福建省德化一中2012届最后一卷（数学理）

德化一中2012届毕业班考前适应性考试数学（理）试卷

德化一中2012届毕业班考前适应性考试

数学（理）试卷

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin225的值是（★★★）．

?A．

2 2

B． ?32 C． ?

22 D．3 2?x?1,?2．已知变量x、y满足条件?y?2, 则x?y的最小值是（★★★）．

?x?y?0,? A． 4

B． 3

C． 2

D．1

3．在递减等差数列{an}中，若a1?a5?0，则Sn取最大值时n等于（★★★）．

A． 2 B． 3 C． 4 D．2或3 4．下列命题中，真命题的个数有（★★★）．

1①?x?R,x2?x?≥0；

4

②x2?1的充分条件是x?1；

③函数y?2?x是单调递增函数；④y?x3和y?log3x互为反函数．

A． 0个 B． 1个 C． 2个 D．3个 5．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出函数的是（★★★）．

A． f(x)?x

2

B． f(x)?1 xC． f(x)?lnx?2x?6 D．f(x)?sinx

6．由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图都相同，其图形如右图所示，其中视图中四边形ABCD是边长为1的正方形，则该几何体的体积为（★★★）． A．

2 B．

22 C． 322 D． 36x2y27．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不

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含边界），若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（★★★）． A． (3,??) B． (5,??) C． (1,3) D．(1,5) 8．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（★★★）． ．．A． 甲同学：均值为2，中位数为2 B． 乙同学：均值为2，方差小于1 C． 丙同学：中位数为2，众数为2 D． 丁同学：众数为2，方差大于1

P到9．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，若平面A1BCD1上一动点

AB1和BC的距离相等，则点P的轨迹为（★★★）．

A．椭圆的一部分 B．圆的一部分

C．一条线段 D．抛物线的一部分

10．将方程x?tanx?0的正根从小到大地依次排列为a1,a2,?,an,?，给出以下不等式： ①0?an?1?an?A1D1C1B1DAPCB?22an?1?an?2?an； ③

；

②?an?1?an??；

22an?1?an?2?an； ④

?第9题图

其中，正确的判断是（★★★）．

A． ①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．已知复数z?a?bi（其中i为虚数单位，a、b?R），若|a|?1且|b|?1，则|z|?1的

概率为★★★★★．

12．已知(1?x)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，则a1?a2?a3?a4?a5的值等于

★★★★★．

13．在△ABC中，?A?60，b?1，S?ABC?????????3，则AB?AC等于★★★★★． ?214．已知函数f(x)??x3?ax2?bx(a、b?R)的图象如图所示，

它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为

1，则a等于★★★★★． 1215．类比数学归纳法的证题思路，如果要证明对于任意的n?Z-(Z-表示负整数集），命题p(n)都成立，可先证明命题p(?1)成立，然后在假设命题

p(k)(k?Z-)成立的基础上，证明命题★★★★★成立即可．

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三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，AB?AC,PA?面ABCD，

AP?AB?3,AD?5，点E是PD的中点．

（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）求直线AB与平面EAC所成角大小．

17．（本小题满分13分）

D

P

E

A C

B

?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数f(x)?x2?mx?数，且f(cos1为偶函4B)?0． 2（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积为18．（本小题满分13分）

随机变量X的分布列如下表如示，若数列?pn?是以p1为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q(p1,q)．现随机变量X?Q(15373，其外接圆半径为，求△ABC的周长． 431,2)． 15 ? 1 2 n X

? pn p1 p2 P

(Ⅰ)求n的值并求随机变量X的数学期望EX；

（Ⅱ）甲乙两人举行乒乓球比赛，已知甲赢得每一局比赛的概率都等于P(X?2)，比赛采用三局两胜制（即在三局比赛中，只要有一方赢得两局比赛，就取得胜利，比赛也就随之结束了），求甲在比赛中赢的局数比输的局数多的概率． 19．（本小题满分13分）

已知抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．

（Ⅰ）求抛物线方程；

（Ⅱ）过M作MN?FA，垂足为N，求点N的坐标；

2,0)（Ⅲ）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m判断直线AK与圆M的位置关系．

是x轴上一动点时，

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20．（本小题满分14分）

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y（万元）与技术改造投入x（万元）之间的关系满足：①y与a?x和x的乘积成正比；②x?③0?a2时，y?a；2x?t，其中t为常数，且t?[0,1]．

2(a?x)(Ⅰ)设y?f(x)，求f(x)表达式，并求y?f(x)的定义域； （Ⅱ）求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

?10?已知矩阵M???．

21??（Ⅰ）请写出矩阵Ｍ对应的变换f的变换公式；

（Ⅱ）从变换的角度说明矩阵Ｍ可逆吗？如果可逆，请用求逆变换的方式求出对应的逆矩阵M

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 已知点A、B的极坐标分别为(1,0)、(1,参数，r?0）．

（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．

（３）（本小题满分7分）选修4—5: 不等式证明选讲

已知正实数a、b、c满足条件a?b?c?3， (Ⅰ) 求证：a?b?c?3；

（Ⅱ）若c?ab，求c的最大值．

?1．

??x?rcos?,)，曲线C的参数方程为?(?为2?y?rsin?德化一中2012届毕业班考前适应性考试数学（理）试卷 第 - 4 - 页 共 9 页

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数学（理）试卷参考解答及评分标准

一、选择题：

1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．D 8．D 9．D 10．D 二、填空题 11．

?4； 12． －1 ； 13． 1 ； 14． －1； 15．p(k?1).

三、解答题

16．证明： （Ⅰ）连结BD交AC于点O，并连结EO， ?四边形ABCD为平行四边形

∴O为BD的中点 又?E为PD的中点 ∴在?PDB中EO为中位线，EO//PB

E

A

D

C

B

P

?PB?面AEC,EO?面AEC

∴PB//面AEC ．???????5分

????????????（Ⅱ）以A为原点，AC,AB,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

33A(0,0,0),B(0,3,0),C(4,0,0)，D(4,?3,0)，P(0,0,3)，E(2,?,)，

22????????33????则AB=(0,3,0)，AE?(2,?,),AC=(4,0,0), ??????????????7分

22?????33????(x,y,z)?(2,?,)?0?n?AE?0设平面EAC一个法向量n?(x,y,z)，则?????，即?， ?22???n?AC?0?(x,y,z)?(4,0,0)?0?令y?1，得x?0,z?1，所以n?(0,1,1)．??????????????????9分

设直线AB与平面EAC所成角为?，则

????????????|AB?n|32?????， sin??|cos?AB,n?|?????2|AB|?|n|32又??[0,?2]，所以求直线AB与平面EAC所成角等于

2?．???????????13分 417． 解：（Ⅰ）∵f(x)?x?mx?∴f(x)?f(?x)，即x?mx?21是偶函数， 411?x2?mx?，∴m?0????????????2分 44德化一中2012届毕业班考前适应性考试数学（理）试卷 第 - 5 - 页 共 9 页

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又f(cosBB11?cosB1)?0，∴cos2?，即?， 2242412?∴cosB??，又B?(0,?)∴B?．??????????????????5分

23（Ⅱ）∵△ABC的外接圆半径为73 ， 3∴根据正弦定理

bb143?2R得，?，b?7．??????????7分

2?sinB3sin3又S?ABC?1153，∴ac?15． ????????????????9分 acsinB?242??49，a2?c2?34 ????11分 3在△ABC中，根据余弦定理得，

b2?a2?c2?2accosB，即a2?c2?30cos∴(a?c)2?a2?c2?2ac?64，∴a?c?8，

∴△ABC的周长等于15．??????????????????????????13分

18．解：(Ⅰ)依题意得，数列?pn?是以

1为首项，以2为公比的等比数列， ???1分 151(1?2n)所以Sn?p1?p2???pn?15=1 ???????????????????3分

1?2解得n=4．??????????????????????????????????5分

122223EX?p1?2p2?3p3?4p4?1??2??3??4?

151515151??1?20?2?21?3?22?4?23? ??????????????????????6分 1549????????????????????????????????????7分 ?15（Ⅱ）由(Ⅰ)知随机变量X的分布列为

1 X

1 P 15

2 3 4 2 154 158 15设“甲在第i(i?1,2,3)局取胜”为事件Ai， 依题意，P(Ai)?P(X?2)?121??????????????????????9分 15155设“甲在比赛中赢的局数比输的局数多”为事件A，

则事件A等价A ????????????????????11分 1A2?A1A2A3?A1A2A3，

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1141114113?????????13分 55555555125pp219． 解:（Ⅰ）抛物线y?2px的准线为x??,于是4??5,?p?2.

22则P(A)?P(A1A2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?∴抛物线方程为y2?4x．?????????????????????????? 3分 （Ⅱ）∵点A的坐标是(4,4)， 由题意得B(0,4)，M(0,2)，

43;MN?FA,?kMN??,???5分 3443则FA的方程为y?(x?1)，MN的方程为y?2??x.

34又∵F(1,0)， ∴kFA?84??x?y?(x?1)????53,得?解方程组??y?2??3x?y?4??5?4?

84?N(,)．????8分

55(Ⅲ）由题意得，圆M的圆心是点(0,2)，半径为2． ??????????????9分 当m?4时，直线AK的方程为x?4，此时，直线AK与圆M相离；???????10分 当m?4时，直线AK的方程为y?圆心M(0,2)到直线AK的距离d?4(x?m), 即为4x?(4?m)y?4m?0, 4?m|2m?8|16?(m?4)2，令d?2,解得m?1

∴当m?1时，直线AK与圆M相离； 当m?1时，直线AK与圆M相切； 当m?1时，直线AK与圆M相交． ??????????????????????????13分 20． 解：设y?k(a?x)x，当x?a2时，y?a，可得：k?4，∴y?4(a?x)x??2分 2?x?0（1）?2(a?x)x?由0? ??????????????????3分 ?t得?2(a?x)?x?t（2）?2(a?x)?又x?0所以由（1）得a?x?0,即0?x?a ??????????????????4分 所以（2）可化为x?2(a?x)t?x?因为t?[0,1]，所以

2at ???????????????????5分 1?2t2at?a ?????????????????????????6分 1?2t德化一中2012届毕业班考前适应性考试数学（理）试卷 第 - 7 - 页 共 9 页

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综上可得函数f(x)定义域为[0,2at]，其中t为常数，且t?[0,1]．????????7分 1?2t（2）y?4(a?x)x??4(x?)2?a2 ?????????????????????9分

a22ata1a?时，即?t?1，x?时，ymax?a2 ??????????????11分 1?2t2222ata12at当?，即0?t?，y?4(a?x)x在[0,]上为增函数 1?2t221?2t当

8a2t2at∴当x?时，ymax? ???????????????????13分 2(1?2t)1?2t答：当

1a?t?1，投入x?时，附加值y最大，为a2万元； 228a2t12at当0?t?，投入x?时，附加值y最大，为万元 ???????14分

(1?2t)221?2t21． ⑴矩阵与变换 解：（Ⅰ）假设M???10??把任一点?x,y?变成?x',y'?， 21???x'??10??x?则???????

y'21?????y??x'?x ················································································································· ３分 ???y'?2x?y（Ⅱ）从变换的角度看，变换f是可逆的．由（Ⅰ）得矩阵Ｍ对应的变换f是y轴方向上的

切变变换．因为变换f把每个点在横坐标不变的情况下，纵坐标变为原来纵坐标加上横坐标的２倍，所以它的逆变换f?1应该是把每个点在横坐标不变的情况下，纵坐标变为原来纵坐标

减去横坐标的２倍． ·············································································································· ５分

?x'?x ····················································································································· ６分 ???y'??2x?y∴M?1???10?············································································································· 7分 ?． ·

?21??（2）极坐标与参数方程

解：（Ⅰ）∵点A、B的极坐标分别为(1,0)、(1,?2)，

∴点A、B的直角坐标分别为(1,0)、(0,1)， ································································· 2分 ∴直线AB的直角坐标方程为x?y?1?0． ······································································ 4分

?x?rcos?,C（Ⅱ）由曲线的参数方程?化为普通方程为x2?y2?r2， ·· 5分 (?为参数）y?rsin?? ∵直线AB和曲线C只有一个交点，

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∴直线AB与圆C相切 ∴半径r?······························································································· 7分 ?2． ·

2221?1?1⑶不等式证明选讲

解：(Ⅰ)由柯西不等式得(a?b?c)2?(a?b?c)(1?1?1) 代入已知 a?b?c?3

?(a?b?c)2?9

?a?b?c?3

当且仅当a?b?c?1取等号． ????????????????????????3分 （Ⅱ）由a?b?2ab得2ab?c?3，若c?ab，则2c?c?3，

?c?3?? c?1?0，

?所以c?1，c?1，当且仅当a?b?1时，c有最大值1．????????????7分

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