温州大学高数B复习(同济大学应用数学系)第三版本科少学时
更新时间:2023-08-21 19:45:01 阅读量: 高等教育 文档下载
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高数B(二)复习
第五章 定积分及其应用
知识点:
1、定积分概念与几何意义
2、定积分性质(不等式性质)
3、变上限积分函数性质
x
af(t)dt f(x)
4、定积分计算(换元法、分部积分法)
5、反常积分概念与计算 重要结论:
11dx当p 1时收敛,p 1时发散。 xp
6、几何应用
例题:
1
、计算积分
4
112x, x 212tf(t)dt arctanx,求 f(x)dx 122、设f(1) 1,2x 2x
xf(t)dt
32xx3、计算反常积分
0x2e xdx、 0dx 2x 2x 2
24、求由y x与y x 2所围的平面图形面积
参考练习:
1、计算积分 2
0xsin2xdx, xarctanxdx 01
2、计算反常积分
0xe xdx, 2 11x x5
3、求极限lim x 0 x
0x20tdt32 , t(t sint)dt
24、求抛物线y x 4x 3及其在点 (0, -3) 和 (3, 0) 处的切线所围成图形的面积。
5、求由y sinx(0 x )绕x轴一周所成的旋转体体积。
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第六章 微分方程
知识点:
1、基本概念
阶、通解、初值问题及特解
2、可分离变量方程及其解法
标准形式:f(x)dx g(y)dy
3、一阶线性方程及其解法(常数变易法、公式法)
标准形式:y p(x)y q(x)或x p(y)x q(y)
4、二阶常系数齐次线性方程及其解法
标准形式:y py qy 0或x px qx 0
例题:
1、求解初值问题:y (1 y2)tanx,y(0) 2。
2、求解方程:xy y x3e x
3、求特解:4y 4y y 0,y(0) 2,y (0) 0;
y 3y 4y 0,y(0) 0,y (0) 5;
y 4y 13 0,y(0) 0,y (0) 3。
参考练习:
1、y 2y y 0的通解
2、微分方程cosydx xsinydy 0的通解
3、微分方程xy ylny 0的通解
4、求微分方程y ycotx 4e
5、求微分方程y ytanx sin2x的通解
6、求解初值问题:y 3y 2y 0 ,y(0) 0,y (0) 1。
cosx的通解
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第七章 向量代数与空间解析几何
知识点:
1、向量的坐标表示与运算
2、向量的方向余弦
3、数量积与向量积概念、运算及应用(向量的夹角、平行、垂直条件)
4、平面方程的点法式、一般式;两平面平行、垂直的条件。
5、直线方程的点向式、参数式、一般式;两直线平行和垂直的条件,线面平行和垂直条件。 例题:
1、 设a (2, 3,1),b (1, 2,3),c (2,1,2),向量r满足r a,r b,r c 42,
求r。
2、求经过直线
3、求过点(2,1, 5)且与直线
参考练习: x 2y 1zx 1y 2z 3 并且与直线 平行的平面方程。 21110 1x 1y 1z 垂直相交的直线方程。 32 1
1、 设a (3, 1, 2),b (1,2, 1),求a、b的方向余弦,a与b夹角余弦。
2、设a (2, 1, 2), b (4, -1, 10),c b a,且a c,求 。
3、设a (2,1,2),b (4, 1,1),求a b
2x y z 0xy 2z 3 4、求过点(1,2,1)且与两直线 和 平行的平面方程。 31 1 x y z 0
5、求过点(1,2,1)且与两平面2x y z 0和x y z 0平行的直线方程。
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第八章 多元微分学及其应用
知识点:
1、多元函数概念(二元函数定义域,几何意义,极限与连续)
2、偏导数与全微分
连续、偏导数存在、可微性三者的关系
偏导数、全微分的计算
3、复合函数偏导数的计算
4、隐函数求导方法
5、几何应用
空间曲线的切线与法平面,空间曲面的切平面与法线。
6、多元函数的极值
极值的必要条件(驻点),极值的充分条件。
例题:
y 1、求u 的全微分du; x
z u u u z zx2、 求偏导数:设u f(xy,),求 、、; 设 ey,求,。 x x y z x yz
3
4、求z 6xy x y的极值。
参考练习:
1、设u sin(x y2 ez),求33zz a。 u u u、、。 x y z
2、z ln(u v),u sinxy,v 2x 3y。求2 z z、。 x y
xy w w w,,3、设w f(,),求。 yz x y z
4、设e xyz 0,求z z z 。 x y
z 2z5、设z z(x,y)由方程x y z e所确定,求 x y
6、求曲面x 2y 3z 21的切平面,使它平行于平面x 4y 6z 0。 223
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37、求出曲线x t、y t2、 z t的点,使在该点处的切线平行于平面x 2y z 4。
第九章 二重积分
知识点:
1、重积分概念与几何意义
2、重积分的计算
化重积分为累次积分,交换累次积分的次序
例题:
1、
2、
3、
交换积分次序
4、
参考练习: Dxdxdy,D {(x,y)1 y x,2 x 3} ylnx cos(x y)dxdy,其中D由x y D 22、y x和y 0所围。 21dxx2 xf(x,y)dy, dx f(x,y)dy 11x
1、 x2e yd ,其中D是以 (0,0),(1,1),(0,1) 为顶点的三角形闭区域。 D2
2、计算
3、
4、交换积分次序:
2Dxyd ,其中是由抛物线y x及直线y x 2所围成的闭区域。 D Dxsinydxdy,D由直线y x、y 和x 0所围。 y 20dy 2yy2f(x,y)dx。
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第九章 无穷级数
知识点:
1、级数及其敛散性
通项、部分和,和,级数收敛的必要条件
重要级数:几何级数 aqn 当q 1时收敛,q 1时发散;
p-级数 1 np 当p 1时收敛,p 1时发散。
2、正项级数审敛法
比较法及其极限形式(P.189、191),比值法(极限形式P.192),极限法(定阶P.194)
3、交错级数审敛法
通项的绝对值单调减少并且趋于0。
4、一般项级数的绝对收敛与条件收敛
理解概念,注意讨论方法
5、幂级数的收敛半径和收敛区间
收敛半径的计算,收敛区间与收敛域的确定。
6、幂级数和函数的计算
逐项积分、逐项微分性质的应用
7、函数的幂级数展开
五个基本展开式、逐项积分、逐项微分性质的应用。
例题:
1、讨论级数的敛散性
3nn!sinn
n2 cosn, sin nn
2n(x 2)n
(x 1)n的收敛域。 2、求 , nnn3 23n
4、 求幂级数
5、
5、 求2n 12nx 的收敛域与和函数。 n 12n 0 x
0e tdt的马克劳林展开式。 2
6、
参考练习:
1、求无穷级数1111 ...... ......的和。 2612n(n 1)
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( 1)n
2、求无穷级数 的和 n5n 1
3、判断
n 0 n 1n3 3、n 1的敛散性(说明理由)。 3n n 4n 0
11n
4、求幂级数 2x、 (x 4)n的收敛半径和收敛区间
n 1nn 1n2 3
nx2x3
n 1x ...... ( 1) ......的收敛域。 6、 求幂级数x 23n
x2x3xn
...... ......的收敛域。 7、 求幂级数x 2!3!n!
8、 讨论的收敛性(是否收敛?绝对收敛还是条件收敛?):
11n、 ( 1)2 ( 1)ln n 1n 0n 6n 4n 0n
11( 1)n 1
...... ......是条件收敛的。 9、 证明级数1 2n
10、
11、 求将函数f(x) 1分别展开成关于展开成x和(x 2)的幂级数。 x2 8x 151x、xe的麦克劳林展开式(即展开成关于x的幂级数)。 2x 4x 3
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