温州大学高数B复习(同济大学应用数学系)第三版本科少学时

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高数B（二）复习

第五章 定积分及其应用

知识点：

1、定积分概念与几何意义

2、定积分性质（不等式性质）

3、变上限积分函数性质

x

af(t)dt f(x)

4、定积分计算（换元法、分部积分法）

5、反常积分概念与计算 重要结论：

11dx当p 1时收敛，p 1时发散。 xp

6、几何应用

例题：

1

、计算积分

4

112x， x 212tf(t)dt arctanx，求 f(x)dx 122、设f(1) 1，2x 2x

xf(t)dt

32xx3、计算反常积分

0x2e xdx、 0dx 2x 2x 2

24、求由y x与y x 2所围的平面图形面积

参考练习：

1、计算积分 2

0xsin2xdx， xarctanxdx 01

2、计算反常积分

0xe xdx， 2 11x x5

3、求极限lim x 0 x

0x20tdt32 ， t(t sint)dt

24、求抛物线y x 4x 3及其在点 (0, -3) 和 (3, 0) 处的切线所围成图形的面积。

5、求由y sinx（0 x ）绕x轴一周所成的旋转体体积。

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第六章 微分方程

知识点：

1、基本概念

阶、通解、初值问题及特解

2、可分离变量方程及其解法

标准形式：f(x)dx g(y)dy

3、一阶线性方程及其解法（常数变易法、公式法）

标准形式：y p(x)y q(x)或x p(y)x q(y)

4、二阶常系数齐次线性方程及其解法

标准形式：y py qy 0或x px qx 0

例题：

1、求解初值问题：y (1 y2)tanx，y(0) 2。

2、求解方程：xy y x3e x

3、求特解：4y 4y y 0，y(0) 2，y (0) 0；

y 3y 4y 0，y(0) 0，y (0) 5；

y 4y 13 0，y(0) 0，y (0) 3。

参考练习：

1、y 2y y 0的通解

2、微分方程cosydx xsinydy 0的通解

3、微分方程xy ylny 0的通解

4、求微分方程y ycotx 4e

5、求微分方程y ytanx sin2x的通解

6、求解初值问题：y 3y 2y 0 ，y(0) 0，y (0) 1。

cosx的通解

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第七章 向量代数与空间解析几何

知识点：

1、向量的坐标表示与运算

2、向量的方向余弦

3、数量积与向量积概念、运算及应用（向量的夹角、平行、垂直条件）

4、平面方程的点法式、一般式；两平面平行、垂直的条件。

5、直线方程的点向式、参数式、一般式；两直线平行和垂直的条件，线面平行和垂直条件。 例题：

1、 设a (2, 3,1)，b (1, 2,3)，c (2,1,2)，向量r满足r a，r b，r c 42，

求r。

2、求经过直线

3、求过点(2,1, 5)且与直线

参考练习： x 2y 1zx 1y 2z 3 并且与直线 平行的平面方程。 21110 1x 1y 1z 垂直相交的直线方程。 32 1

1、 设a (3, 1, 2)，b (1,2, 1)，求a、b的方向余弦，a与b夹角余弦。

2、设a (2, 1, 2), b (4, -1, 10)，c b a，且a c，求 。

3、设a (2,1,2),b (4, 1,1)，求a b

2x y z 0xy 2z 3 4、求过点(1,2,1)且与两直线 和 平行的平面方程。 31 1 x y z 0

5、求过点(1,2,1)且与两平面2x y z 0和x y z 0平行的直线方程。

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第八章 多元微分学及其应用

知识点：

1、多元函数概念（二元函数定义域，几何意义，极限与连续）

2、偏导数与全微分

连续、偏导数存在、可微性三者的关系

偏导数、全微分的计算

3、复合函数偏导数的计算

4、隐函数求导方法

5、几何应用

空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线。

6、多元函数的极值

极值的必要条件（驻点），极值的充分条件。

例题：

y 1、求u 的全微分du； x

z u u u z zx2、 求偏导数：设u f(xy,)，求 、、； 设 ey，求,。 x x y z x yz

3

4、求z 6xy x y的极值。

参考练习：

1、设u sin(x y2 ez)，求33zz a。 u u u、、。 x y z

2、z ln(u v)，u sinxy，v 2x 3y。求2 z z、。 x y

xy w w w,,3、设w f(,)，求。 yz x y z

4、设e xyz 0，求z z z 。 x y

z 2z5、设z z(x,y)由方程x y z e所确定，求 x y

6、求曲面x 2y 3z 21的切平面，使它平行于平面x 4y 6z 0。 223

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37、求出曲线x t、y t2、 z t的点，使在该点处的切线平行于平面x 2y z 4。

第九章 二重积分

知识点：

1、重积分概念与几何意义

2、重积分的计算

化重积分为累次积分，交换累次积分的次序

例题：

1、

2、

3、

交换积分次序

4、

参考练习： Dxdxdy，D {(x,y)1 y x,2 x 3} ylnx cos(x y)dxdy，其中D由x y D 22、y x和y 0所围。 21dxx2 xf(x,y)dy， dx f(x,y)dy 11x

1、 x2e yd ，其中D是以 (0,0)，(1,1)，(0,1) 为顶点的三角形闭区域。 D2

2、计算

3、

4、交换积分次序：

2Dxyd ，其中是由抛物线y x及直线y x 2所围成的闭区域。 D Dxsinydxdy，D由直线y x、y 和x 0所围。 y 20dy 2yy2f(x,y)dx。

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第九章 无穷级数

知识点：

1、级数及其敛散性

通项、部分和，和，级数收敛的必要条件

重要级数：几何级数 aqn 当q 1时收敛，q 1时发散；

p-级数 1 np 当p 1时收敛，p 1时发散。

2、正项级数审敛法

比较法及其极限形式（P.189、191），比值法（极限形式P.192），极限法（定阶P.194）

3、交错级数审敛法

通项的绝对值单调减少并且趋于0。

4、一般项级数的绝对收敛与条件收敛

理解概念，注意讨论方法

5、幂级数的收敛半径和收敛区间

收敛半径的计算，收敛区间与收敛域的确定。

6、幂级数和函数的计算

逐项积分、逐项微分性质的应用

7、函数的幂级数展开

五个基本展开式、逐项积分、逐项微分性质的应用。

例题：

1、讨论级数的敛散性

3nn!sinn

n2 cosn， sin nn

2n(x 2)n

(x 1)n的收敛域。 2、求 ， nnn3 23n

4、 求幂级数

5、

5、 求2n 12nx 的收敛域与和函数。 n 12n 0 x

0e tdt的马克劳林展开式。 2

6、

参考练习：

1、求无穷级数1111 ...... ......的和。 2612n(n 1)

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( 1)n

2、求无穷级数 的和 n5n 1

3、判断

n 0 n 1n3 3、n 1的敛散性（说明理由）。 3n n 4n 0

11n

4、求幂级数 2x、 (x 4)n的收敛半径和收敛区间

n 1nn 1n2 3

nx2x3

n 1x ...... ( 1) ......的收敛域。 6、 求幂级数x 23n

x2x3xn

...... ......的收敛域。 7、 求幂级数x 2!3!n!

8、 讨论的收敛性（是否收敛？绝对收敛还是条件收敛？）：

11n、 ( 1)2 ( 1)ln n 1n 0n 6n 4n 0n

11( 1)n 1

...... ......是条件收敛的。 9、 证明级数1 2n

10、

11、 求将函数f(x) 1分别展开成关于展开成x和(x 2)的幂级数。 x2 8x 151x、xe的麦克劳林展开式（即展开成关于x的幂级数）。 2x 4x 3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ifci.html