8.4圆(1)教案

【课题】8．4 圆（一）

【教学目标】

知识目标：

（1）了解圆的定义；

（2）掌握圆的标准方程和一般方程． 能力目标：

培养学生解决问题的能力与计算能力．

【教学重点】

圆的标准方程和一般方程的理解与应用．

【教学难点】

对圆的标准方程和一般方程的正确认识．

【教学设计】

用“解析法”推导圆的标准方程的过程，学生比较容易掌握，可以引导学生自己完成．要

2强化对圆的标准方程?x?a???y?b??r的认识，其中半径为r，圆心坐标为

22O??a,b?．经常容易发生错误的地方是认为半径是r2，圆心坐标为O???a,?b?．教学中应

予以强调，反复强化．

例1和例2是圆的标准方程的知识巩固性题目，属于基础性题目．可以由学生自己完成．通过例题，进一步熟悉圆的标准方程．

再介绍圆的一般方程时，教材首先将圆的标准方程展开，分析系数特点，然后将方程配方成圆的标准方程．这一系列的过程，不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系，还显示出用代数的方法研究几何问题的魅力．

例3是圆的方程巩固性题目．题中的两种解法，都是经常使用的方法．特别是解法1，通常采用配方法，将方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径．这类题目的训练，有助于学生数学运算能力的提高．

求圆的方程，基本有两种基本方法．一种是根据已知条件求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程，例4就是这种类型的基础性题目；另一种是，设出圆的方程，然后，利用待定系数法确定相应的常数，例5就是这种类型的基础性题目．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

第8章 直线和圆的方程（教案）

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 8．4 圆（一） *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 圆是平面内到定点的距离为定长的点的轨迹，定点叫做圆心，定长叫做半径．如图8－18所示，将圆规的两只脚张开一定的角度后，把其中一只脚放在固定点O，另一只脚紧贴点所在平面上，然后转动圆规一周（圆规的两只脚张开的角度不变），画出的图形就是圆． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 质疑 引导 分析 了解 思考 启发 学生思考 0 10 图8－18 【说明】 圆心和半径是圆的两个要素． *动脑思考 探索新知 【新知识】 下面我们在直角坐标系中研究圆的方程． 讲解 说明 思考 带领 学生 分析

第8章 直线和圆的方程（教案）

教 学 过 程 图8－19 设圆心的坐标为C(a,b)，半径为r，点M(x,y)为圆上的任意一点（如图8－19），则 MC?r， 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引领 分析 理解 记忆 25 由公式（8.1），得 将上式两边平方，得 (x?a)2?(y?b)2?r， (x?a)2?(y?b)2?r2 （8．8） 这个方程叫做以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程． 特别地，当圆心为坐标原点O(0,0)时，半径为r的圆的标准方程为 x2?y2?r2 （8．9） *巩固知识 典型例题 例1 求以点C(?2,0)为圆心，r?3为半径的圆的标准方程． 解 因为a??2,b?0,r?3, 故所求圆的标准方程为 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 思考 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 通过例题进一步领会 30 (x?2)2?y2?9． 例2 写出圆(x?2)?(y?1)?5的圆心的坐标及半径． 解 方程 (x?2)?(y?1)?5 可化为 (x?2)??y?(?1)??(5)， 2222222所以 a?2,b??1, r?5， 故，圆心的坐标为C(2,?1)，半径为r?5． 【说明】 使用公式（8.8）求圆心的坐标时，要注意公式中两个括号内都是“－”号． *运用知识 强化练习 1．根据下面条件，求出圆的标准方程，并画出图形． （1）圆心C(?1,2)，半径r?2； 提问 （2）圆心C(0,?3)，半径r?3． 2．根据下列圆的标准方程，分别求出圆心的坐标与半径，巡视 并画出图形． 指导 第8章 直线和圆的方程（教案）

教 学 过 程 （1）(x?1)2?y2?4； （2）x2?(y?2)2?3． *创设情境 兴趣导入 【观察】 将圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2展开并整理，可得 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 得情 况 质疑 引导 分析 思考 启发 学生思考 35 40 45 x?y?(?2a)x?(?2b)y?(a?b?r)?0. 令D??2a22222，E??2b，F?a2?b2?r2，则x2?y2?Dx?Ey?F?0． （1） 这是一个二元二次方程．观察方程（1），可以发现它具有下列特点： ⑴ 含x项的系数与含y2项的系数都是1； ⑵ 方程不含xy项． 那么，具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程2吗？ *动脑思考 探索新知 将方程（1）配方整理得 D??E?D?E?4F? ?x????y???, （2） 2??2?4?2222 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 引导 式启 发学 生得 出结 果 当D?E?4F?0时，方程（2）为是圆的标准方程，其圆心在(?D?E?4FDE． ,?)，半径为222方程 2222x2?y2?Dx?Ey?F?0（其中 叫做圆的一般方程．其中D、E、F均为常数． 【想一想】 为什么必须有D2?E2?4F?0的条件？ D2?E2?4F?0） （8．10） 仔细 分析 讲解 关键 词语 例3 判断方程x2?y2?4x?6y?3?0是否为圆的方程， 如果是，求出圆心的坐标和半径． 解1 将原方程左边配方，有 说明 x2?4x?22?22?y2?6y?32?32?3?0， 强调 即 (x?2)2?(y?3)2?42. 3)，半径为4的一个圆． 所以方程表示圆心为(?2， D?4,E??6,F??3解2 与圆的一般方程相比较，知．故 引领 *巩固知识 典型例题 观察 思考 通过例题进一步领 第8章 直线和圆的方程（教案）

教 学 过 程 D2?E2?4F?16?36?4?(?3)?64?0， 所以方程为圆的一般方程，由 DED2?E2?4F?2,??3,?4 222知，圆心的坐标为(?2,3)，半径为4． 【说明】 给出方程求圆心和半径时，经常通过配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程．解1是经常使用的方法． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 说明 主动 求解 思考 求解 会 了解 学生 知识 掌握 情况 了解 思考 观察 思考 通过例题进一步领会 带领 学生 分析 55 60 65 *运用知识 强化练习 提问 1．判断方程x2?y2?4x?2y?1?0是否表示圆．如果是，巡视 指出圆心和半径． 2．已知圆的方程为x2?y2?4x?0，求圆心的坐标和半径． 指导 3．已知圆的方程为x2?y2?6y?0，求圆心的坐标和半径． *动脑思考 探索新知 观察圆的标准方程(x?a)?(y?b)?r和圆的一般方程222介绍 讲解 说明 说明 强调 引领 x2?y2?Dx?Ey?F?0，可以发现：这两个方程中分别含有三个字母系数a,b,r或D,E,F．确定了这三个字母系数，圆的方程也就确定了．因此，求圆的方程时，关键是确定字母系数a,b,r（或D,E,F）的值． *巩固知识 典型例题 例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程： （1） 以点(?2,5)为圆心，并且过点(3,?7)； （2） 设点A(4,3)、B(6,?1)，以线段AB为直径； （3） 经过点P(?2,4)和点Q(0,2)，并且圆心在直线x?y?0上． 分析 根据已知条件求出圆心的坐标和半径，从而确定字母系数a、b、r，得到圆的标准方程．这是求圆的方程的常用方法． 解 ⑴ 由于点（?2，5）与点（3，?7）间的距离就是半径，所以半径为 r?(3?2)2?(?7?5)2?13, 故所求方程为 (x?2)2?(y?5)2?169． （2） 设所求圆的圆心为C，则C为线段AB的中点，即?4?63?1?C?,?．半径为线段AB的长度的一半，即 2??2 第8章 直线和圆的方程（教案）

教 学 过 程 11(4?6)2?(3?1)2?20?5, 22故所求圆的方程为 r?(x?5)2?(y?1)2?5． （3） 由于圆心在直线x?y?0上，故设圆心为C(x0,?x0)，于是有 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 说明 引领 讲解 说明 主动 求解 思考 主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 CP?CQ， 即 (x0?2)2?(?x0?4)2?(x0?0)2?(?x0?2)2， 解得 x0??2． 因此，圆心为(－2，2)．半径为 r?(?2?0)2?(2?2)2?2， 故所求方程为 (x?2)2?(y?2)2?4． 【想一想】 例4（3）是否还有其它解法？ 【知识巩固】 例5 求经过三点O(0,0)，A(1,1)，B(4,2)的圆的方程（图8-20）． 图8－20 解 设所求圆的一般方程为x?y?Dx?Ey?F?0，将点Ｏ（0，0），A（1，1），B（4，2）的坐标分别代入方程，得 ?02?02?D?0?E?0?F?0,?? ?12?12?D?1?E?1?F?0, ?22??4?2?D?4?E?2?F?0,即 ?F?0,? ?D?E?F??2, ?4D?2E?F??20,?22解得 D??8，E?6，F?0．

第8章 直线和圆的方程（教案）

教 学 过 程 故所求圆的一般方程为 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 75 80 85 x2?y2?8x?6y?0． 【试一试】 例5的解法中，如果设圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2是否可以？比较一下哪种方法简单？ *运用知识 强化练习 1．求以点(4,?1)为圆心，半径为1的圆的方程． 2．求经过直线x?3y?7?0与3x?2y?12?0的交点，圆心为C(?1,1)的圆的方程． 3．求经过三点O(0,0)，M(1,0)，N(0,2)的圆的方程． *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 圆的标准方程及一般方程？ 结论 (x?a)2?(y?b)2?r2 这个方程叫做以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程． 质疑 归纳强调 引导 提问 巡视 指导 回忆 反思 动手 求解 检验 学生 学习 效果 回答 提问 巡视 指导 思考 求解 了解 学生 知识 掌握 得情 况 及时了解学生知识掌握情况 x2?y2?Dx?Ey?F?0（其中D2?E2?4F?0） 叫做圆的一般方程．其中D、E、F均为常数． *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 判断方程x?y?2x?4y?8?0是圆的方程吗？为什么？ *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题8.4 A组（必做）；8.4 B组（选做） 22 88 说明 记录 分层次要求

第8章 直线和圆的方程（教案）

教 学 过 程 (3)实践调查：对任意二元二次方程，判断是否是圆的方程 【教师教学后记】

项目 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 90 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

第8章 直线和圆的方程（教案）

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