2010高考数学（文）复习题 ：概率

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2010高考数学（文）复习题 ：概率

1．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文)）在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分面积约为 A．C．

3565 B． D．

125185

2．（台州市2008学年第一学期理文）用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是 A．

12 B．

13 C．

14 D．

15

3. （2009年浙江省杭州市数学试题（文））从1,2,3,4,5,6这6个数字中, 任取2个数字相加, 其和为偶数的概率是 ______ .

4．．（浙江省嘉兴市文）设z?a?bi，a，b∈R，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则使复数z2为纯虚数的概率为 ▲ ．

5．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．

（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船 不需要等等码头

空出的概率；

（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条

船 不需要等待码头空出的概率．

6、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组?13,14)；第二组?14,15)??第五组?17,18?．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒

认为良好，求该班在这次百米测试中 成绩良好的人数；

（II）设m、n表示该班某两位同学的百米

0.160.380.32频率组距测试成绩，且已知m,n??13,14)??17,18?. 求事件“m?n?1”的概率.

O131415161718秒0.080.06 1

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7．设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A、B除外），将线段AB分成了三条线段， （1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； （2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．

8．潮州统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分

布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)）。

频率/组距0.00050.00040.00030.00020.0001月收入（元）1000150020002500300035004000

（1）求居民月收入在[3000,3500)的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用 分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？

9．元旦期间，某商场举行抽奖促销活动，现将装有编号为1，2,3，4四个小球的抽奖箱，

从中抽出一个小球，记下号码后放回抽奖箱，搅匀后再抽出一个小球，两个小球号码之和不小于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖。 (1)求中二等奖的概率； (2)求中奖的概率。

10．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：

（1）两数之和为5的概率； （2）两数中至少有一个奇数的概率；

22

（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x+y=15的内部的概率．

2

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11．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日 期 温差x（°C） 发芽数y（颗） 3月1日 10 23 3月2日 3月3日 11 25 13 30 3月4日 12 26 3月5日 8 16 ?25?m?30?25?n?30（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m,n，求事件“?的概率.

”

（2）甲，乙两位同学都发现种子的发芽率与昼夜温差近似成线性关系，给出的拟合直线分别为y?2.2x与y?2.5x?3，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)的思想”，判断哪条直线拟合程度更好.

12．已知：x+y≤8，点P的坐标为（x，y）。

2

2

（1）求当x、y∈R时，P满足|x|≤2，|y|≤2的概率。

（2）求当x、y∈Z时，P满足|x|<2，|y|<2的概率。

13．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的．．．．频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

40

(1）80~90这一组的频数、频率分别是多少？

3

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(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。（不要求写过程）

(3) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.

14．育新中学的高二、一班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组

建了一个4人的课外兴趣小组．

（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；

（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.

15．已知关于x的一元二次方程x2?2(a?2)x?b2?16?0.

（Ⅰ）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； （Ⅱ）若a?[2,6],b?[0,4]，求方程没有实根的概率.

16．已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼．为了估计池塘中这两种鱼的数量，养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000只，给每只鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池塘，经过一定时间，，再每次从池塘中随机地捕出1000只鱼，,分类记录下其中有记号的鱼的数目，随即将它们放回池塘中．这样的记录作了10次.并将记录获取的数据做成以下的茎叶图， 红鲫鱼 中国金鱼

（Ⅰ）根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金9 8 8 6 1 6 7 9 9 鱼数目的平均数，并估计池塘中的红鲫鱼与中国金3 2 2 2 0 0 2 0 0 1 2 3 3 鱼的数量;

（Ⅱ）随机地从池塘逐只有放回地捕出5只鱼，求其中至少有一只中国金鱼的概率．

4

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17．晚会上，主持人前面放着A、B两个箱子，每箱均装有3个完全相同的球，各箱的三个球分别标有号码1，2，3.现主持人从A、B两箱中各摸出一球. （Ⅰ）若用(x,y)分别表示从A、B两箱中摸出的球的号码，请写出数对(x,y)的所有情形，

并回答一共有多少种；

（Ⅱ）求所摸出的两球号码之和为5的概率；

（Ⅲ）请你猜这两球的号码之和，猜中有奖.猜什么数获奖的可能性大？说明理由. 18．（温州市部分省重点中学2009文）20．（本小题满分14分）

现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．

（Ⅰ）求C1被选中的概率；

（Ⅱ）求A1和B1不全被选中的概率．

19.（2009年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题（文））（本题14分）设集合P?{b,1}，Q?{c,1,2}，P?Q, 若b,c?{2,3,4,5,6,7,8,9}． (Ⅰ) 求b = c的概率；

（Ⅱ）求方程x?bx?c?0有实根的概率．

20．每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （1）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （2）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；

2 5

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2010高考数学（文）复习题 ：概率 答案

1答案：B 2 B 3 . 25 4.16

5、【解】（1）设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则O≤x<24，0≤y<24且y－x>4或y－x<－4

?0?x?24,?作出区域?0?y?24,

?y-x?4,或y-x??4.?4分

设“两船无需等待码头空出”为事件A，则

2?1?20?20?2536P（A）＝

224?24. 6分

（2）当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2．

8分

设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为

事件B，画出区域．

?0?x?24,? ?0?y?24,?y?x?4,或x?y?2.? 10分

1P（B）＝2?20?20?1224?24?22?22?442576?221288.12分

6、答案：解：（1）由直方图知，成绩在?14,16?内的人数为：50?0.16?50?0.38?27（人） 所以该班成绩良好的人数为27人.

（2）由直方图知，成绩在?13,14?的人数为50?0.06?3人，

A、B、C、D.

设为x、y、z；成绩在?17,18? 的人数为50?0.08若m,n??13,14)时，有xy,xz,yz3种情况；

?4人，设为

若m,n??17,18?时，有AB,AC,AD,BC,BD,CD6种情况； 若m,n分别在?13,14?和?17,18?内时， x y z A xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD 共有12种情况.所以基本事件总数为21种，事件“m?n?1”所包含的基本事件个数

6

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有12种.∴P（m?n?1）=

1221?47

7.答案：解（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：

1,1,4；1,2,3，2,2,2共3种情况，其中只有三条线段为2,2,2时能构成三角形，则

P?13．??????4分

_ y_ 6_ D_ FE __ 36 __ A构成三角形的概率

（2）设其中两条线段长度分别为

x,y，则第三条线段长

_ B_ 3度为6?x?y，则全部结果所构成的区域为:

0?x?6，

_ O_ x0?y?6，0?6?x?y?6，即为0?x?6，0?y?6，

，所表示的平面区域为三角形OAB；??6分

0?x?y?6?x?y?6?x?y??x?6?x?y?y?y?6?x?y?xx,y6?x?y若三条线段，能构成三角形，则还要满足?，即为?x?y?3??y?3?x?3?，所表示的平面区域为三角形DEF，??????????????9分

P?S?DEFS?AOB?14由几何概型知，所求的概率为 ．????????12分

8. 解：（1）月收入在[3000,3500)的频率为0.0003?(3500?3000)?0.15 。?2分 （2）?0.0002?(1500?1000)?0.1，0.0004?(2000?1500)?0.2，

0.0005?(2500?2000)?0.25，0.1?0.2?0.25?0.55?0.5 ?? 6分

所以，样本数据的中位数为2000?0.5?(0.1?0.2)0.0005；? 8分 ?2000?400?2400（元）

（3）居民月收入在[2500,3000)的频率为0.0005?(3000?2500)?0.25， 所以10000人中月收入在[2500,3000)的人数为0.25?10000?2500（人）， 再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500,3000)的应该抽取

7

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100?250010000?25人。 ???? 12分

9. 解：抽出号码对为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1) (2,2)，(2,3)，(2,4)，

(3,1)，，(3,2)，(3,3)，(3,4) ，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4) ，共16种，每个号码被抽到是等可能的。??? 3分

(1) 两个小球号码之和等于6共有(2,4)，(3,3)，(4,2)3种，故中二等奖的概率为

316 6分

(2) 中一等奖的号码对为(3,4) ，(4,3)，(4,4)；中三等奖的号码对为(1,4)，(2,3)，(3,2)，

(4,1) ? 10分 故中奖的概率为

1016?58 ? 12分

10. 解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件 1分

（1）记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，

所以P（A）=

436936836?193429；答：两数之和为5的概率为

19． 4分

（2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P（B）=1??；答：两数中至少有一个奇数的概率

2

2

34． 8分

（3）基本事件总数为36，点（x，y）在圆x+y=15的内部记为事件C，则C包含8个事件，所以P（C）=

?．答：点(x,y)在圆x+y=15的内部的概率

22

29．

11. 解：（1）m,n的取值情况有

(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16)，(30,26),

(30,16),(26,16).基本事件总数为10. ?3分

?25?m?30设“?”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26)

25?n?30?所以P(A)?310，故事件“??25?m?30?25?n?30”的概率为

310. ??7分

（2）将甲，乙所作拟合直线分别计算y的值得到下表：

x y 10 23 22 22 11 25 24.2 24.5 13 30 28.6 29.5 12 26 26.4 27 8 16 17.6 17 y?2.2x y?2.5x?3 8

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用y?2.2x作为拟合直线时，所得到的y值与y的实际值的差的平方和为

S1?(22?23)?(24.2?25)?(28.6?30)?(26.2?26)?(17.6?16)?6.32 ???9

22222分

用y?2.5x?3作为拟合直线时，所得到的y值与y的实际值的差的平方和为

S2?(22?23)?(24.5?25)?(29.5?30)?(27?26)?(17?16)?3.5 ???11分

22222由于S1?S2，故用直线y?2.5x?3的拟合效果好. ???12分

12. 解：（1）点P所在的区域为圆x+y=8的内部（含边界）满足|x|≤2，|y|≤2的点的

2

2

区域为正方形ABCD的内部（含边界）??????????????2分 ∴ 所求的概率P1=4?4?2??(22)2? ??????????????6分

2

2

（2）满足x，y∈z，且|x|<2，|y|<2的点有9个，满足x，y∈z且x+y≤8的点有25

个。????????????????????????10分 ∴ 所求的概率P2=

925。?????????????????12分

13. 解：（Ⅰ）依题意，80?90间的频率为：10×0.025=0.25 ?????2分

频数为: 40×0.25=10 ???????? ?????4分

（Ⅱ）这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数分

别是：71、75、73.3 ???????????? ?????8分

（Ⅲ）因为80?90有10人，90?100共有2人，从中任选2人，

共有12×11÷2=66种，设分在同组记为事件A，分在同一组的有 10×9÷2＋1=46种， 所以 P（A）=

4666=

2333 ???????????? ?????12分

n?4?1?某同学被抽到的概率为

14. 解：（Ⅰ）P?1m60151545x设有x名男同学，则?，?x?3?男、女同学的人数分别为3,1??????4分

604??????2分

（Ⅱ）把3名男同学和1名女同学记为a1,a2,a3,b，则选取两名同学的基本事件有

(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共12种，其中有一名女同学的有6种

9

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?选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P?6（Ⅲ）x1?2168?70?71?72?74522?71，x2?12269?70?70?72?74522?1???????????8分

?71

s?(68?71)??(74?71)5?4，s?22(69?71)??(74?71)5?3.2

?第二同学的实验更稳定?????????12分

15. 解：（Ⅰ）基本事件(a,b)共有36个，方程有正根等价于a?2?0,16?b2?0,?≥0，

即a?2,?4?b?4,(a?2)2?b2≥16。设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)?436?19；

（Ⅱ）试验的全部结果构成区域??{(a,b)2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(?)?16 设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为

B?{(a,b)2≤a≤6,0≤b≤4,(a?2)?b?16}，其面积为S(B)?2214???4?4?

2故所求的概率为P(B)?4?16??4

16. 【解】（Ⅰ）由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20，故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是x，则有

401000?2000x， ----3分 即 x?2000?100040?50000，

所以，可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000． ------------6分 （Ⅱ）从上述对总体的估计数据获知，从池塘随机捕出1只鱼，它是中国金鱼的概率为

12．随机地从池塘逐只有放回地捕出5只鱼，5只鱼都是红鲫鱼的概率是

125125，所以

其中至少有一只中国金鱼的概率P?1??3132．------12分

17. 解：（Ⅰ）数对(x,y)的所有情形为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种.答：一共有9种. ???????（4分） （Ⅱ）记“所摸出的两球号码之和为5”为事件A，则事件A包括的基本结果有： （2，3），（3，2）共2个，所以P（A）=（8分）

（Ⅲ）记“所摸出的两球号码之和为i”为事件Ai（i=2，3，4，5，6）

由（Ⅰ）中可知事件A2的基本结果为1种，事件A3的基本结果为2种，事件

A4的基本结果为3种，事件A5的基本结果为2种，事件A6的基本结果为1种，所以P(A2)?1929.答：所摸出的两球号码之和为5的概率为

29.

，P(A3)?29，P(A4)?39，P(A5)?29，P(A6)?19.

10

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故所摸出的两球号码之和为4的概率最大. 答：猜4获奖的可能性大. ???（12分） 18解：（Ⅰ）从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，

其一切可能的结果组成的基本事件空间

??{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，

(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)， (A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)， (A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，

因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“C1恰被选中”这一事件，则

M?{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1) ，(A2，B2，C1)，

(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}

事件M由9个基本事件组成，因而P(M)?918?12．??????7分

（Ⅱ）用N表示“A1,B1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“A1,B1全被选中”这一事件，由于N?{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，事件N有2个基本事件组成， 所以P(N)?218?19，由对立事件的概率公式得P(N)?1?P(N)?1?19?89．??14分

19.解：(Ⅰ) ∵P?Q, 当b?2时，c?3,4,5,6,7,8,9；

当b?2时，b?c?3,4,5,6,7,8,9．基本事件总数为14． --- 4分 其中,b = c的事件数为7种.所以b=c的概率为

12. ---- 3分

2（Ⅱ） 记“方程有实根”为事件A，若使方程有实根，则??b?4c?0，即

b?c?4,5,6,7,8,9，共6种． --- 4分∴P(A)?614?37． --- 3分

6?56?6?56.

20．解：（1）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P(A)?

（2）设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。

?向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5种，

56?6?536?P(B)?

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故所摸出的两球号码之和为4的概率最大. 答：猜4获奖的可能性大. ???（12分） 18解：（Ⅰ）从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，

其一切可能的结果组成的基本事件空间

??{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，

(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)， (A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)， (A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，

因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“C1恰被选中”这一事件，则

M?{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1) ，(A2，B2，C1)，

(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}

事件M由9个基本事件组成，因而P(M)?918?12．??????7分

（Ⅱ）用N表示“A1,B1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“A1,B1全被选中”这一事件，由于N?{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，事件N有2个基本事件组成， 所以P(N)?218?19，由对立事件的概率公式得P(N)?1?P(N)?1?19?89．??14分

19.解：(Ⅰ) ∵P?Q, 当b?2时，c?3,4,5,6,7,8,9；

当b?2时，b?c?3,4,5,6,7,8,9．基本事件总数为14． --- 4分 其中,b = c的事件数为7种.所以b=c的概率为

12. ---- 3分

2（Ⅱ） 记“方程有实根”为事件A，若使方程有实根，则??b?4c?0，即

b?c?4,5,6,7,8,9，共6种． --- 4分∴P(A)?614?37． --- 3分

6?56?6?56.

20．解：（1）设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P(A)?

（2）设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。

?向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5种，

56?6?536?P(B)?

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