第三章 三角函数、解三角形

第三章 三角函数、解三角形 (时间：120分钟 满分：150分)

一、 选择题(每小题5分，共60分) 1. 计算：cos 330°＝(C) 11A. B. － 22C.

33 D. － 22

3

. 2

解析 cos 330°＝cos(360°－330°)＝cos 30°＝

2. (2016·江南十校联考)已知函数f(x)＝cos x，则它可以由 y＝f ′(x)的图象按下列哪种变换得到(A)

ππ

A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位

22ππ

C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

33

π

x－?＝cos x，故选A. 解析 y＝f ′(x)＝－sin x，－sin??2?3. 半径为a cm、圆心角为60°的扇形的弧长为(A) πaπa2

A. cm B. cm

332πa2πa2

C. cm D. cm

33

ππ解析 60°角转化为弧度制为，则l＝a cm.

33

cos 40°

4. (2015·重庆巴蜀中学模拟)化简＝(C)

cos 25°1－sin 40°A. 1 B. 3 C. 2 D. 2

cos220°－sin220°cos 20°＋sin 20°2cos 25°

解析 原式＝＝＝＝2，故选C.

cos 25°cos 25°cos 25°（cos 20°－sin 20°）ππ

－，?上单调递增，则ω的最大值等于(B) 5. 若函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间??34?23

A. B. 32

C. 2 D. 3

解析 设函数f(x)＝2sin ωx的最小正周期为T，

πππT

－，?上单调递增，则有－≥－，即∴要使函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间??34?344π

T≥，

3

2π4π∴T＝≥，

ω3

3

解得ω≤，

23

∴ω的最大值等于.

2

6. (2016·湖南师大附中月考)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则1－cos2α

的值等于(D)

cos α

A. 2 B. －2 C. －2或2 D. 0

解析 ∵角α的终边落在直线x＋y＝0上，∴角α为第二或第四象限角．∵

sin α1－sin2αsin α

＋

1－sin2α

1－cos2αsin α|sin α|sin αsin α＋＝＋，∴当角α为第二象限角时，原式＝－＋＝0；当角α

cos α|cos α|cos αcos αcos α为第四象限角时，原式＝

sin α－sin α

＋＝0.综上可知，原式＝0，故选D. cos αcos α

3π

”是“x＝2kπ＋(k∈Z)”成立的(B) 36

7. (2015·黄山质检)“tan x＝A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 解析 若tan x＝3ππ

，则x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋π＋(k∈Z)，充分性不成立；若x366

π3

＝2kπ＋(k∈Z)，则一定有 tan x＝，必要性成立，故选B.

63

π3

8. 在△ABC中，A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为(A)

32A. 1 B. 3

C. 2 D. 2 解析 由题意知

1133

S△ABC＝×AB×AC×sin A＝×2×AC×＝，

2222

∴AC＝1.

9. (2015·濮阳期末)在△ABC中，a，b，c为其三边，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则角A＝(C)

A. 60°或120° B. 60° C. 120° D. 150°

解析 在△ABC中，∵(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，∴a2＝b2＋c2＋bc，利用余弦定理可得b2＋c2－a21

cos A＝＝－，又A是三角形内角，∴A＝120°.

2bc2

310. (2014·中山模拟)已知角A为△ABC的内角，且sin 2A＝－，则sin A－cos A

4＝(A)

A.

77 B. － 22

11C. － D. 22

解析 ∵A为△ABC的内角， 3

且sin 2A＝2sin Acos A＝－＜0，

4∴sin A＞0，cos A＜0， ∴sin A－cos A＞0.

7

又(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝，

4∴sin A－cos A＝

7. 2

11. (2015·广州调研)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋π1

A>0，ω>0，0<φ

A. －5安 B. 5安 C. 53安 D. 10安

T4112π解析 由图象知A＝10，＝－＝，∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋

2300300100T11ππ

，10?为五点作图法中的第二个点，∴100π×＋φ＝，∴φ＝， φ)，又??300?30026

π1

100πt＋?，当t＝秒时，I＝－5安． ∴I＝10sin?6??100

3π?π

12. 当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f??4－x?是(C) 4π?A. 奇函数且图象关于点??2，0?对称 B. 偶函数且图象关于点(π，0)对称 π

C. 奇函数且图象关于直线x＝对称

2π?

D. 偶函数且图象关于点??2，0?对称

πππ

解析 当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，

4423π

k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z,

4

3π

x－＋2kπ?(A＞0)， ∴f(x)＝Asin?4??

3π?3π3π

－x＝Asin?－x－＋2kπ?＝－Asin x， ∴y＝f?4?4??4?π

∴函数为奇函数且图象关于直线x＝对称．

2二、 填空题(每小题5分，共20分)

sin Acos B

13. 在△ABC中，若＝，则B的值为__45°__．

absin Acos Bsin B

解析 由正弦定理，得＝＝，

abb∴sin B＝cos B，又0°

∴B＝45°.

πsin 2x30，?，则函数y＝14. (2015·衡阳八中月考)设x∈?的最大值为____． 2?2?32sinx＋1πsin 2x2sin xcos x2tan x

0，?，∴tan x>0，函数y＝解析 ∵x∈?＝＝222＝?2?2sinx＋13sinx＋cosx3tan2x＋12

123

3tan x＋

tan x

≤2＝333，当且仅当tan x＝时等号成立，故最大值为. 333

π?ππ

＋x－3cos 2x－1，x∈?，?，则f(x)的最小值为__1__． 15. f(x)＝2sin2??4??42?π?

解析 f(x)＝2sin2??4＋x?－3cos 2x－1 π?＝1－cos 2??4＋x?－3cos 2x－1 π?＝－cos??2＋2x?－3cos 2x ＝sin 2x－3cos 2x π

2x－?， ＝2sin?3??

ππππ2π

∵≤x≤，∴≤2x－≤， 42633π1

2x－?≤1， ∴≤sin?3??2

π

2x－?≤2，即1≤f(x)≤2， ∴1≤2sin?3??∴f(x)的最小值为1.

π?x

－x－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为16. (2015·湖北高考)函数f(x)＝4cos2cos?2?2?__2__．

π?x

－x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋解析 ∵f(x)＝4cos2cos?2?2?1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，

∴函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数，函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，∴函数f(x)有2个零

点．

三、 解答题(共70分)

π?

－xsin x－3cos2x. 17. (10分)(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝sin??2?(1)求f(x)的最小正周期和最大值； π2π?

(2)讨论f(x)在??6，3?上的单调性．

π?313

－xsin x－3cos2x＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 解析 (1)f(x)＝sin??2?2222x－

π33

2x－?－，(4分) ＝sin?3?2?2

2－3

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(5分)

2

π2π?ππππ5π

，时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时， f(x)单调递(2)当x∈??63?332612增，(7分)

ππ5π2π

当≤2x－≤π，即≤x≤时， f(x)单调递减．(9分) 23123

π5π?5π2π

，上单调递增；在?，?上单调递减．(10分) 综上可知， f(x)在??612??123?

π

18. (12分)(2015·广州月考)已知函数f(x)＝sin x＋acos x(x∈R)，是函数f(x)的一个零

4点．

(1)求a的值，并求函数f(x)的单调递增区间；

ππ10?β＋3π?＝35，求sin(α＋β)的值． 0，?，且f ?α＋?＝(2)若α，β∈?， f 4??2??4?5?5π

解析 (1)∵是函数f(x)的一个零点，

4π?ππ∴f ?＝sin ＋acos ＝0，∴a＝－1.(2分) ?4?44∴f(x)＝sin x－cos x＝2?π

x－?.(4分) ＝2sin??4?πππ

由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z,

242π3π

得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z,

44

22?sin x－cos x

2?2?

π3π

2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)．(6分) ∴函数f(x)的单调递增区间是?44??π10105

α＋?＝(2)∵f ?，∴2sin α＝，∴sin α＝.(7分) ?4?555π250，?，∴cos α＝1－sin2α＝∵α∈?.(8分) ?2?53π35?β＋π?＝35， β＋?＝∵f ?，∴2sin4???2?55310∴cos β＝.(10分)

10

π100，?，∴sin β＝1－cos2β＝∵β∈?. ?2?10∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝

531025102

×＋×＝.(12分) 5105102

A

3Acos x，cos 2x?(A＞0)，函数f(x)＝m·19. (12分)已知向量m＝(sin x，1)，n＝?n的2??最大值为6.

(1)求A；

π

(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来125π1

0，?上的值域． 的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在??24?2

πA3A

2x＋?， 解析 (1)∵f(x)＝m·n＝3Asin xcos x＋cos 2x＝Asin 2x＋cos 2x＝Asin?6??222又f(x)的最大值为6，

∴A＝6.(4分)

(2)函数y＝f(x)的图象向左平移

πππ

x＋?＋?，即y＝个单位得到函数y＝6sin?2?12??12?6?π1

2x＋?的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数6sin?3??2π

4x＋?的图象．(8分) g(x)＝6sin?3??

5ππ1ππ7π

0，?时，4x＋∈?，?，sin?4x＋?∈?－，1?，g(x)∈[－3，6]． 当x∈?3??2??24??3?36?5π

0，?上的值域为[－3，6]．(12分) 故函数g(x)在??24?

20. (12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海

里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．

解析 (1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. ∴BC＝28海里．(4分)

BC

∴渔船甲的速度为＝14(海里/小时)．(6分)

2

(2)在△ABC中，∵AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得

ABBC

＝. sin αsin 120°

312×233ABsin 120°

即sin α＝＝＝.(12分)

BC2814

π

x＋?. 21. (12分)(2015·山东高考)设f(x)＝sin xcos x－cos2??4?(1)求f(x)的单调区间；

A?

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 f ??2?＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．

sin 2x解析 (1)由题意知f(x)＝－

2

π2x＋?1＋cos?2??

2

sin 2x1－sin 2x1

＝－＝sin 2x－.(2分)

222

ππππ

由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；

2244π3ππ3π

由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.(4分) 2244

πππ3π

－＋kπ，＋kπ?(k∈Z)；单调递减区间是?＋kπ，＋kπ?∴f(x)的单调递增区间是?44?4??4?(k∈Z)．(6分)

A?11

(2)由f ?＝sin A－＝0，得sin A＝， ?2?22由题意知A为锐角，∴cos A＝

3

.(8分) 2

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc， 即bc≤2＋3，且当b＝c时等号成立．(10分) 2＋31

因此bcsin A≤.

24

2＋3∴△ABC面积的最大值为.(12分)

4

ωx

22. (12分)(2015·张掖诊断)已知f(x)＝3sin ωx－2sin2(ω>0)的最小正周期为3π.

2π3π?(1)当x∈??2，4?时，求函数f(x)的最小值；

(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cos B＋cos(A－C)，求sin A的值． π

ωx＋?－1， 解析 ∵f(x)＝3sin ωx＋cos ωx－1＝2sin?6??2π2

由＝3π，得ω＝，(2分) ω32π?∴f(x)＝2sin??3x＋6?－1.(3分) π3ππ2π2π(1)由≤x≤得≤x＋≤，

242363

2π?33

x＋＝时， f(x)min＝2×－1＝3－1.(5分) ∴当sin??36?222π2π

C＋?－1及f(C)＝1，得sin?C＋?＝1， (2)由f(C)＝2sin??36??36?π2π5π2πππ

又

π

在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sin2B＝cos B＋cos(A－C)，

2∴2cos2 A－sin A－sin A＝0，(9分)

－1±5

∴sin2 A＋sin A－1＝0，解得sin A＝.(11分)

2∵0

5－1

.(12分) 2

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