数值分析试卷(2010-12)

数值分析（研究生，2010-12-28）

1.（10分）求函数f(x)?sinx?cosx在区间[0，1]上的最佳平方逼近多项式

?(x)?a?bx?cx2.

2．（15分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量

0??11?1?3?1?，。同时计算该矩阵的?-条件数和谱条??（要求结果有三位有效数字）??0?11??件数。

3.（15分）假定给出函数f(x)?e?xsinx的等距点函数表(?1?x?1)。若用二次抛物线插值求f(x)的近似值，要使截断误差不超过10?3，问使用函数表的步长h应取多少？

4.（15分）用Newton迭代法求方程230x4?18x3?9x2?221x?9?0在区间（0，1）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解的相对误差不超过10?2。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

5.（15分）用SOR迭代法解方程组

?3?10??x1??1??16?2??x????4? ???2?????0?38????0???x3???对于你所给定的初始值，估计精度达到10?3需要的迭代次数，并实际计算之。计算该迭代的渐进收敛速度，并估计计算结果的误差为初始误差1%需要的迭代次数。

6. （10分）应用Broyden方法解非线性方程组

?x?cosy?exy?0?sin ??1

??tan(x?y)?xy?0取[0,0]T作为初始值，终止容限??10?2。

7.（10分） 设

xi??1?f(x)?i,i?0,1,2,?,2n, n1(x?|x|). 2求(xi,f(xi))(i?0,1,2,?,2n)的最小二乘拟合g(x)?aex?be?x。

8. （10分）用复合Simpson公式计算积分 I(f)??exsin xdx01讨论在误差要求不超过10?3的条件下的步长，并比较实际计算结果与精确结果。

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