2015年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析

手工修正,答案与题目分开

2015年湖南省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分）（2015 湖南）已知

=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ）

4．（5分）（2015 湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（ ）

6．（5分）（2015 湖南）已知（

﹣

）的展开式中含x

5

的项的系数为30，则a=（ ）

线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）

2

附“若X﹣N=（μ，a），则 P（μ﹣ ＜X≤μ+ ）=0.6826． p（μ﹣2 ＜X≤μ+2 ）=0.9544． 8．（5分）（2015 湖南）已知A，B，C在圆x+y=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（ ）

手工修正,答案与题目分开

9．（5分）（2015 湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得

，则φ=

到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（

）

二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2015 湖南）

（x﹣1）dx=．

12．（5分）（2015 湖南）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示． 若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统 抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151] 上的运动员人数

是 ．

13．（5分）（2015 湖南）设F是双曲线C：

﹣

=1的一个焦点．若C上存在点P，使

线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 ． 14．（5分）（2015 湖南）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an= ．

15．（5分）（2015 湖南）已知函数f（x）=

若存在实数b，使函数g（x）=f（x）

﹣b有两个零点，则a的取值范围是 ．

三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲 16．（6分）（2015 湖南）如图，在⊙O中，相较于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相较于点F，证明： （1）∠MEN+∠NOM=180°

手工修正,答案与题目分开

（2）FE FN=FM FO．

选修4-4：坐标系与方程

17．（6分）（2015 湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA| |MB|的值．

选修4-5：不等式选讲

18．（2015 湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：

（ⅰ）a+b≥2；

22

（ⅱ）a+a＜2与b+b＜2不可能同时成立． 19．（2015 湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

手工修正,答案与题目分开

（Ⅰ）证明：B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 20．（2015 湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．

21．（2015 湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上． （1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；

（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．

22．（13分）（2015 湖南）已知抛物线C1：x=4y的焦点F也是椭圆C2：＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2

2

+=1（a＞b

．

手工修正,答案与题目分开

（Ⅰ）求C2的方程；

（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且

与

同向．

（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；

（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．

23．（13分）（2015 湖南）已知a＞0，函数f（x）=esinx（x∈[0，+∞]）．记xn为f（x）的

*

从小到大的第n（n∈N）个极值点．证明： （Ⅰ）数列{f（xn）}是等比数列； （Ⅱ）若a≥

，则对一切n∈N，xn＜|f（xn）|恒成立．

*

ax

手工修正,答案与题目分开

第 1 次循环，S= 第 2 次循环，S= 第 3 次循环，S=

,i=2, ,i=3, ,i=4,

此时，i>n,满足判断框的条件，结束循环，输出结果： S= 故选：B 4 解：由约束条件 作出可行域如图， = =

由图可知，最优解为 A, 联立 ，解得 C(0,﹣1) .由 解得 A(﹣2,1) ,由 ，

解得 B(1,1) ∴z=3x﹣y 的最小值为 3×(﹣2)﹣1=﹣7. 故选：A. 5、 解：函数 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ,函数的定义域为(﹣1,1) , 函数 f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x) ,所以函 数是奇函数. 排除 C,D,正确结果在 A,B,只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0 时，f (0)=0; x= 时，f( )=ln(1+ )﹣ln(1﹣ )=ln3>1,显然 f(0)<f( ) ,函数是增函 数，所以 B 错误，A 正确. 故选：A. 解：根据所给的二项式写出展开式的通项， Tr+1= = ;

6、

展开式中含 x ∴ ∴r=1,并且 故选：D. 7、 ,

的项的系数为 30,

,解得 a=﹣6.

解：由题意 P(0<X≤1)= ×0.6826=0.3413,

手工修正,答案与题目分开

∴落入阴影部分点的个数的估计值为 10000×0.3413=3413, 故选：C. 8、 解：由题意，AC 为直径，所以| 所以 B 为(﹣1,0)时，|4+ 所以| 故选：B. 9、 解：因为将函数 f(x)=sin2x 的周期为 π,函数的图象向右平移 φ(0<φ< )个单 |≤7. |=|2 + |=|4+ |.

|的最大值为 7.

位后得到函数 g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2 的可知，两个函数的最 大值与最小值的差为 2,有|x1﹣x2|min= 不妨 x1= 此时 φ= x1= φ= ,x2= ,x2= ,即 g(x)在 x2= , ,取得最小值，sin(2× ﹣2φ)=﹣1,

,不合题意， ,即 g(x)在 x2= ,取得最大值，sin(2× ﹣2φ)=1,此时

,满足题意.

故选：D. 10、 解：根据三视图可判断其为圆锥， ∵底面半径为 1,高为 2, ∴V= ×2=

∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件， ∴此长方体底面边长为 n 的正方形，高为 x, ∴根据轴截面图得出： = 解得；n= (1﹣ ,

) ,0<x<2,

手工修正,答案与题目分开

∴长方体的体积 Ω=2(1﹣2

) x,Ω′= x ﹣4x+2,

2

2

∵,Ω′= x ﹣4x+2=0,x= ,x=2, ∴可判断(0, )单调递增， ( ,2)单调递减， Ω 最大值=2(1﹣ )×

=2

,

∴原工件材料的利用率为

=

×

=

,

故选：A 11、 解： (x﹣1)dx=( ﹣x)| =0;

故答案为：0. 12、 解：根据茎叶图中的数据，得； 成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 20, 用系统抽样方法从 35 人中抽取 7 人， 成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取 7× =4(人) .

故答案为：4. 13、 解：设 F(c,0) ,P(m,n) , (m<0) , 设 PF 的中点为 M(0,b) , 即有 m=﹣c,n=2b, 将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得， ﹣ =1,

可得 e =

2

=5,

解得 e= . 故答案为： . 14、 解：设等比数列的公比为 q,Sn 为等比数列{an}的前 n 项和， 若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列， 可得 4S2=S3+3S1,a1=1, 2 即 4(1+q)=1+q+q +3,q=3. n﹣1 ∴an=3 . n﹣1 故答案为：3 . 15、 解：∵g(x)=f(x)﹣b 有两个零点， ∴f(x)=b 有两个零点，即 y=f(x)与 y=b 的图象有两个交 3 2 点，由 x =x 可得，x=0 或 x=18

手工修正,答案与题目分开

①当 a>1 时，函数 f(x)的图象如图所示，此时存在 b,满 足题意，故 a>1 满足题意 ②当 a=1 时，由于函数 f(x)在定义域 R 上单调递增，故不 符合题意③当 0<a<1 时，函数 f(x)单调递增，故不符合 题意 ④a=0 时，f(x)单调递增，故不符合题意 ⑤当 a<0 时，函数 y=f(x)的图象如图所示，此时存在 b 使得，y=f(x)与 y=b 有两个交点 综上可得，a<0 或 a>1 故答案为：{a|a<0 或 a>1} 16、 证明： (1)∵N 为 CD 的中点， ∴ON⊥CD, ∵M 为 AB 的中点， ∴OM⊥AB, 在四边形 OMEN 中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°, ∴O,M,E,N 四点共圆， ∴∠MEN+∠NOM=180° (2)在△ FEM 与△ FON 中，∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°, ∴△FEM∽△FON, ∴ =2 2 2 2 2

∴FE FN=FM FO. 17、 解： (1) ∵ρ=2cosθ, ∴ρ =2ρcosθ, ∴x +y =2x, 故它的直角坐标方程为 (x﹣1) +y =1;

(2)直线 l:

(t 为参数) ,普通方程为

, (5,

)在直

线 l 上， 2 2 过点 M 作圆的切线，切点为 T,则|MT| =(5﹣1) +3﹣1=18, 2 由切割线定理，可得|MT| =|MA| |MB|=18. 18、 证明： (ⅰ)由 a>0,b>0, 则 a+b= + = ,

由于 a+b>0,则 ab=1, 即有 a+b≥2 =2, 当且仅当 a=b 取得等号. 则 a+b≥2; 2 2 (ⅱ)假设 a +a<2 与 b +b<2 可能同时成立. 2 由 a +a<2 及 a>0,可得 0<a<1, 2 由 b +b<2 及 b>0,可得 0<b<1, 这与 ab=1 矛盾. 2 2 a +a<2 与 b +b<2 不可能同时成立. 19、 解： (Ⅰ)由 a=btanA 和正弦定理可得 = = ,

手工修正,答案与题目分开

∴sinB=cosA,即 sinB=sin( 又 B 为钝角，∴ ∴B= +A∈( ;

+A) ,π) ,

+A,∴B﹣A=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C=π﹣(A+B)=π﹣(A+ ∴A∈(0, ) ,∴sinA+sinC=sinA+sin(2

+A)= ﹣2A)

﹣2A>0,

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin A =﹣

2(sinA﹣ ) + , ∵A∈(0, ) ,∴0<sinA< ,2 2

∴由二次函数可知

<﹣2(sinA﹣ ) + ≤ , ]

∴sinA+sinC 的取值范围为(

20、 解： (1)记事件 A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件 A2={从乙箱中摸出一个球是 红球},事件 B1={顾客抽奖 1 次获一等奖},事件 A2={顾客抽奖 1 次获二等奖},事件 C={顾客抽奖 1 次能获奖},由题意 A1,A2 相互独立， 互斥，且 B1=A1A2,B2= = = + , 互斥，B1,B2 ,P(A2) )+P( )

,C=B1+B2,因为 P(A1)= = ,P(B2)=P( = .

,所以，P(B1)=P(A1)P(A2)= +

= ,故

所求概率为：P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=

(2)顾客抽奖 1 次可视为 3 次独立重复试验，由(1)可知，顾客抽奖 1 次获一等奖 的概率为： P (X=1) = = 故 X 的分布列为： X 0 P E(X)=3× = . = . 所以. X~B = . 于是， P (X=0) = , P (X=2) = = = ,

, P (X=3)

1

2

3

手工修正,答案与题目分开

21、 解：根据已知条件知 AB,AD,AA1 三直线两两垂直，所以分别以这三直线为 x,y, z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： A(0,0,0) ,B(6,0,0) ,D(0,6,0) ,A1(0,0,6) ,B1(3,0,6) ,D1(0, 3,6) ; Q 在棱 BC 上，设 Q(6,y1,0) ,0≤y1≤6; ∴(1)证明：若 P 是 DD1 的中点，则 P ∴ ∴ ∴ ; ; , ; ;

∴AB1⊥PQ; (2)设 P(0,y2,z2) ,y2,z2∈[0,6],P 在棱 DD1 上； ∴ ,0≤λ≤1;

∴(0,y2﹣6,z2)=λ(0,﹣3,6) ; ∴ ;

∴z2=12﹣2y2; ∴P(0,y2,12﹣2y2) ; ∴ 平面 ABB1A1 的一个法向量为 ∵PQ∥平面 ABB1A1; ∴ =6(y1﹣y2)=0; ; ;

∴y1=y2; ∴Q(6,y2,0) ; 设平面 PQD 的法向量为 ，则：

;

∴

,取 z=1,则

;

又平面 AQD 的一个法向量为

;

手工修正,答案与题目分开

又二面角 P﹣QD﹣A 的余弦值为 ；

∴

;

解得 y2=4,或 y2=8(舍去) ; ∴P(0,4,4) ; ∴三棱锥 P﹣ADQ 的高为 4,且 ∴V 四面体 ADPQ=V 三棱锥 P﹣ADQ=2

; .

22、 解： (Ⅰ)抛物线 C1:x =4y 的焦点 F 的坐标为(0,1) ,因为 F 也是椭圆 C2 的一个 焦点， 2 2 ∴a ﹣b =1,①, 2 又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 ,C1 与 C2 的都关于 y 轴对称，且 C1 的方程为 x =4y, 由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为(± 所以 =1,②,2 2

, ) ,

联立①②得 a =9,b =8, 故 C2 的方程为 + =1.

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,A(x4,y4) , (ⅰ)因为 所以 = , 与 同向，且|AC|=|BD|,

从而 x3﹣x1=x4﹣x2,即 x1﹣x2=x3﹣x4,于是 2 2 (x1+x2) ﹣4x1x2=(x3+x4) ﹣4x3x4,③ 设直线的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1, 由 ，得 x ﹣4kx﹣4=0,而 x1,x2 是这个方程的两根，2

所以 x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④ 由 ，得(9+8k )x +16kx﹣64=0,而 x3

,x4 是这个方程的两根，2 2

所以 x3+x4=

,x3x4=﹣

,⑤

手工修正,答案与题目分开

将④⑤代入③,得 16(k +1)=

2

+

,

即 16(k +1)= 所以(9+8k ) =16×9, 解得 k=±2 2 2

2

,

.

(ⅱ)由 x =4y 得 y′= x, 所以 C1 在点 A 处的切线方程为 y﹣y1= x1(x﹣x1) , 即 y= x1x﹣ x1 , 令 y=0,得 x= x1, M( x1,0) , 所以 而 于是 =( x1,﹣1) , =(x1,y1﹣1) , = x1 ﹣y1+1= x1 +1>0,2 2 2

因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM 是钝角， 故直线 l 绕点 F 旋转时，△ MFD 总是钝角三角形. 23、 证明： (Ⅰ)f′(x)=e (asinx+cosx)= tanφ= ,0<φ< ,* ax

e sin(x+φ) ,

ax

令 f′(x)=0,由 x≥0,x+φ=mπ,即 x=mπ﹣φ,m∈N , 对 k∈N,若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π﹣φ<x<(2k+2)π﹣φ, 则 f′(x)<0,因此在( (m﹣1)π,mπ﹣φ)和(mπ﹣φ,mπ)上 f′(x)符号总相 反. 于是当 x=nπ﹣φ,n∈N ,f(x)取得极值，所以 xn=nπ﹣φ,n∈N , a(nπ﹣φ) n+1 a(nπ﹣φ) 此时 f(xn)=e sin(nπ﹣φ)=(﹣1) e sinφ, 易知 f(xn)≠0,而 常数， 故数列{f(xn)}是首项为 f(x1)=ea(π﹣φ) * *

=

=﹣e 是

aπ

sinφ,公比为﹣e 的等比数列；

aπ

手工修正,答案与题目分开

(Ⅱ)由 sinφ=

,可得对一切 n∈N ,xn<|f(xn)|恒成立.

*

即为 nπ﹣φ<

e

a(nπ﹣φ)

恒成立

<

,①

设 g(t)=

(t>0) ,g′(t)=

,

当 0<t<1 时，g′(t)<0,g(t)递减，当 t>1 时，g′(t)>0,g(t)递增. t=1 时，g(t)取得最小值，且为 e. 因此要使①恒成立，只需 <g(1)=e,

只需 a>

,当 a=

,tanφ= =

,且 0<φ<

,

可得

<φ< ,*

,于是 π﹣φ<

<

,且当 n≥2 时，nπ﹣φ≥2π﹣φ>

>

因此对 n∈N ,axn= 故①亦恒成立. 综上可得，若 a≥

≠1,即有 g(axn)>g(1)=e=

,

,则对一切 n∈N ,xn<|f(xn)|恒成立.

*

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/if44.html