华理概率论07-7-B-答案

华东理工大学2006–2007学年第二学期

《概率论与数理统计》课程考试试卷 B 2007.7

开课学院： 理学院 ，专业：大面积 ，考试形式：闭卷 ， 所需时间：120分钟 考生姓名： 学号： 班级： 任课教师：

题序 得分 评卷人 一 二 1 2 3 三 4 5 6 总分 备用数据：?(0.45)?0.6736,?(0.5)?0.6915,?(1)?0.8413t0.975(14)?2.1448,

t0.975(15)?2.1314，?20.975(14)?26.119，?20.025(14)?5.629。

一． 填空题（每个空3分，共18分）

1． 设随机变量?的分布律为

? 概率 0 0.2 1 0.4 2 0.4 其分布函数为F(x), 则F(1.3)=___________， P({?1???2}?{??1})=____________。 2． 设 A、B 为随机事件，已知P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(B|A)＝0.5，则P(AB)?_____，

P(B|A)?_____。

3． 设cov(?,?)?1,D(?)?2,D(?)?4, 则?,?的相关系数????________。

?kx2,0?x?2 4． 设函数p(x)??，当常数k=______时，p(x)成为某个连续型随机变

0,其它?量?的密度函数。

1． 0.6， 0.6。 2． 0.3, 0.25 3．

1

32 4．

84二． 选择题（每小题4分，共12分）

1．设A,B,C三个人各自独立地向一个目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.8，则目标被击中的概率为 ( )

（A） 0.90 (B) 0.96 (C) 0.63 (D) 0.72

1n 2．设总体?~N(?,?)，?,?未知，X??Xi是?的样本均值，则总体方差?2的

ni?122极大似然估计是（ ）

n2n?121n21n222SSn （A）?Xi?(X)； (B) ； （C）； （D）X?(X)?n?1in?1nni?1n?1i?1 3．设总体?~N(0,4)，（X1，X2，……，X6 ）为取自总体的样本， 则常数c=（ ）时，随机变量Y?cX1?X2?X3?X4X?X2526服从t分布。

（A）

1222 （B） (C) (D) 2824B A C

三． 计算

1．（16分）设随机变量ξ与η的联合分布律为 η ξ 0 1 已知P???1|?=1??0 1 0.1 a 0.4 2， 试求： 3b （1） 常数a, b的值；

（2） ξ，η相互独立吗？为什么？ （3） Cov(?,2?)； （4）

Z?max{?,?}的分布律。

（5） （1）由a?b?0.1?0.4?1 和2P(??1,?=1)0.4?P???1|?=1??? （2分） 3P(?=1)a?0.4 得 a=0.2, b=0.3。 （2分） （2） 因为 0.1?P(??0,?=0)?P(??0)P(?=0)?0.3?0.4?0.12 所以，不独立。 （4分） （3） cov(?,2?)?2E(??)?2E(?)E(?)

2

?? P 0 0.6 1 0.4 4 E(?)?0.7, E(??)?0.，E(?)?0.6 （3分）

所以，cov(?,2?)??0.04。 （1分） （4）P(Z?0)?P(??0,?=0)?0.1,P(Z?1)?0.9 （4分）

1?xe,???x???，求 22．（10分）已知随机变量ξ 的概率密度函数为p(x)?随机变量函数???2的密度函数p?(y)。

??P(?y???2．F?(y)?P(??y)?P(??y)??0,??2y),y?0 （4分） y?0?y1?xedx,?????y2?0,?y?0?ye?xdx,????00,y?0??y?0y?0 （4分）

?1?ye,?所以 p?(y)??2y?0,?y?0y?0 （2分）

3． （12分）6个元件装在3台仪器上，每台仪器装两个，元件的可靠性为0.5。如果一台

仪器中至少有一个元件正常工作，不需要更换，若两个元件都不工作，则要更换，每台仪器最多更换一次，更换一次的费用为100元。记X 为3台仪器需要更换元件的总次数，Y为更换的费用。求

（1） X 的分布律； （2） Y 的分布律； (3) E(Y)。 3． （1） X~B(3,0.25) （4分）

X P （2） Y P 0 27/64 100 27/64 200 9/64 300 1/64 0 27/64 1 27/64 2 9/64 3 1/64 （4分） （3） E(Y)=75. （4分）

4． （12分）从切割机切割所得的金属棒中随机抽取15根，测得长度（单位：cm）为

10.5，10.6, 10.1, 10.4, 10.5, 10.3, 10.3, 10.2, 10.9, 10.6,

10.8, 10.5, 10.7, 10.2, 10.7。

设金属棒长度?~N(?,?)，这里?,?未知。问

22 3

（1） 是否可以认为金属棒的平均长度为??10.5 （??0.05）； （2） 求?的95%的置信区间。

2

列1

平均 10.48666667

标准误差 0.060840671 中位数 10.5 众数 10.5 标准差 0.235634907 方差 0.05552381 峰度 -0.85902366 偏度 0.032309057 区域 0.8 最小值 10.1 最大值 10.9 求和 157.3 观测数 15 最大(1) 10.9 最小(1) 10.1 置信度（95.0%) 0.130490262

2

4． （1）H0 ： μ=0.5 ， σ未知，用t检验法。

??x??0n?10.4867?10.515??0.2192 （4分） Tsn?10.2356??，t0.975(14)?2.1448, |T|t0.97(1) 接受H0 。 （2分） 5422?(n?1)sn??1(n?1)sn?1,（2）?? （4分） 22?0.025???0.975?0.7770.777???,??0.0298,0.1380? （2分） ?26.1195.629??

5． （12分）设 X i 表示邮局收到的第i件邮件的重量（单位：克），X 1，X 2，……是独

10000立同分布的随机变量序列，现该邮局收到10000件邮件，则总重量为

?Xi?1i。

10000（1）若X i 服从正态分布N (20,81)，求P(?Xi?1i?200900)；

100001（1） 若X i 服从指数分布E()，求P(?Xi?200900)的近似值。

20i?1 4

100005．（1）

?Xi?1i~N(20?10000,10000?81)

?200900?200000?P(?Xi?200900)???? （4分）

900??i?1??(1)?0.8413 （2分）

（2） E(X)?20,1000010000D(X)?202

P(?i?1?200900?200000?Xi?200900)???? （4分）

20?100????(0.45)?0.6736 （2分）

6． （8分）设(X1,...,Xn)是取自总体?的一个简单随机样本，?的密度函数为

?2x?2,0?x?? p(x)????其余?0,其中?未知，?>1, （1） 试求?与P(?

（2） 讨论?的矩估计??的无偏性，并求出其方差；

2dx??0?23?，

2??3X （2分） 令X??, 得 ?32?2x121dx? 而 P(???)??，所以，的矩估计为。 （2分） P(???)0?2?3X?)?E(3X)?3E(X)?3?2???， 所以???3X是θ的无偏估计。 （2）E(?（2分）

22232?)?D(3X)?9D(X)?9D(?)， D(?244n（1） E(?)??x2x D(?)?E??E(

2?)??2?0?2x2dx????322x?212??， 故 D(?)?。 （2分） ????8n18?2 5

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