Duration&Convexity

Duration中译为久期，或持续期，是一个反应利率敏感性固定收益证券关于利率这一风险因子的一阶变动速率。从这个意义上讲，它一定与利率敏感性固定收益证券价格函数的一阶导数相联系。

Handbook中提到了三种Duration，包括：Dollar duration、Adjusted duration以及Macaulay duration，我们可以将这三种久期以一阶导数的形式表示出来（以零息债券为例）： 1. Adjusted duration（D*）

'D*??f(y)/p?T/(1?y)

2. Dollar duration（DD）

DD?D*?P??f(y)?T?P/(1?y)

3. Macaulay duration（D）

'D?D*?(1?y)?T

在学习的过程中务必注意区分三种久期与一阶导数的关系，以及它们之间的关系。

Convexity中译为凸性，实际上就是利率敏感性固定收益证券价格函数关于利率的二阶导数。

C?dPdy22?(T?1)T(1?y)2?P

Handbook要求大家会根据条件计算有效久期（Effective duration）以及有效凸性（Effective Convexity）：

DE?P??P?2P0?y

CE?[D??D?]/?y?[P(y0??y)?P0P0?y?P0?P(y0??y)P0?y]/?y

对于这两个公式，建议大家熟记，考试中会频繁使用。

上图反映的是计算有效久期的原理，其实很简单，学习过三角几何的人都应该明白。

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对于利率敏感性固定收益证券价格变动，我们按照泰勒公式，取前两阶效应即可：

?P??D??r?12C?(?r)2

注意，对于计算债券价格变动的题目，多数情况下使用DD。 泰勒公式前两阶近似效应可以从下图中看出：

注意图中三条曲线的位置，尤其是加入二阶导数效应后的曲线。由此图可以看出为什么在大多数情况下都是Convexity越大越好。同时，可能很直观的看出为什么泰勒公式的近似，由其是一阶近似只适用于较小的利率变动。

下图则是不同凸性效应的曲线：

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需要注意，对于mortgage-backed bond以及callable bond，凸性可能为负值，这时上述结论就不成立了，以callable bond为例，详见下图：

久期（Macaulay duration）除了与一阶导数的概念相联系外，还有其经济上的现实解释意义，即：等待支付完成的平均时间，由此可以推导出久期的另一个计算公式：

TD?由此可以得出几个重要的推论。 假设其他条件相同，则有： 1.Coupon越大，久期越小；

?(1?y)t?1tCtt/P

2.maturity越大，久期越大（对于zero-coupon bond，Macaulay duration等于maturity）； 3.对于永续年金consols，Macaulay duration=（1+y）/y。

以下两幅图非常重要，描述了maturity、coupon和duration之间的关系，熟记它们有助于更快的解题：

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对于凸性也有类似的经济上的现实解释意义，相应的表达式如下：

TC??(1?y)t?1t(t?1)Ctt?2/P

由于上述公式中包含一个时间的平方，所以，公式的取值在很大程度上取决于t，因此，期限较长的债权的凸性就较大，以下是图示：注意，凸性随T增加而增加的速率会因债权的coupon不同而不同，熟记下图有助于解题。

最后，对于一个portfolio，它的久期和凸性就是单个债券久期和凸性的加权平均数，很容易计算。因此，你需要掌握如何使用已有的债券（以两支债券为例）来构建一个具有指定久期的投资组合，这实际上就是解二元方程组的过程。 注意掌握两个概念：barbell portfolio和bullet portfolio。（长期+短期构成barbell portfolio，它的C大；期限差别不大的债券构成bullet portfolio，它的C相对较小）

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ie1f.html