向右平移个长度单位

6f(x)?f(?x)?0的解??)上为增函数，且f(1)?0，则不等式9．设奇函数f(x)在(0，x集为（ ）

，0)?(1，??) A．(?1?1)?(1，??) C．(??，10．若直线

?1)?(0，1) B．(??，，0)?(01)， D．(?1xy??1通过点M(cos?，sin?)，则（ ） ab112222A．a?b≤1 B．a?b≥1 C．2?2≤1

abD．

11?≥1 a2b2ABC内的射影为11．已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．

1 3B．2 3 C．3 3 D．

2 312．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48

A D

C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

?x?y≥0，?13．若x，y满足约束条件?x?y?3≥0，则z?2x?y的最大值为 ．

?0≤x≤3，?14．已知抛物线y?ax?1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

15．在△ABC中，AB?BC，cosB??椭圆的离心率e? ．

27．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该18五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C?AB?D的余弦值为

3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于 ． 3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB?bcosA?（Ⅰ）求tanAcotB的值； （Ⅱ）求tan(A?B)的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

3c． 5BC?2，四棱锥A?BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC?底面BCDE，CD?2，AB?AC．

（Ⅰ）证明：AD?CE；

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角C?AD?E的大小．

A ?B C 19．（本小题满分12分）

D

E

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设函数f(x)在区间??，??内是减函数，求a的取值范围． 20．（本小题满分12分）

?2?31?3?（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）?表示依方案乙所需化验次数，求?的期望． 21．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1????????????????????AB、OB成等差数列，且BF与FA同向． 的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA、（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

设函数f(x)?x?xlnx．数列?an?满足0?a1?1，an?1?f(an)．

1)是增函数； （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，（Ⅱ）证明：an?an?1?1； （Ⅲ）设b?(a1，1)，整数k≥a1?b．证明：ak?1?b． a1lnb参考答案

1. C. 2. A．

由x?x?1??0,x?0,得x?1,或x?0; 根据汽车加速行驶s?121at，匀速行驶s?vt，减速行驶s??at2结合函数图22像可知；

??????????????1?2?????????????????3. A. 由AD?AB?2AC?AD，3AD?AB?2AC?c?2b，AD?c?b；

33??4. D. 5. C. 6. B. 7.D.

?a?i?2i??a2?2ai?1?i??2a??a2?1?i?0,a??1；

由a2?a4?4,a3?a5?10?a1??4,d?3,S10?10a1?45d?95； 由y?lnx?1?x?e由y?2?y?1?,f?x?1??e2?x?1?,f?x??e2x；

x?1221?1?,y'??,y'|??,?a?2,a??2； x?32x?1x?12?x?1?5?????sin2x????,只需将函数y?sin2x的图

12???8.A.

??5???y?cos?2x???sin?2x?3?6??五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

像向左平移

5ππ??个单位得到函数y?cos?2x??的图像. 123??f(x)?f(?x)2f(x)??0，()0?，1)??1()f0?，而f1则f(?xx9.D．由奇函数f(x)可知

??)上为当x?0时，f(x)?0?f(1)；当x?0时，f(x)?0?f(?1)，又f(x)在(0，增函数，则奇函数f(x)在(??,0)上为增函数，0?x?1,或?1?x?0.

10.D．由题意知直线

xy??1与圆x2?y2?1有交点，则ab11ab111?22ab≤1,11?≥1. a2b2另解：设向量m=(cos?,sin?),n=(,)，由题意知

cos?sin???1 ab由m?n≤mn可得1?cos?sin?11?≤? aba2b211.C．由题意知三棱锥A1?ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1?3a，棱柱的高

2326222，故AB1与AO?a?AO?a?(?a)?a（即点B1到底面ABC的距离）1323底面ABC所成角的正弦值为

AO21. ?AB13????????????????????????0另解：设AB,AC,AA1为空间向量的一组基底，AB,AC,AA1的两两间的夹角为60

????????1????1????????????????长度均为a，平面ABC的法向量为OA1?AA1?AB?AC,AB1?AB?AA1

33????????22????6????OA1?AB1?a,OA1?,AB1?3 33?????????OA1?AB12则AB1与底面ABC所成角的正弦值为?????????.

3AOAB1123412.B.分三类：种两种花有A4种种法；种三种花有2A4种种法；种四种花有A4种种法.共有234A4?2A4?A4?84.

另解：按A?B?C?D顺序种花，可分A、C同色与不同色有4?3?(1?3?2?2)?84 13.答案：9．如图，作出可行域，

作出直线l0:x?2y?0，将l0平移至过点A处

x?y?0 x?y?3?0 y x?3 O x A(3,?3) x?2y?0 五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

时，函数z?2x?y有最大值9.

14. 答案：2.由抛物线y?ax2?1的焦点坐标为

(0,111?1)为坐标原点得，a?，则y?x2?1 4a441?4?1?2 2372522215.答案：.设AB?BC?1，cosB??则AC?AB?BC?2AB?BC?cosB?

81895582c3AC?，2a?1??,2c?1,e??. C 3332a81M 16.答案：.设AB?2，作CO?面ABDE， 6N E OH?AB，则CH?AB，?CHO为二面角C?AB?D的平面角 A o H CH?3,OH?CH?cos?CHO?1，结合等边三角形ABC

与坐标轴的交点为(0,?1),(?2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为

B D 与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN?EM?CH?3 16题图（1） ????1?????????????1?????????????????1?????1???????1AN?(AC?AB),EM?AC?AE,AN?EM?(AB?AC)?(AC?AE)?

22222?????????AN?EM1故EM，AN所成角的余弦值??????????

z ANEM6

另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点A(?1,?1,0),B(1,?1,0),E(?1,1,0),C(0,0,2),

C M N H A E o y 112112M(?,?,),N(,?,),

222222B D 16题图（2） x ????312?????132?????????1?????????),EM?(,?,),AN?EM?,AN?EM?3, 则AN?(,,2222222?????????AN?EM1故EM，AN所成角的余弦值??????????.

ANEM617.解析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosB?bcosA?可得sinAcosB?sinBcosA?3c 53333sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB 5555即sinAcosB?4cosAsinB，则tanAcotB?4； （Ⅱ）由tanAcotB?4得tanA?4tanB?0

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

tanA?tanB3tanB33??≤

1?tanAtanB1?4tan2BcotB?4tanB41当且仅当4tanB?cotB,tanB?,tanA?2时，等号成立，

213故当tanA?2,tanB?时，tan(A?B)的最大值为.

24A 18．解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，

?AB?AC，?AF?BC，

又面ABC?面BCDE，?AF?面BCDE，

G ?AF?CE． B F 2， tan?CED?tan?FDC?O 2C D tan(A?B)?E ??OED??ODE?90?，??DOE?90?，即CE?DF，

?CE?面ADF，?CE?AD．

（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．

?CG?AD，CE?AD，?AD?面CEG，?EG?AD， 则?CGE即为所求二面角的平面角．

18题图 CG?630AC?CD2322，DG?，EG?DE?DG?， ?33AD3CG2?GE2?CE210， ??CE?6，则cos?CGE?2CG?GE10?10??10???CGE?π?arccos??10??，即二面角C?AD?E的大小π?arccos??10??．

????32219. 解：（1）f(x)?x?ax?x?1求导：f?(x)?3x?2ax?1

2当a≤3时，?≤0，f?(x)≥0，f(x)在R上递增

?a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?

32???a?a2?3?a?a2?3??a?a2?3?，即f(x)在???，?递增，??递减，

????333??????a?a2?3?，???递增 ???3??五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

??a???（2）???a???a2?32≤?33a2?31≥?33次数 概率 对于乙：

次数 概率 2 0.4 3 0.4 4 0.2 ，且a2?3解得：a≥7 4 20．解：（Ⅰ）对于甲： 1 0.2 2 0.2 3 0.2 4 0.2 5 0.2 0.2?0.4?0.2?0.8?0.2?1?0.2?1?0.64．

（Ⅱ）?表示依方案乙所需化验次数，?的期望为E??2?0.4?3?0.4?4?0.2?2.8． 21. 解：（Ⅰ）设OA?m?d，AB?m，OB?m?d 由勾股定理可得：(m?d)2?m2?(m?d)2 得：d?1bAB4m，tan?AOF?，tan?AOB?tan2?AOF?? 4aOA3ba?4，解得b?1,则离心率e?5． 由倍角公式?2a232?b?1????a?2ax2y2（Ⅱ）过F直线方程为y??(x?c),与双曲线方程2?2?1联立

bab将a?2b，c?5b代入，化简有

15285x?x?21?0 24bb2??a?2??a?4?1???x1?x2??1?????(x1?x2)2?4x1x2??? bb??????????325b?228b2??,解得b?3 ?4将数值代入，有4?5?????5???15???x2y2??1。 故所求的双曲线方程为

36922. 解析：

（Ⅰ）证明：f(x)?x?xlnx，f'?x???lnx,当x??0,1?时，f'?x???lnx?0

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

故函数f?x?在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0?a1?1，a1lna1?0，

a2?f(a1)?a1?a1lna1?a1

由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且函数f(x)在x?1处连续，则f(x)在区间(0，1]是增函数，a2?f(a1)?a1?a1lna1?1，即a1?a2?1成立；

（ⅱ）假设当x?k(k?N*)时，ak?ak?1?1成立，即0?a1≤ak?ak?1?1 那么当n?k?1时，由f(x)在区间(0，1]是增函数，0?a1≤ak?ak?1?1得

f(ak)?f(ak?1)?f(1).而an?1?f(an)，则ak?1?f(ak),ak?2?f(ak?1)，

ak?1?ak?2?1，也就是说当n?k?1时，an?an?1?1也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an?an?1?1恒成立. （Ⅲ）证明：由f(x)?x?xlnx．an?1?f(an)可得

a?b?a?b?alna?a1?b??ailnai k?1kkki?1k1， 若存在某i≤k满足ai≤b，则由⑵知：ak?1?b?ai?b≥0

?b?a?b?alna2， 若对任意i≤k都有ai?b，则a k?1kkk a?b?kalnb?a1?b??ailnai?a1?b??ailnb?a1?b?(?ai)lnb?11i?1i?1i?1kkk?0，即a?b成立. ?a?b?kalnb?a?b?(a?b)1111k?1 09

年全国卷Ⅰ理科数学试题全析全解（一）

第Ⅰ卷

资一、选择题 (1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A?B，则集合?u(A元素共有（A） （A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 IB)中的

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

解：A?B?{3,4,5,7,8,9}，A?B?{4,7,9}?CU(A?B)?{3,5,8}故选A。也可用摩根律：CU(A?B)?(CUA)?(CUB)

（2）已知

Z=2+i,则复数z=（B ） 1＋i（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：z?(1?i)?(2?i)?1?3i,?z?1?3i 故选B。 (3) 不等式

X?1

＜1的解集为（ D ） X?1

（A）｛x0?x?1???xx?1? (B)?x0?x?1? ?（C）?x?1?x?0? (D)xx?0? 解：验x=-1即可。 x2y22

(4)设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心

ab率等于( C ) （A）3 （B）2 （C）5 （D）6

解：设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y'|x?x0?2x0.由题意有

y0?2x0又y0?x02?1 x0解得: x0?1,?2bb?2,e?1?()2?5. aa(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有C5?C3?C6?225种选法;

112211 (2) 乙组中选出一名女生有C5?C6?C2?120种选法.故共有345种选法.选D

（6）设a、b、c是单位向量，且a2b＝0，则

?a?c???b?c?的最小值为 ( D )

（A）?2 （B）2?2 （C）?1 (D)1?2 五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

???解: ?a,b,c是单位向量

????????????2?a?c?b?c?a?b?(a?b)?c?c

???????1?|a?b|?|c|?1?2cos?a?b,c??1?2????C1A1B1故选

CDABD. （7）已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底

面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ D ） （A）

3357 （B） （C） (D)

4444AB与CC1所成的解：设BC的中点为D，连结A1D，AD，易知???A1AB即为异面直线

角,由三角余弦定理，易知cos??cos?A1AD?cos?DAB?ADAD3??.故选D A1AAB4（8）如果函数y＝3cos?2x＋??的图像关于点?（C）（A）

?4??，0?中心对称，那么|?|的最小值为?3????? （B） （C） (D) 6432?4??，0?中心对称 ?3?解: ?函数y＝3cos?2x＋??的图像关于点??2?4?4?????k????k??2?(k?Z)由此易得|?|min?.故选C 333 (9) 已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点P(x0,y0)，则y0?x0?1,y0?ln(x0?a),又?y'|x?x0?1?1

x0?a?x0?a?1?y0?0,x0??1?a?2.故答案选B

（10）已知二面角α-l-β为60o

，动点P、Q分别在面α、

β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

(A)

(B)2 (C) 23 (D)4

解:如图分别作QA??于A,AC?l于C,PB??于B,

PD?l于D，连CQ,BD则?ACQ??PBD?60?,

AQ?23,BP?3，?AC?PD?2

又?PQ?AQ2?AP2?12?AP2?23

当且仅当AP?0，即点A与点P重合时取最小值。故答案选C。

（11）函数f(x)的定义域为R，若f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，则( D )

(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)?f(x?2) (D) f(x?3)是奇函数

解: ?f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1)，

?函数f(x)关于点(1,0)，及点(?1,0)对称，函数f(x)是周期T?2[1?(?1)]?4的周期

函数.?f(?x?1?4)??f(x?1?4)，f(?x?3)??f(x?3)，即f(x?3)是奇函数。故选D

x2?y2?1的右焦点为F,右准线为l，点A?l，线段AF交C于点B，12.已知椭圆C:2?????????????若FA?3FB,则|AF|=

(A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 3

????????解:过点B作BM?l于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA?3FB,

故|BM|?2222??.又由椭圆的第二定义,得|BF|??|AF|?2.故选A

3233第II卷

二、填空题：

733713. ?x?y?的展开式中，xy的系数与xy的系数之和等于 。

10解: ?C10?(?C10)??2C10??240

373五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

14. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 。 解: ??an?是等差数列,由S9?72,得?S9?9a5,a5?8

?a2?a4?a9?(a2?a9)?a4?(a5?a6)?a4?3a5?24.

15. 直三棱柱

ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若

AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，则此球的表面积等于 。

解:在?ABC中AB?AC?2,?BAC?120?,可得BC?23,由正弦定理,可得?ABC外

接圆半径r=2,设此圆圆心为O?，球心为O，在RT?OBO?中，易得球半径R?5，故此球的表面积为4?R?20?.

216. 若

?4?x??2，则函数y?tan2xtanx的最大值为 。

3解:令tanx?t,??4?x??2?t?1,

2tan4x2t4222?y?tan2xtanx???????8 221111111?tanx1?t?2(2?)2??4ttt2443三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．

在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a?c?2b，且

22sinAcosC?3cosAsinC ,求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

22sinAcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在

已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

a2?b2?c2b2?c2?a2?3?c,化简并整理得：2(a2?c2)?b2.又由已知有:a?2ab2bca2?c2?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）.

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

解法二:由余弦定理得: a?c?b?2bccosA.又a?c?2b,b?0。

所以b?2ccosA?2?????????????①

又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC

22222sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC

由正弦定理得sinB?bsinC，故b?4ccosA?????????② c由①，②解得b?4。

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提

高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．．

如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为矩形，SD?底面ABCD，

AD?2DC?SD?2，点M在侧棱SC上，?ABM=60°

（I）证明：M在侧棱SC的中点 （II）求二面角S?AM?B的大小。

（I）解法一：作MN∥SD交CD于N，作NE?AB交AB于E，

连ME、NB，则MN?面ABCD，ME?AB,NE?AD?设MN?x，则NC?EB?x,

在RT?MEB中，??MBE?60??ME?3x。 在RT?MNE中由ME?NE?MN?3x?x?2 解得x?1，从而MN?222222 1SD? M为侧棱SC的中点M. 2解法二:过M作CD的平行线.

解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案.

（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M作MJ∥CD交SD于J,作SH?AJ交AJ于H,

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

作HK?AM交AM于K,则JM∥CD,JM?面SAD,面SAD?面MBA,SH?面

AMB??SKH即为所求二面角的补角.

分析二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BF?AM交AM于点

F，则点F为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证GF?AM，则?GFB即为所

求二面角.

分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。

另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。 19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II）设?表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求?得分布列及数学期望。 分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。

另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．．

在数列{an}中，a1?1,an?1?(1?)an? （I）设bn?1nn?1 2nan，求数列{bn}的通项公式 n （II）求数列{an}的前n项和Sn 分析：（I）由已知有

an?1an11??n?bn?1?bn?n n?1n221*(n?N) n?12 利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: bn?2?（II）由（I）知an?2n?n, n?12五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

nnkk?Sn=?(2k?k?1)??(2k)??k?1

2k?1k?1k?12nn而

?(2k)?n(n?1),又?k?1nk是一个典型的错位相减法模型， k?12k?1n易得

n?2kn?2??4 =n(n?1)?4?S??nn?1k?1n?122k?12评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．．

如图，已知抛物线E:y2?x与圆M:(x?4)2?y2?r2(r?0)相交于A、B、C、D四个点。

（I）求r得取值范围；

（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P坐标

分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线E:y?x与圆M:(x?4)?y?r(r?0)的方

2程联立，消去y，整理得x?7x?16?r?0．．．．．．．．．．．．．（＊）

2222222222抛物线E:y?x与圆M:(x?4)?y?r(r?0)相交于A、B、C、D四个点的

充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得r?(合及函数和方程的思想来处理也可以．

15,4).考生利用数形结2（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入

的 方法处理本小题是一个较好的切入点．

设四个交点的坐标分别为A(x1,x1)、B(x1,?x1)、C(x2,?x2)、D(x2,x2)。 则由（I）根据韦达定理有x1?x2?7,x1x2?16?r2，r?(则S?15,4) 21?2?|x2?x1|(x1?x2)?|x2?x1|(x1?x2) 2五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

?S2?[(x1?x2)2?4x1x2](x1?x2?2x1x2)?(7?216?r2)(4r2?15)

令16?r2?t，则S2?(7?2t)2(7?2t) 下面求S的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有

时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

21S2?(7?2t)2(7?2t)?(7?2t)(7?2t)(14?4t)

217?2t?7?2t?14?4t31283)??() ?(2323 当且仅当7?2t?14?4t，即t?715时取最大值。经检验此时r?( ,4)满足题意。62方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。 下面来处理点P的坐标。设点P的坐标为：P(xp,0) 由A、P、C三点共线，则

x1?x2x1?得

x1?x2x1?xpxp?x1x2?t?以下略。

7。 622. 本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．．

设函数f?x??x?3bx?3cx在两个极值点x1、x2，且

32x1?[?1，0],x2?[1,2].

（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点

?b,c?的区域；

(II)证明：?10?f?x2???1 2分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大部分考生有思路并能够得分。

f??x??3x2?6bx?3c由题意知方程

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

f??x??0有两个根x1、x2

且x1?[?1，0],x2?[1,2].则有f???1??0，f??0??0，f??1??0，f??2??0故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点?b,c?的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标

（如果消 c会较繁琐）再利用x2的范围，并借助（I）f?x2??x23?3bx22?3cx2中的b，

中的约束条件得c?[?2,0]进而求解，有较强的技巧性。 解： 由题意有f??x2??3x2?6bx2?3c?0．．．．．．．．．．．．①

2又f?x2??x2?3bx2?3cx2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

32消去b可得f?x2???133cx2?x2． 221 2(2?)?又?x2?[1,2]，且c?[?2,0] ??10?fx2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

一．选择题 (1)复数

3?2i? 2?3i(A)i (B)?i (C)12-13i (D) 12+13i

1．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析】

3?2i(3?2i)(2?3i)6?9i?4i?6???i. 2?3i(2?3i)(2?3i)13(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??

1?k21?k2A. B. - C.

kkk1?k2D. -k1?k2

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

?2?2?2?【解析】sin80?1?cos80?1?cos(?80)?1?k,所以tan100???tan80

sin80?1?k2????. ?cos80k?y?1,?(3)若变量x,y满足约束条件?x?y?0,则z?x?2y的最大值为

?x?y?2?0,?(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为zmax?1?2?(?1)?3.

x?y?0

y A y?x l0:x?2y?01 2 A O x x?y?2?0 ?2 （4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则aaa456= (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

3 【解析】由等比数列的性质知a1a2a3?(a1a3)?a2?a2?5，

13a7a8a9?(a7a9)?a8?a?10,所以a2a8?50, 38所以a4a5a6?(a4a6)?a5?a?(a2a8)?(50)?52 (5)(1?2x)3(1?3x)5的展开式中x的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项

353163五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.

【解析】(1?2x)3(1?3x)5?(1?6x?12x?8xx)(1?3x)5

故

(1?2x)3(1?3x)5的展开式中含x的项为

3301?C5(?3x)?12xC5??10x?12x??2x,所以x的系数为-2.

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.

12【解析】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C3C41种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C4种不同的1221选法.所以不同的选法共有C3C4+C3C4?18?12?30种.

(7)正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A

2236 B C D 33337.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析】因为BB1//DD1,所以BB1与平面等,设

DO⊥平面

D1 A1

D A

O C B B1

C1

ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相

11ACD1，由等体积法得VD?ACD?VD?ACD,即

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

11S?ACD1?DO?S?ACD?DD1.设DD1=a, 33则S?ACD1?1111332CD?a2.AC?AD1sin60???(2a)2??a,S?ACD?AD?222222[来源学&科&网]

S?ACD?DDa331??a,记DD1与平面ACD1所成角为?,则所以DO?2S?AC1D33asin??6DO3,所以cos??. ?3DD13?12（8）设a=log32,b=In2,c=5,则

A a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=log32=

1211, b=In2=,而log23?log2e?1,所以a36 (B) (C) 223 (D) 6 9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

【解析】不妨设点P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得

a2|PF|e[0x?(?1?c弦定理得

a2)?]a?e2|xPF2|?e[x0?)]?ex0?a?2x0?1.由余0x?1?，0c|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2(1?2x0)2?(2x0?1)2?(22)20cos∠F,即cos60?, 1PF2=

2|PF1||PF2|2(1?2x0)(2x0?1)解得x0?253622,所以y0?x0?1?，故P到x轴的距离为|y0|? 222（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b?a?A,这也是命题者的用苦良心之处.

【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b?又0f(1)=1+

2?22,从而错选a12，所以a+2b=a? aa2,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a?(0,1)上a2=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞). 1????????（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA?PB的

最小值为

(A) ?4?2 (B)?3?2 (C) ?4?22 (D)?3?22

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x(x?0),∠APO=?,则∠APB=2?，PO=1?x2，sin??A 11?x2，

O P ????????????????x2(x2?1)x4?x222=2PA?PB?|PA|?|PB|cos2?=x(1?2sin?)=2x?1x?1????????x4?x22，令PA?PB?y，则y?2，即x4?(1?y)x2?y?0，由x是实数，所以

x?1B ??[?(1?y)]2?4?1?(?y)?0，y2?6y?1?0，解得y??3?22或y??3?22.

????????故(PA?PB)min??3?22.此时x?2?1. （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A)

234383 (B) (C) 23 (D) 33312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有

112V四面体ABCD??2??2?h?h,当直径通过AB与CD的中点时,hmax?222?12?23,故

323五年高考理科数学2006——2010（全国卷1）

Vmax?43. 32010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)不等式2x2?1?x?1的解集是 . 13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.

?2x2?1?(x?1)2,解析:原不等式等价于?解得0≤x≤2.

?x?1?0(14)已知?为第三象限的角，cos2???14．?3?,则tan(?2?)? . 541【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的7正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.

k?1)??,?2(2k??1)k)(?Z，又【解析】因为?为第三象限的角,所以2??(2(23?4cos2???<0, 所以2??(?2(2k?1)?,??2(2k?1)?)(k?Z),于是有sin2??,

5254?1?tan?tan2?sin2?4?3??1. 4tan2????,所以tan(?2?)???4cos2?3471?tantan2?1?43(15)直线y?1与曲线y?x?x?a有四个交点，则a的取值范围是 .

15.(1,)【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.

2541x?? 2a y x?1 2y?x2?x?ay=1 x O y?4a?1 4

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