北师大实验中学2011-2012初三上数学期中考试试卷及答案详解（清

北京师范大学附属实验中学2011－2012学年度初三第一学期期中试卷及答案

北京师范大学附属实验中学2011－2012学年度第一学期

初三年级数学期中试卷及答案

一． 选择题（共8小题，每小题4分，共32分）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把正确结论的代号涂在机读卡上．

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）

2.如图1，在4×4的正方形网格中，tanα的值等于 （B）

A．1525 B．2 C． D． 255

图1 图2

3.如图2，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（B）

A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°

2

4.抛物线y＝－(x＋2)－3的顶点坐标是D A．（2，－3） B. （－2，3） C. （2，3） D. （－2，－3） 5.已知相交两圆的半径分别是4和7，则它们的圆心距可能是（C） A.2 B. 3 C. 6 D. 11

6. 如图3，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的值为（B） A.9 B.6 C.3 D.4

7.关于x的一元二次方程x2?(m?2)x?m?1?0有两个相等的实数根，则m的值是（D）

A．0

B．8

C．4?2

D．0或8

8.二次函数y?ax2?bx?c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所

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示： x y …… …… 0 4 1 1 2 0 3 1 4 4 …… …… 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1?x1?2, 3?x2?4时，y1与y2的大小关系正确的是（B）

A．y1?y2 B． y1?y2 C． y1?y2 D． y1?y2 二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）

9. 在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度 是 2? 。

10. 将抛物线y＝x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单 位，则平移后的抛物线的解析式为 .

y?(x?1)2?2

ACDBO11．如图4，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，

交AB于点D，交⊙O于点C，则CD= 2 . 图4

12. 如图5-1 ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图5-2中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2，如图5-3 中阴影部分；如此下去…………..，则正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2的面积为 ，正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积

11为 . ；n（各2分）

164

B D C F A E F A A1 F1 B1 D1 D E1 C1 E F F1 B1 A A1 F2 B2 A2 D2 E E 12E C2 C B C1 D1 D 图5-3

C 三、 解答题（本题共30分，每小题5分） 图5-1

图5-2

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2cos30??2sin45??tan60?32?2??3...............3分13.计算： 22?3?1?3...................1分?2??1....................................1分⌒上一点，14. 如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧 BC连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°.

（1）求∠AOC的度数；

（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积.

（1）∵弦BC垂直于半径OA，

DOBEA

⌒ ＝ ⌒ 222222222 1分 ∴BE＝CE， ABAC又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝60°. 222 2分

C12（2）∵BC＝6，∴CE?BC?3. 在Rt△OCE中，OC?CE?23. sin60?∴OE?OC2?CE2?4?3?9?3 22222222 3分

⌒ ＝ ⌒ 连接OB. ∵ ABAC∴∠BOC＝2∠AOC＝120° 22222222222 4分

∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC

＝

1201???(23)2??6?3＝4??33 3602 5分

15. 已知二次函数的解析式是y?x2?2x?3.

（1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；???2分 （2）当x为何值时，函数值y=0？???????1分

（3）当-3

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16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形。在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(?1，?1)。

（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并直接写出点B1的坐标为 ；???2分

（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并直接写出点B2的坐标为 ；???2分 （3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△AB3C3???1分

17. 汽车产业是某市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2009年该市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2011年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2009年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2012年的年产量为多少万辆？

设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x，由题意得

6.4(1?x)2?10

BOCxAy22222222222222222222 2分

解之，得x1?0.25，　x2??2.25.

∵x2??2.25?0，故舍去，∴x＝0.25＝25%. 2222222 4分

103（1＋25%）＝12.5 2222222222222222 5分

答：2012年的年产量为12.5万辆.

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1，以点C为圆心， 2CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E． （1）求AE的长度；

（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想 18. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝

∠EAG的大小，并说明理由．

FGAEBDC

解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝12得 AC＝12?(12)2＝52 ∵BC＝CD，AE＝AD

∴AE＝AC－AD＝5?12．????2分

（2）∠EAG＝36°，理由如下：

∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝AG=5?12???1分

∴△AEG∽△FEA ∴AEFE?GEAE＝5?12

∴GE=3?52∴FG=FE-GE=5?12

∴△AFG是等腰三角形????????1分

设∠F＝x°，则∠AEF＝∠AGE =2x°=(180-x)/2 ∴x=36,即∠F＝36°

∴∠EAG＝36°．?????????1分

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四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19. 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，

底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732）

C30°B

过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G. ?????1分 CF30°DE60°ABDEG60°A

1

在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC2sin30°= 303 =15??1分

2在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB2sin60°= 403

3

= 203. 2

?????1分

∴CE=CF+FD+DE=15+203+2=17+203≈51.64≈51.6（cm）??2分 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm.

20. 如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．

(1)求证：BE是⊙O的切线；

(2)若OA=10，BC=16，求BE的长．

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CDAOBE

证明：⑴∵AB是半圆O的直径 ∴∠ACB=90°

∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90° 又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90° ∵AB是半圆O的直径 ∴BE是⊙O的切线??????2分

⑵在Rt?ABC中，AB=2OA=20，BC=16，∴AC?AB2?BC2?202?162?12

???1分

∴tanA?43BC164BE4?? ∴tan?BOE????????1分 AC123OB34313

∴BE?OB??10?13．???????????1分

21．抛物线y?ax2与直线y?x?3交于点A(1，b)． （1）求a，b的值；

（2）设直线y?x?3与抛物线y?ax2的另一个交点为B，与x轴的交点为C，求CA：CB的值．

（1） b=-2,a=-2;?????2分 （2） 39B(?,?),C(3,0),A(1,?2)????1分 22由相似可知， 4CA/CB?yA/yB? ????2分

9

22.如图，已知△ABC是面积为3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，开始时△ADE的AD、AE边分别与△ABC的AB、AC边叠合，现将△ADE绕点A按

逆时针方向旋转45°，AC与DE相交于点F。 （1）求△ABC的边长；

（2）求△AEF的面积（结果保留根号）.

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（1） 边长为2 ????2分

（2）在△AEF中，AE=1，∠E=60°，∠EAF=45°。

过F做FH⊥EA于H，设FH=x，则AH=x，EH=1-x,???1分 得

x?tan60??31?x3?33?3?x?,?S? ???2分 ?AEF24五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． （3）在（2）的条件下，若有P(n,y1),Q(2,y2)两点在抛物线上,且y1?y2,求实数n

的取值范围. 解：⑴当x=0时，y?1．

所以不论m为何值，函数y?mx2?6x?1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）．

??????2分

⑵①当m?0时，函数y??6x?1的图象与x轴只有一个交点；

②当m?0时，若函数y?mx2?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2?6x?1?0有两个相等的实数根，所以(?6)2?4m?0，m?9． 综上，若函数y?mx2?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．

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???????????2分

1（3）当x?时,y随x的增大而增大，??????????1分

31当n?时,?y1?y2,?n?2.

31221当n?时,P(n,y1)的对称点坐标为(?n,y1),且?n?,

3333244?y1?y2,??n?2,?n??. 综上所述:n?2或n??.????2分

333

24.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为直线x＝2．

（1）求该抛物线的解析式以及抛物线与x轴另一个交点A的坐标。

（2）点D在线段AB上，且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度，若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由． 解：（1）方法一：∵抛物线过点C（0，－6）

2

∴c＝－6，即y＝ax＋bx－6

?b??2,11由?解得：a?，b?? ?2a164?144a?12b?6?0?∴该抛物线的解析式为y?121x?x?6 164方法二：∵A、B关于x＝2对称 ∴A（－8，0） 设y＝a(x＋8)(x－12)

C在抛物线上，∴－6＝a383(?12)，即a＝

y?1∴该抛物线解析式为：16121x?x?6??????????????2分 164（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，AC＝82?62＝10＝AD∴点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：显然∠PDC＝∠QDC，由已知∠PDC＝∠ACD

∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC DB＝AB－AD＝20－10＝10∴DQ为△ABC的中位线

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∴DQ＝AC＝5 AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5∴t＝5÷1＝5（秒）∴存在

12t＝5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分在Rt△BOC中，BC＝62?122＝65∴CQ＝35∴点Q的运动速度为每秒35单位长度．???2分 5（3）存在．如图，

过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9在Rt△PQH中，PQ＝92?32＝310 ①当MP＝MQ，即M为顶点， 设直线CD的直线方程为y＝kx＋b（k≠0），则：

??6?b?k?3，解得：∴y＝3x－6 ??b??60?2k?b??PAEFM1M2yM4ODHBQx当x＝1时，y＝－3∴M1(1，－3)

②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点，设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得：4＋y＝90，即y＝±74 ∴M2（1，74）；M3（1，－74）

2

2

CM3M5③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点．过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于F，则F（1，－3）

设直线x＝1存在点M（1，y）由勾股定理得：(y?3)2?52?90，即y＝－3±65 ∴M4（1，－3＋65）；M5（1，－3－65）综上所述，存在这样的五个点：

M1(1，－3)；M2（1，74）；M3（1，－74）；M4（1，－3＋65）；M5（1，－3－65） ????3分（5个全对得3分，对3或4个得2分，对1或2个得1分）

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25.在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q． (1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋

33PQ；

（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长．

（1）证明：??A?90?，?ABE?30?，

??AEB?60?．

?EB?ED，??EBD??EDB?30?．

?PQ∥BD，??EQP??EBD，?EPQ??EDB．

??EPQ??EQP?30?，?EQ?EP 2222222222222222 1分

过点E作EM?QP垂足为M，?PQ?2PM．

??EPM?30?，?PM?33PE，?PE?PQ 22222222222 1分 233PQ 2222222222222 1分 3A

H E M Q B

（图1） / 13 11

C

P

D

?BE?DE?PD?PE，?BE?PD?（2）解：由题意知AE?1BE，?DE?BE?2AE． 2?AD?BC?6，?AE?2，DE?BE?4 当点P在线段ED上时（如图1）

11过点Q作QH?AD于点H，QH?PQ?x

22北京师范大学附属实验中学2011－2012学年度初三第一学期期中试卷及答案

由（1）得PD?BE?33PQ?4?x， 33?y?13222222222222222222222 1分 PD?QH??x?x

212当点P在线段ED的延长线上时（如图2） 过点Q作QH??DA交DA延长线于点H?，

?QH??1x． 2H? A E

D P

M?

B Q （图2）

C

过点E作EM??PQ于点M?， 同理可得EP?EQ?3PQ， 3?BE?33132QH??x?x 222 1分 PQ?PD，?PD?x?4，y?PD?21233A

Q B

F （图3） E P N

G

C D

（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）

?点P是线段ED中点，

?EP?PD?2，?PQ?23．

?DC?AB?AE?tan60??23， ?PC?PD2?DC2?4，

?cos?DPC?PD1?，??DPC?60?． PC2??QPC?180???EPQ??DPC?90? 2222222222222222 1分

?PQ∥BD，??PND??QPC?90?，?PN?QC?PQ2?PC2?27．

122222222 1分 PD?1

2??PGN?90???FPC，?PCF?90???FPC，

??PGN??PCF

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??PNG??QPC?90?，?△PNG∽△QPC．

?121PGPN?27?，?PG? 222222222222222 1分 ?3QCPQ23

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